第11讲导数的概念与切线方程（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数
2.能掌握导数的几何意义与切线的性质
3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。
知识讲解
知识点一.导数的定义
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim∆x→∞fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→∞∆y∆x为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0)或y，|x=x0，即f x0=lim∆x→∞∆y∆x=lim∆x→∞fx0+∆x−f(x0)∆x
2.函数y=f(x)的导数：
f (x)=y，=lim∆x→∞fx+∆x−f(x)∆x,
3.利用定义求导数的步骤：
= 1 \* GB3 ①求函数的增量：∆y=fx0+∆x−fx0；
= 2 \* GB3 ②求平均变化率：∆y∆x=fx0+∆x−f(x0)∆x
= 3 \* GB3 ③取极限得导数：f x0=lim∆x→∞∆y∆x
知识点二.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x−f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点三.导数的运算
1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
2.导数的运算法则
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
3.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法链接
考点一、导数的定义
1.（2025高三·全国·专题练习）设函数f(x)可导，f'(1)=1则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x= ．
【答案】13
【分析】运用导数的极限定义计算即得.
【详解】lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13f'(1)=13
故答案为：13．
2.（2024·湖北黄石·三模）已知函数fx=lg2x，则limx→2fx−f2x−2= .
【答案】12ln2
【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得.
【详解】f'x=1xln2，则limx→2fx−f2x−2=f'2=12ln2.
故答案为：12ln2.
1.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数fx=−12x2+lnx，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx的值为（ ）
A．eB．−2C．−12D．0
【答案】D
【分析】求出导数，由导数的定义知求f'(1)即可得解.
【详解】因为f'x=−x+1x，
所以f'(1)=−1+1=0，
所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=0.
故选：D
2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知a∈R，曲线y=fx经过点1,2且在该点处的切线方程为ax+y−5=0，则 limℎ→0f1+ℎ−2ℎ= .
【答案】−3
【分析】利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得.
【详解】由点1,2在直线ax+y−5=0上，得a=3，又曲线y=fx在点1,2处的切线方程为ax+y−5=0，
则f'(1)=−a=−3，而f(1)=2，所以limℎ→0f1+ℎ−2ℎ=limℎ→0f1+ℎ−f(1)ℎ=f'(1)=−3.
故答案为：−3
3.（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，则依据两个公式，类比求limx→0sinxcsxx= ；limx→0(1+sin2x)1sinxcsx= .
【答案】 1 e2
【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由极限的定义知：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，
因为sinxcsxx=sin2x2x，t=sin2x，可得sin2x2x=sintt，
则limx→0sinxcsxx=limt→0sintt=1；
又因为(1+sin2x)1sinxcsx=(1+sin2x)2sin2x，令t=sin2x，可得(1+sin2x)2sin2x=(1+t)2t，
所以limx→0(1+sin2x)1sinxcsx=limt→0(1+t)2t=limt→0[(1+t)1t]2=e2.
故答案为：1；e2.
4.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f't2不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是ft3−ft2t3−t2，故③正确；④在t1,t2时间段，甲的平均变化率是ft2−ft1t2−t1，在t2,t3时间段，甲的平均变化率是ft3−ft2t3−t2，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是ft+△t−ft△t.
考点二、导数的运算与求值
1.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知f1=−2，f'1=0即可解得a,b，再根据f'x即可解出．
【详解】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f'x=−2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+∞上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=−1+12=−12．
故选：B.
2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=exx+a．若f'(1)=e4，则a= ．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：f'x=exx+a−exx+a2=exx+a−1x+a2，
则：f'1=e1×1+a−11+a2=aea+12，据此可得：aea+12=e4，
整理可得：a2−2a+1=0，解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=2f'3x−29x2+lnx（f'x是fx的导函数），则f1=
【答案】169/179
【分析】对fx求导，代入x=3，解得f'(3)=1，回代入函数解析式，即可求得f1.
【详解】由fx=2f'3x−29x2+lnx求导，f'(x)=2f'(3)−49x+1x，
代入x=3，可得f'(3)=2f'(3)−43+13，解得，f'(3)=1，
则有，f(x)=2x−29x2+lnx，故f(1)=2−29=169.
故答案为：169.
2.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若f'1=2，则a= .
【答案】−1
【分析】求出导函数，利用f'1=2列式求解即可.
【详解】由fx=lnx+ax得f'x=1−lnx+ax2，因为f'1=1−a=2，所以a=−1.
