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第12讲 函数的单调性与最值（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案
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这是一份第12讲 函数的单调性与最值（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案，文件包含第12讲函数的单调性与最值教师版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx、第12讲函数的单调性与最值学生版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx等2份学案配套教学资源，其中学案共53页， 欢迎下载使用。
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断 通过导数的正负判断函数的单调性
2.能掌握集合函数最值与导数的关系
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值
4.会通过函数的单调性解抽象不等式.
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。
知识讲解
知识点一.函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
2.常用结论
（1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
知识点二．函数的最值与导数
1.函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
（1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
（2）将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3.常用结论.
（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一、不含参函数的单调性与单调区间
1.（广东·高考真题）设函数fx=xlnx，则fx的单调递增区间为 ．
2.（重庆·高考真题）设函数f(x)=x3+ax2−9x−1(a<0).若曲线y=fx的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数y=fx的单调区间.
1.（2005·北京·高考真题）已知函数fx=−x3+3x2+9x+a
(1)求fx的单调减区间；
(2)若fx在区间−2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
2.（2024·黑龙江·模拟预测）已知f(x)=ax+bcsx在点π2,fπ2处的切线方程为x+2y−π=0.
(1)求a,b的值；
(2)求fx在区间[0,π]的单调区间和极值.
3.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数fx=ex−alnx+1的图象在点0,f0处的切线过点2,1．
(1)求实数a的值；
(2)求fx的单调区间和极值．
考点二、含参函数的单调性与单调区间
1.（·北京·高考真题）已知函数f(x)=2x−b(x−1)2，求导函数f'(x)，并确定f(x)的单调区间．
2.（全国·高考真题） 已知a∈R，求函数f(x)=x2eax的单调区间.
1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性.
2.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数fx=2ax−lnx+1x，a≠0．
(1)若a=1，求函数fx的极值；
(2)试讨论函数fx的单调性．
3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)−2是奇函数．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间．
考点三、已知函数的单调性求参数
1.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=aex−lnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．e2B．eC．e−1D．e−2
2.（2023·全国·高考真题）设a∈0,1，若函数fx=ax+1+ax在0,+∞上单调递增，则a的取值范围是 .
1.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
2.（2016·全国·高考真题）若函数fx=x−13sin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是
A．−1,1B．−1,13C．−13,13D．−1,−13
3.（上海·高考真题）已知函数f(x)=x2+ax（x≠0，常数a∈R）.
（1）讨论函数fx的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数fx在[2,+∞)上为增函数，求a的取值范围.
4.（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数fx=2−xex−ax在0,5上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,5eB．5e,+∞C．1,+∞D．1,+∞
5.（2023·宁夏银川·三模）若函数f(x)=x22−lnx在区间(m,m+13)上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．0C．23≤m≤1D．m>1
考点四、已知函数存在单调性求参数
1.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数ℎx=lnx−12ax2−2x在[1,4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,+∞B．−1,+∞C．−∞,−716D．−∞,−716
2.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间(0,π)上，函数y=a−csxx存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,1)B．(−∞,π2]
C．(−∞,π2)D．(−∞,1]
1.（22-23高三上·陕西·期中）若函数f(x)=x3+bx2+3x在13,2上存在单调递增区间，则b的取值范围是（ ）
A．−5,+∞B．−3,+∞C．−∞,−5D．−∞,−3
2.（21-22高三上·江苏苏州·期中）若函数fx=lnx+ax2−2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,+∞B．−18,+∞C．−2，−18D．−2,+∞
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=14x4−23x3+a2x2−xlnx在1e,2上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,2e−1e2B．−∞,2
C．−∞,2e−1e2D．−∞,2
4.（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数fx=lnx+ax2−2在区间14,1内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
5.（24-25高三·上海·随堂练习）设函数y=fx，其中fx=ax−lnxa>0，
(1)求f'x；
(2)若y=fx在[1,+∞)是严格增函数，求实数a的取值范围；
(3)若y=fx在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
考点五、求已知函数的最值
1.（2021·全国·高考真题）函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为 .