故答案为：−1
3.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列an中，a1013=2，若函数fx=12xx−a1x−a2⋯x−a2025，则f'0=（ ）
A．−22024B．22024C．−22025D．22025
【答案】A
【分析】设gx=x−a1x−a2⋯x−a2025,则fx=12xgx，可得f'0=12g0，而g0=0−a10−a2⋯0−a2025 =−12025⋅a1a2⋯a2025，利用等比数列的项的性质即可求得.
【详解】设gx=x−a1x−a2⋯x−a2025，
则fx=12xgx，f'x=12gx+12xg'x，
所以，f'0=12g0.
因为an是等比数列，且a1013=2，a1a2025=a2a2024=⋯=a1012a1014=a10132=22，
于是，a1a2⋯a2025=(a1a2025)⋅(a2a2024)⋯(a1012a1014)⋅a2013=(22)1012×2=22025
故g0=0−a10−a2⋯0−a2025 =−12025⋅a1a2⋯a2025=−22025，
所以，f'0=12g0=−22024.
故选：A.
4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数fx=x3+2x−1，若x1+x2=0，则fx1+fx2= .
【答案】−2
【分析】利用三次函数的对称中心公式求解.
【详解】解：由题意得，f'x=3x2+2，
令gx=3x2+2，则g'x=6x，
令g'x=6x=0，解得x=0，又f0=−1，
故fx=x3+2x−1的对称中心为0,−1.
故当x1+x2=0时，fx1+fx2=2×−1=−2.
故答案为：−2
考点三、在一点处的切线方程
1.（2023·全国·高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y−e2=kx−1，
因为y=exx+1，
所以y'=exx+1−exx+12=xexx+12，
所以k=y'|x=1=e4
所以y−e2=e4x−1
所以曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y=e4x+e4.
故选：C
2.（2020·全国·高考真题）函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为（ ）
A．y=−2x−1B．y=−2x+1
C．y=2x−3D．y=2x+1
【答案】B
【分析】求得函数y=fx的导数f'x，计算出f1和f'1的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】∵fx=x4−2x3，∴f'x=4x3−6x2，∴f1=−1，f'1=−2，
因此，所求切线的方程为y+1=−2x−1，即y=−2x+1.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
1．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知fx=x3+x2−x+2，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（ ）
A．y=x+2B．y=−4x+1C．y=−x+4D．y=4x−1
【答案】D
【分析】先求导，可得k=f'(1)=4，再求解f1=3，结合直线方程的点斜式即得解.
【详解】由题意f'x=3x2+2x−1，
故k=f'(1)=3+2−1=4，且f1=1+1−1+2=3，
故切线方程为：y−3=4(x−1)，即y=4x−1.
故选：D
2．（21-22高三上·天津·期中）曲线y=xex在点1,1e处的切线方程为（ ）
A．y=x−1B．y=xC．y=0D．y=1e
【答案】D
【分析】设fx=xex，求出f1、f'1的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】设fx=xex，则f'x=1−xex，则f1=1e，f'1=0，
因此，曲线y=xex在点1,1e处的切线方程为y=1e.
故选：D.
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知f(x)=x2−lnx在x=1处的切线与圆C:(x−a)2+y2=4相切，则a= ．
【答案】22或−22
【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程x−y=0，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.
【详解】由函数f(x)=x2−lnx，可得f'(x)=2x−1x，则f'(1)=1且f(1)=1，
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y−1=x−1，即x−y=0，
又由圆C:(x−a)2+y2=4，可得圆心C(a,0)，半径为r=2，
因为x−y=0与圆C相切，可得a2=2，解得a=±22.
故答案为：±22.
4．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数y=lnx−2x的导数为 ，曲线y=lnx−2x在x=1处的切线方程为 ．
【答案】 1x+2x2 3x−y−5=0
【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】设f(x)=lnx−2x，x>0，
则f'(x)=1x−2−1x2=1x+2x2；
所以f'(1)=3，且f(1)=−2，
即直线斜率k=3，过点(1,−2)，
故曲线y=lnx−2x在x=1处的切线方程为y+2=3(x−1)，
即3x−y−5=0，
故答案为：1x+2x2；3x−y−5=0.
考点四、过一点的切线方程
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x2．
(1)求fx在区间2023,2024上的平均变化率；
(2)求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；
(3)求曲线y=fx过点2,0的切线方程．
【答案】(1)4047；
(2)y=4x−4；
(3)y=0或y=8x−16
【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解；
（2）依次求出f2,f'2的值，利用导数的几何意义即可求切线方程；
（3）首先设出切点坐标，利用f'x0=x02−0x0−2可求出切点坐标，可得切线方程．
【详解】（1）fx在区间2023,2024上的平均变化率为
f2024−f20232024−2023=20242−20232=2024−2023×2024+2023=4047．
（2）由fx=x2，有f'x=2x，从而f2=22=4，f'2=2×2=4，
则切点坐标为2,4，切线斜率为4，
所以曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y−4=4x−2，即y=4x−4．
（3）易知直线x=2与曲线y=fx不相切，
故设切点为x0,x02,x0≠2，
则由f'x0=x02−0x0−2，可得2x0=x02x0−2，即x0x0−4=0，解得x0=0或x0=4，
当x0=0时，切点为(0,0)，f'x0=2x0=0，
此时满足题意的切线方程为y=0，显然它过点(2,0)，
当x0=4时，切点为4,16，f'x0=2x0=8，
此时满足题意的切线方程为y−16=8x−4，即y=8x−16，显然它过点(2,0)，
综上所述，满足题意的切线方程为y=0或y=8x−16．
2.（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．ebC．0【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线y=ex上任取一点Pt,et，对函数y=ex求导得y'=ex，
所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y−et=etx−t，即y=etx+1−tet，
由题意可知，点a,b在直线y=etx+1−tet上，可得b=aet+1−tet=a+1−tet，
令ft=a+1−tet，则f't=a−tet.
当t0，此时函数ft单调递增，
当t>a时，f't<0，此时函数ft单调递减，
所以，ftmax=fa=ea，
由题意可知，直线y=b与曲线y=ft的图象有两个交点，则b当t0，当t>a+1时，ft<0，作出函数ft的图象如下图所示：

由图可知，当0故选：D.
解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
1.（2025·四川内江·模拟预测）若过点m,n(m>0)可以作两条直线与曲线y=12lnx相切，则下列选项正确的是（ ）
A．2nlnm
C．2m>lnn>0D．2m【答案】B
【分析】设切点Px0,12lnx0，根据切线经过点(m,n)，得到2n+1=lnx0+mx0，令fx=lnx+mxx>0，转化为y=2n+1与fx=lnx+mxx>0有两个不同的交点求解.
【详解】设切点Px0,12lnx0，
因为y=12lnx，所以y'=12x，
所以点P处的切线方程为y−12lnx0=12x0x−x0，
又因为切线经过点(m,n)，
所以n−12lnx0=12x0m−x0，即2n+1=lnx0+mx0，
令fx=lnx+mxx>0，
则y=2n+1与fx=lnx+mxx>0有两个不同的交点，
f'x=1x−mx2=x−mx2，
当m≤0时，f'x>0恒成立，所以fx单调递增，不合题意；
当m>0时，当0m时，f'x>0，
所以fxmin=fm=lnm+1，则2n+1>lnm+1，即2n>lnm，
故选：B
2.（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线y=x2−3lnx的一条切线方程为y=−x+m，则实数m=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知y'|x=x0=2x0−3x0=−1，求出切点，代入切线即可求出m.
【详解】设切点为(x0,y0)
因为切线y=−x+m，
所以y'|x=x0=2x0−3x0=−1，
解得x0=1,x0=−32（舍去）
代入曲线y=x2−3lnx得y0=1，
所以切点为1,1
代入切线方程可得1=−1+m，解得m=2.
故选：D.
3.（2024高三·全国·专题练习）过点3,0作曲线fx=xex的两条切线，切点分别为x1,fx1，x2,fx2，则x1+x2=（ ）
A．−3B．−3C．3D．3
【答案】D
【分析】利用切线方程过定点来求切点的横坐标，从而得到一元二次方程根与系数关系求解.
【详解】因为fx=xex，所以f'x=x+1ex，设切点坐标为x0,x0ex0，
所以f'x0=x0+1ex0，所以切线方程为y−x0ex0=x0+1ex0x−x0，
由切线方程过点3,0，则−x0ex0=x0+1ex03−x0，即−x02+3x0+3ex0=0，
依题意得：关于x0的方程−x02+3x0+3ex0=0有两个不同的解x1，x2，
即关于x0的一元二次方程−x02+3x0+3=0有两个不同的解x1，x2，
所以x1+x2=3.
故选：D.
考点五、切线的倾斜角与斜率
1.（全国·高考真题）曲线y=x3−2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求解即可．
【详解】∵y'=3x2−2，
∴曲线y=x3−2x+4在点(1,3)处的切线的斜率k=y'x=1=3−2=1，则倾斜角为45°，
故选：B．
2.（重庆·高考真题）曲线y=2−12x2与y=14x3−2在交点处切线的夹角是 ．（用弧度数作答）
【答案】π4
【分析】联立曲线方程求出交点坐标，利用导数分别求出两切线斜率，再由夹角公式求解即可.