2.（2018·全国·高考真题）已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是 ．
1.（2021·北京·高考真题）已知函数fx=3−2xx2+a．
（1）若a=0，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）若fx在x=−1处取得极值，求fx的单调区间，以及其最大值与最小值．
2.（2020·北京·高考真题）已知函数f(x)=12−x2．
（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；
（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
3.（2017·北京·高考真题）已知函数f(x)=excsx−x．
（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
4.（24-25高三·上海·随堂练习）函数y=32x2+a+4x−2lnx在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A．（5，9）B．（－5，9）C．(−9,5)D．(−9,−5)
5.（24-25高三·上海·随堂练习）函数y=x3−3x−a在区间0,3上的最大值、最小值分别为M,N，则M−N=（ ）．
A．14B．16C．18D．20
考点六、利用单调性解抽象不等式
1.（2007·陕西·高考真题）fx是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'x+fx≤0．对任意正数a，b，若aA．afb≤bfaB．bfa≤afb
C．afa≤fbD．bfb≤fa
2.（2004·湖南·高考真题）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0．且g(−3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(−3,0)∪(3,+∞)B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(3,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,3)
1.（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数fx，若满足x−1f'x≥0则必有
A．f0+f2<2f1B．f0+f2≤2f1
C．f0+f2≥2f1D．f0+f2>2f1
2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f'x，且f1=e，当x>0时，f'x<1x+ex，则不等式fx−lnxex>1的解集为（ ）
A．0,1B．0,+∞C．1,+∞D．0,1∪1,+∞
3.（2024·吉林·二模）已知函数fx的定义域为−∞,0，其导函数f'x满足xf'x−2fx>0，则不等式fx+2024−x+20242f−1<0的解集为（ ）
A．−2025,−2024B．−2024,0
C．−∞,−2024D．−∞,−2025
4.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f'(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)+xf'(x)>0，且f(2)=2，则不等式(x+1)3f(x+1)>16的解集为（ ）
A．(1,+∞)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
5.（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xf'(x)<0，则不等式x+1fx+1>−2的解集是（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
1．（2020高三·山东·专题练习）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）．
A．−∞,13B．13,+∞C．−∞,13D．13,+∞
2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数f(x)=12x2+csx，则不等式f(lnx)>f(1)的解集为（ ）
A．(0,e)B．(e,+∞)C．1e,eD．0,1e∪(e,+∞)
3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知fx=2x2−ax+lnx在区间1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是 .
4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数fx=x3−3ax2−2x+5在0,1内单调递减，则实数a的取值范围是
5．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数f(x)=12x2−2alnx+(a−2)x.
（1）当a=−1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数g(x)=f(x)−ax在(0,+∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
6．（20-21高三上·天津·期中）设函数fx=x3+mx+1，曲线y=fx在点1,f1处的切线与x轴平行.
（1）求实数m；
（2）求fx的单调区间.
7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数fx=lnx+mx.
(1)当m=2时，求fx在1,f1处的切线方程；
(2)讨论fx的单调性；
(3)若fx≥3−x恒成立，求m的取值范围.
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx=ax−sinxcs3x,x∈0,π2，
(1)当a=0时，求fx在点π4,fπ4处的切线方程；
(2)当a=8时，讨论函数fx的单调性；
(3)若fx2．（2023·天津河北·一模）已知函数fx=xlnx−x2.
(1)求fx的单调区间；
(2)证明：fx(3)若a>0,b>0，且ab>1，求证：fa+fb<−2
3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数fx=lnx+1，gx=ex.
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)证明：gx≥fx+1；
(3)当x≥0时，ax⋅fx≤gx−x−1恒成立，求实数a的取值范围.
4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函数fx=4ax2+x−1ex.
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)当a>0时，求函数y=fx的单调区间；
(3)在（2）的条件下，当x∈1,3时，12≤fx≤1，求实数a的取值范围.
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数f(x)=(x−1)ex+ax2，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<−1时，若f(x)的极小值点为x0，证明：f(x)存在唯一的零点x1，且x1−x0≥ln2．
6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知函数fx=ex+a−1x−1，其中a∈R.
(1)当a=3时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)讨论函数fx的单调性；
(3)当a>1时，证明：fx>xlnx−acsx.