【详解】由y=2−12x2y=14x3−2消元可得，(x−2)(x2+4x+8)=0，解得x=2，
所以两曲线只有一个交点P(2,0),
由y=2−12x2可得y'=−x，所以k1=y'|x=2=−2，
由y=14x3−2可得y'=34x2，所以k2=y'|x=2=3，
由直线的夹角公式可得tanα=|−2−31+(−6)|=1，
由α∈[0,π2]知，α=π4.
故答案为：π4
1.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知函数f(x)=x3−f'(1)x2+3的导数为f'(x)，则f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为 ．
【答案】1
【分析】
利用导数的运算法则，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】
因为f(x)=x3−f'(1)x2+3，
所以f'(x)=3x2−2f'(1)x，则f'(1)=3×12−2f'(1)×1，
解得f'(1)=1．
所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.
故答案为：1
2.（23-24高三上·天津·阶段练习）曲线y=2x−lnx在x=1处的切线的倾斜角为α，则cs2α−π2= ．
【答案】−35/−0.6
【分析】先求导数，从而求得切线斜率，即可求得tanα的值，进而弦化切代入计算即可．
【详解】由y=2x−lnx，则y'=−2x2−1x，
所以tanα=y'x=1=−3，
所以cs2α−π2=sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2×−3−32+1=−35
故答案为：−35．
3.（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数fx有三个零点x1，x2，x3，且在点xi,fxi处切线的斜率为kii=1,2,3，则1k1+1k2+1k3= .
【答案】0
【分析】令fx=ax−x1x−x2x−x3，其中a≠0，x1，x2，x3互不相等，对fx求导，由导数的几何意义求解即可.
【详解】令fx=ax−x1x−x2x−x3，其中a≠0，x1，x2，x3互不相等.
则f'x=ax−x2x−x3+x−x1x−x3+x−x1x−x2.
1k1+1k2+1k3=1a1x1−x2x1−x3+1x2−x1x2−x3+1x3−x1x3−x2
=x2−x3+x3−x1+x1−x2ax1−x2x1−x3x2−x3=0.
故答案为：0.
4.（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数y=−x(x+1)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．0,π4B．0,π4∪3π4,πC．π2,2π3D．3π4,π
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解．
【详解】设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，
因为函数f(x)=−x32−x12(x≥0)，
所以f'(x)=−32x12−12x−12=−12(3x+1x)≤−12×23=−3，
当且仅当3x=1x，即x=13时取等号，
又因为θ∈[0,π)，
所以tanθ≤−3，
所以θ∈(π2,2π3].
故选：C.
5.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知直线y=a与函数fx=ex，gx=lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=fx在点A处切线的斜率，k2为曲线y=gx在点B处切线的斜率，则k1k2最大值为（ ）
A．1B．eC．eaD．1e
【答案】D
【分析】首先求点A,B的横坐标，再利用导数求k1和k2，最后根据k1k2的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最值.
【详解】由题意可得ex=a，得xA=lna，lnx=a，得xB=ea，
f'x=ex，g'x=1x，
则k1=f'lna=elna=a，k2=g'ea=1ea，
所以k1k2=aea，
设ℎx=xex，x∈R，
ℎ'x=1−xex，ℎ'x=0⇒x=1，
当x∈−∞,1，ℎ'x>0，则ℎx在−∞,1单调递增，
当x∈1,+∞，ℎ'x<0，则ℎx在1,+∞单调递减，
所以当x=1时，ℎx取得最大值ℎ1=1e，
所以k1k2的最大值为1e.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解导数的几何意义，并正确求解点A,B的坐标，即可求得k1k2的值.
考点六、公切线
1.（2024·全国·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= .
【答案】ln2
【分析】先求出曲线y=ex+x在0,1的切线方程，再设曲线y=lnx+1+a的切点为x0,lnx0+1+a，求出y'，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由y=ex+x得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，
故曲线y=ex+x在0,1处的切线方程为y=2x+1；
由y=lnx+1+a得y'=1x+1，
设切线与曲线y=lnx+1+a相切的切点为x0,lnx0+1+a，
由两曲线有公切线得y'=1x0+1=2，解得x0=−12，则切点为−12,a+ln12，
切线方程为y=2x+12+a+ln12=2x+1+a−ln2，
根据两切线重合,所以a−ln2=0，解得a=ln2.
故答案为：ln2
2.（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线．
(1)若x1=−1，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)−1,+∞
【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；
（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.
【详解】（1）由题意知，f(−1)=−1−(−1)=0，f'(x)=3x2−1，f'(−1)=3−1=2，则y=f(x)在点−1,0处的切线方程为y=2(x+1)，
即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2=2，解得x2=1，则g(1)=1+a=2+2，解得a=3；
（2）f'(x)=3x2−1，则y=f(x)在点x1,f(x1)处的切线方程为y−x13−x1=3x12−1(x−x1)，整理得y=3x12−1x−2x13，
设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2，则切线方程为y−x22+a=2x2(x−x2)，整理得y=2x2x−x22+a，
则3x12−1=2x2−2x13=−x22+a，整理得a=x22−2x13=3x122−122−2x13=94x14−2x13−32x12+14，
令ℎ(x)=94x4−2x3−32x2+14，则ℎ'(x)=9x3−6x2−3x=3x(3x+1)(x−1)，令ℎ'(x)>0，解得−131，
令ℎ'(x)<0，解得x<−13或0则ℎ(x)的值域为−1,+∞，故a的取值范围为−1,+∞.
1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
【答案】(e,e)
【详解】设公共点为x0,y0 (x0>0)，即可得到ax0=x012，再由导数的几何意义得到ax0lna=12x0−12，从而求出x0，即可求出切点坐标，从而求出a，再求出切线方程.
【分析】设公共点为x0,y0 (x0>0)，则y0=x012y0=ax0，即ax0=x012，
所以x0lna=12lnx0，所以lna=12x0lnx0，
由y1'=12x−12，y2'=axlna，所以y1'|x=x0=12x0−12，y2'|x=x0=ax0lna，
又在公共点处有相同的切线，所以ax0lna=12x0−12，即x012·12x0·lnx0=12x0−12，
所以lnx0=1，则x0=e，所以y0=e，
所以公共点坐标为(e,e).
故答案为：(e,e).
2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为（ ）
A．0或2B．−2或0C．－1或0D．0或1
【答案】A
【分析】设直线l的方程为y=x+b，先根据直线和圆相切算出b，在根据导数的几何意义算a.
【详解】依题意得，设直线l的方程为y=x+b，
由直线和圆x2+y2=12相切可得，b12+(−1)2=22，解得b=±1，
当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切，
设切点为(m,n)，根据导数的几何意义，1m+a=1，
又切点同时在直线和曲线上，即n=m+1n=ln(m+a)，解得n=0m=−1a=2，
即y=x+1和y=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
y=x−1和y=lnx仍会保持相切状态，即b=−1时，a=0，
综上所述，a=2或a=0.
故选：A
3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数fx=4ex−2x−2x(x>0)，函数gx=−x2+3ax−a2−3a(a∈R)．若过点O0,0的直线l与曲线y=fx相切于点P，与曲线y=gx相切于点Q，当P、Q两点不重合时，线段PQ的长为 ．
【答案】652/625
【分析】设点Px0,4ex0−2x0−2x0 x0>0，利用导数的几何意义得到方程，求出x0，即可得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与g(x)也相切，利用判别式即可求出a，根据a确定点Q，即可求PQ.
【详解】因为f'x=4ex−2x−1x2−2，
设点Px0,4ex0−2x0−2x0 x0>0，则f'x0=4ex0−2x0−1x02−2
可知kOP=4ex0−2x0−2x0x0=4ex0−2x0−1x02−2，解得x0=2，
可得切点P2,−2，切线斜率k=f'2=−1，
所以l方程y+2=−x−2，即y=−x，
联立y=−xy=−x2+3ax−a2−3a⇒x2−1+3ax+a2+3a=0，
由Δ=(1+3a)2−4a2+3a=0⇒5a−1a−1=0，可得a=15或1；
当a=1时，xQ=2，此时Q2,−2，P,Q重合，舍去；
当a=15时，xQ=45，此时Q45,−45；
此时PQ=2−452+−2+452=652.
故答案为：652.
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−1,gx=14ex2，若直线l是曲线y=fx与曲线y=gx的公切线，则l的方程为（ ）
A．ex−y=0B．ex−y−e=0
C．x−y=0D．x−y−1=0
【答案】B
【分析】设y=kx+m与y=fx相切于点Ax0,y0，与y=gx相切于点Bx1,y1，利用导数的几何意义，得到ex0−1x0+m=ex0−1和m=−e4x12，再由ex0−1=12ex1，求得x0−1=12x1，得到12x1−1−ln12x1=0，令ℎx=x−1−lnx，利用导数求得函数的单调性与最值，求得m=−e,k=e，即可求解.
【详解】设l:y=kx+m与曲线y=fx相切于点Ax0,y0，与y=gx相切于点Bx1,y1，
由f'x=ex−1，可得l的斜率k=ex0−1，所以ex0−1x0+m=ex0−1①，
又由g'x=12ex，可得k=12ex1，所以12ex1x1+m=e4x12，即m=−e4x12②，
又因为ex0−1=12ex1③，
将②③代入①中，可得12ex1x0−e4x12=e2x1，由③易知，x1>0,则x0−1=12x1④，
将④代入③，可得ex12=e2x1，则12x1−1−ln12x1=0，
令ℎx=x−1−lnx，则ℎ'x=x−1x，当0当x>1时，ℎ'x>0,ℎx单调递增．所以ℎx≥ℎ1=0，当且仅当x=1时取等号，
故12x1=1，可得x1=2，所以m=−e4×22=−e,k=e2×2=e，
所以l的方程为y=ex−1，即ex−y−e=0．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（22-23高三上·天津·期中）若fx=x2−2x−4lnx，则f'x>0的解集为（ ）
A．0,+∞B．−∞,−1∪2,+∞C．2,+∞D．−∞,−1
【答案】C
【分析】先求导，再解不等式即可.
【详解】由fx=x2−2x−4lnx得，f'x=2x−2−4x，x>0
令2x−2−4x>0且x>0，
解得x>2
即f'x>0的解集为2,+∞
故选：C.
2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2x2−8x+10,x>2e2−x+x−1, x≤2，若fx≥x−m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．18,5−2ln2B．(−∞,4−2ln2]
C．14,4−2ln2D．12,5−2ln2
【答案】A
【分析】由fx在−∞,2和2,+∞上的单调性，画出y=fx的图象，分别求得当fx=2x2−8x+10与y=x−m相切时，当y=e2−x+x−1和y=m−x相切时，切点的坐标，求得对应的m值，结合函数图象即可求得范围.
【详解】fx≥|x−m|恒成立可以转化为函数y=fx的图象不在y=x−m图象的下方，
∵当x≤2时，fx=e2−x+x−1，∴f'x=−e2−x+1≤0，
∴fx在−∞,2上单调递减，且f2=2，
又∵当x>2时，fx=2x2−8x+10=2x−22+2，
∴fx在2,+∞上单调递增，且f2=2，
画出函数图象如下图所示，gx=x−m=x−m,x≥mm−x,x当y=2x2−8x+10和y=x−m相切时，设切点的横坐标为x1，
∴f'x1=1，即4x1−8=1，解得x1=94，∴切点坐标为94,178，
∴此时m=18，结合图象可知m≥18，
当y=e2−x+x−1和y=m−x相切时，设切点的横坐标为x2，
∴f'x2=−1，即−e2−x2+1=−1，解得x2=2−ln2，∴切点坐标为2−ln2,3−ln2，
∴此时m=5−2ln2，结合图象可知m≤5−2ln2，
则实数m的取值范围为18≤m≤5−2ln2，
故选：A.
3．（22-23高三上·天津·期中）函数f(x)=lg12x的导数为 .
【答案】−1xln2
【分析】根据对数函数的求导公式lgax'=1x⋅lna即可求解.
【详解】因为f(x)=lg12x，所以f'(x)=1x⋅ln12=−1xln2.
故答案为：−1xln2.
4．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数fx的导函数，满足fx=2xf'1+x3，则f1等于 .
【答案】−5
【分析】求导，令x=1，可解得f'1，进而可得f1.
【详解】由fx=2xf'1+x3，得f'x=2f'1+3x2，
令x=1，得f'1=2f'1+3，解得f'1=−3，
所以f1=2f'1+13=2×−3+1=−5，
故答案为：−5.
5．（20-21高三上·天津·期中）设曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3x−y=0，则a= .
【答案】4
【解析】先对函数求导，再由题意可知在x=0处的导数值为3，从而可求得a的值
【详解】解：由y=ax−ln(x+1)，得y'=a−1x+1，
因为曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3x−y=0，
所以a−10+1=3，解得a=4，
故答案为：4
6．（22-23高三上·天津河北·期末）函数fx=xlnx−1，gx=ax+ba,b∈R，若a=1时，直线y=gx是曲线fx的一条切线，则b的值为
【答案】−e
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切点在切线上求解即可；
【详解】当a=1时，g(x)=x+b,f'(x)=lnx，设切点为Ax0,fx0，
因为g(x)=x+b是f(x)的一条切线，
所以f'x0=lnx0=1，解得x0=e，
所以fx0=f(e)=0，
又切点A(e,0)在切线y=x+b上，
所以0=e+b，得b=−e．
故答案为：−e
7．（20-21高三上·天津南开·期中）已知函数fx=11−x+11+x，则fx在x=2处的导数f'2=
【答案】2
【解析】求导后代入x=2即可得到结果.
【详解】∵fx=11−x+11+x=21−x，∴f'x=21−x2，∴f'2=2.
故答案为：2.
1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若曲线y=x3+alnx在点(1,1)处的切线方程为y=kx−4，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义有y'|x=1=k，且k−4=1，即可求出参数a.
【详解】由题设y'=3x2+ax，则3+a=k，又k−4=1，
所以k=5，故a=k−3=2.
故选：B
2．（2021·天津宁河·一模）设曲线y=ax−lnx2+1在点0,1处的切线方程为y=2x+1，则a= .
【答案】e2
【分析】求导，根据导数几何意义求出函数y=ax−lnx2+1在x=0处的导函数值为切线的斜率.
【详解】∵y'=axlna−2xx2+1
所以函数y=ax−lnx2+1在x=0处的导函数值为a0lna−0=lna，根据导数几何意义可得lna=2∴a=e2
故答案为： e2
3．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x-2y+1=0，若ℎ(x)=f(x)x，ℎ'(2)的值为 .
【答案】-18
【分析】首先通过切线方程将f(2)，f'(2)算出，再求出ℎ'(x)=xf'(x)-f(x)x2，将x=2代入计算即可.
【详解】将x=2代入切线方程x-2y+1=0，得y=32，故 f(2)=32 ，由切线方程斜率可知f'(2)=12，ℎ'(x)=xf'(x)-f(x)x2，ℎ'(2)=2f'(2)-f(2)22=-18
故答案为: -18
4．（23-24高三下·天津·开学考试）函数fx=lg2x+2x−xln2的图象在x=1处切线的斜率为 .
【答案】2ln2/ln4
【分析】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意可知，f'x=1xln2+2xln2−1ln2，f'1=2ln2，
根据导数的几何意义可知，函数的图象在x=1处切线的斜率为2ln2.
故答案为：2ln2
5．（21-22高三上·天津南开·期中）曲线y=ex在x=0处的切线方程为 ；若该切线也是曲线y=lnx+b的切线，则b= .
【答案】 y=x+1 2
【分析】求出函数y=ex在x=0处的导数，再用导数的几何意义即可求解；设该切线与曲线y=lnx+b相切的切点坐标，求导即可计算作答.
【详解】由y=ex求导得：y'=ex，则曲线y=ex在x=0处的切线斜率为k=y'|x=0=e0=1，而切点为(0,1)，
所以所求切线方程为y=x+1；
设直线y=x+1与曲线y=lnx+b相切的切点为(x0,y0)，由y=lnx+b求导得：y'=1x，
于是得1x0=1，x0=1，显然有y0=x0+1y0=lnx0+b，即lnx0+b=x0+1，ln1+b=1+1，解得b=2，
所以b=2.
故答案为：y=x+1；2
6．（2020·天津·一模）设函数fx=x3−1x，则fx在动点Px0,fx0处的切线斜率的最小值为
【答案】23
【分析】由导数的几何意义、导数的运算可得fx在点Px0，fx0处的切线斜率k=3x02+1x02，再由基本不等式即可得解.
【详解】因为函数fx=x3−1x，所以f'x=3x2+1x2，
所以fx在点Px0，fx0处的切线斜率k=f'x0=3x02+1x02，
由基本不等式可得3x02+1x02≥23x02⋅1x02=23，
当且仅当x02=33时，等号成立.
所以fx在动点Px0，fx0处的切线斜率的最小值为23.
故答案为：23.
【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.
7．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线y=lnx+a的一条切线为y=ex+b，其中a,b为正实数，则a+eb+2的取值范围是 .
【答案】[2,+∞)
【分析】先根据已知求出b=ae−2,a>2e，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为x0,y0，由y=lnx+a
所以y'=1x+a，且过切点的直线为y=ex+b，
所以有：1x0+a=elnx0+a=ex0+b⇒b=ae−2，
因为b>0，所以a>2e，
所以a+eb+2=a+eae−2+2=a+1a≥2a⋅1a=2，
当且仅当a=1a⇒a=1时取等号，
故答案为：[2,+∞).
1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．x−y−π−1=0B．2x−y−2π−1=0
C．2x+y−2π+1=0D．x+y−π+1=0
【答案】C
【分析】先判定点(π,−1)是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当x=π时，y=2sinπ+csπ=−1，即点(π,−1)在曲线y=2sinx+csx上．∵y'=2csx−sinx, ∴y'x=π=2csπ−sinπ=−2,则y=2sinx+csx在点(π,−1)处的切线方程为y−(−1)=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
2.（2021·全国·高考真题）曲线y=2x−1x+2在点−1,−3处的切线方程为 ．
【答案】5x−y+2=0
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．
求导得：y'=2x+2−2x−1x+22=5x+22，所以y'|x=−1=5．
故切线方程为5x−y+2=0．
故答案为：5x−y+2=0．
3.（2019·天津·高考真题） 曲线y=csx−x2在点0,1处的切线方程为 .
【答案】x+2y−2=0
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】y'=−sinx−12，
当x=0时其值为−12，
故所求的切线方程为y−1=−12x，即x+2y−2=0．
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y0=f(x0)y1−y0x1−x0=f'(x0)得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
4.（2019·全国·高考真题）曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 ．
【答案】3x−y=0.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：y/=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以，k=y/|x=0=3
所以，曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x，即3x−y=0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
5.（2024·全国·高考真题）设函数fx=ex+2sinx1+x2，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】f'x=ex+2csx1+x2−ex+2sinx⋅2x1+x22，
则f'0=e0+2cs01+0−e0+2sin0×01+02=3，
即该切线方程为y−1=3x，即y=3x+1，
令x=0，则y=1，令y=0，则x=−13，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=12×1×−13=16.
故选：A.
6.（2022·全国·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】 y=1ex y=−1ex
【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
解： 因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y−ln−x1=1x1x−x1，
又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x1−x1，解得x1=−e，所以切线方程为y−1=1−ex+e，即y=−1ex；故答案为：y=1ex；y=−1ex
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
因为y=lnx是偶函数，图象为：
所以当x<0时的切线，只需找到y=1ex关于y轴的对称直线y=−1ex即可.
[方法三]：
因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y−ln−x1=1x1x−x1，
又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x1−x1，解得x1=−e，所以切线方程为y−1=1−ex+e，即y=−1ex；
故答案为：y=1ex；y=−1ex.
7.（2022·全国·高考真题）若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】−∞,−4∪0,+∞
【分析】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【详解】∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，
设切点为x0,y0,则y0=x0+aex0,切线斜率k=x0+1+aex0,
切线方程为：y−x0+aex0=x0+1+aex0x−x0,
∵切线过原点，∴−x0+aex0=x0+1+aex0−x0,
整理得：x02+ax0−a=0,
∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是−∞,−4∪0,+∞,
故答案为：−∞,−4∪0,+∞
8.（2020·全国·高考真题）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】y=2x
【分析】设切线的切点坐标为(x0,y0)，对函数求导，利用y'|x0=2，求出x0，代入曲线方程求出y0，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=lnx+x+1,y'=1x+1，
y'|x=x0=1x0+1=2,x0=1,y0=2，所以切点坐标为(1,2)，
所求的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x.
故答案为：y=2x.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
9.（2021·全国·高考真题）已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．
（1）讨论fx的单调性；
（2）求曲线y=fx过坐标原点的切线与曲线y=fx的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和−1，−1−a.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数的解析式可得：f'x=3x2−2x+a，
导函数的判别式Δ=4−12a，
当Δ=4−12a≤0,a≥13时，f'x≥0,fx在R上单调递增，
当时，的解为：x1=1−1−3a3,x2=1+1−3a3，
当x∈−∞,1−1−3a3时，单调递增；
当x∈1−1−3a3,1+1−3a3时，单调递减；
当x∈1+1−3a3,+∞时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在−∞,1−1−3a3，1+1−3a3,+∞上
单调递增，在1−1−3a3,1+1−3a3上单调递减.
(2)由题意可得：fx0=x03−x02+ax0+1，f'x0=3x02−2x0+a，
则切线方程为：y−x03−x02+ax0+1=3x02−2x0+ax−x0，
切线过坐标原点，则：0−x03−x02+ax0+1=3x02−2x0+a0−x0,
整理可得：2x03−x02−1=0，即：x0−12x02+x0+1=0，
解得：，则，f'(x0)=f'1=1+a
切线方程为：y=a+1x,
与联立得x3−x2+ax+1=(a+1)x，
化简得x3−x2−x+1=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，∴x−1是x3−x2−x+1的一个因式，∴该方程可以分解因式为x−1x2−1=0,
解得x1=1,x2=−1,
f−1=−1−a，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和−1，−1−a.
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)
2023年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零
2021年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析
2020年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式
函数
导函数
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝sin x
y′＝cs_x
y＝xα(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝cs x
y′＝－sin_x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axlna
特别地(ex)′＝ex
y＝lgax(a>0，a≠1)
y′＝eq \f(1,xln a)
特别地(ln x)′＝eq \f(1,x)
x
−∞,−13
−13
−13,0
0
0,1
1
1,+∞
ℎ'(x)
−
0
+
0
−
0
+
ℎ(x)
↘
527
↗
14
↘
−1
↗