7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=lnx+a+1x+1，a∈R，gx=xex．
(1)若曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为3，求a的值；
(2)当x≥−2 时，函数y=gx−m+2有两个不同零点，求m的取值范围；
(3)若∀x∈0,+∞，不等式g'x−fx≥ex恒成立，求实数a的取值范围．
1.（重庆·高考真题）设函数fx=x3−3ax2+3bx的图象与直线12x+y−1=0相切于点1,−11．
(1)求a，b的值；
(2)求函数fx的单调区间．
2.（海南·高考真题）设函数fx=ln2x+3+x2
(1)讨论fx的单调性；
(2)求fx在区间−34,14的最大值和最小值．
3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=In(1+x)-x+k2x2(k≥0)．
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间．
4.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=1x+aln1+x．
(1)当a=−1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程．
(2)若函数fx在0,+∞单调递增，求a的取值范围．
5.（天津·高考真题）若函数fx=lgax3−ax（a>0且a≠1）在区间−12,0内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．14,1B．34,1C．94,+∞D．1,94
6.（2022·全国·高考真题）函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2
7.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)
2023年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零
2021年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析
2020年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式
条件
结论
函数y＝f(x)在
区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)内是常数函数
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断 通过导数的正负判断函数的单调性
2.能掌握集合函数最值与导数的关系
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值
4.会通过函数的单调性解抽象不等式.
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。
知识讲解
知识点一.函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
2.常用结论
（1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
知识点二．函数的最值与导数
1.函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
（1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
（2）将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3.常用结论.
（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一、不含参函数的单调性与单调区间
1.（广东·高考真题）设函数fx=xlnx，则fx的单调递增区间为 ．
2.（重庆·高考真题）设函数f(x)=x3+ax2−9x−1(a<0).若曲线y=fx的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数y=fx的单调区间.
1.（2005·北京·高考真题）已知函数fx=−x3+3x2+9x+a
(1)求fx的单调减区间；
(2)若fx在区间−2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
2.（2024·黑龙江·模拟预测）已知f(x)=ax+bcsx在点π2,fπ2处的切线方程为x+2y−π=0.
(1)求a,b的值；
(2)求fx在区间[0,π]的单调区间和极值.
3.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数fx=ex−alnx+1的图象在点0,f0处的切线过点2,1．
(1)求实数a的值；
(2)求fx的单调区间和极值．
考点二、含参函数的单调性与单调区间
1.（·北京·高考真题）已知函数f(x)=2x−b(x−1)2，求导函数f'(x)，并确定f(x)的单调区间．
2.（全国·高考真题） 已知a∈R，求函数f(x)=x2eax的单调区间.
1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性.
2.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数fx=2ax−lnx+1x，a≠0．
(1)若a=1，求函数fx的极值；
(2)试讨论函数fx的单调性．
3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)−2是奇函数．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间．
考点三、已知函数的单调性求参数
1.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=aex−lnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．e2B．eC．e−1D．e−2
2.（2023·全国·高考真题）设a∈0,1，若函数fx=ax+1+ax在0,+∞上单调递增，则a的取值范围是 .
1.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
2.（2016·全国·高考真题）若函数fx=x−13sin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是
A．−1,1B．−1,13C．−13,13D．−1,−13
3.（上海·高考真题）已知函数f(x)=x2+ax（x≠0，常数a∈R）.
（1）讨论函数fx的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数fx在[2,+∞)上为增函数，求a的取值范围.
4.（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数fx=2−xex−ax在0,5上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,5eB．5e,+∞C．1,+∞D．1,+∞
5.（2023·宁夏银川·三模）若函数f(x)=x22−lnx在区间(m,m+13)上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．0
考点四、已知函数存在单调性求参数
1.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数ℎx=lnx−12ax2−2x在[1,4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,+∞B．−1,+∞C．−∞,−716D．−∞,−716
2.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间(0,π)上，函数y=a−csxx存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,1)B．(−∞,π2]
C．(−∞,π2)D．(−∞,1]
1.（22-23高三上·陕西·期中）若函数f(x)=x3+bx2+3x在13,2上存在单调递增区间，则b的取值范围是（ ）
A．−5,+∞B．−3,+∞C．−∞,−5D．−∞,−3
2.（21-22高三上·江苏苏州·期中）若函数fx=lnx+ax2−2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,+∞B．−18,+∞C．−2，−18D．−2,+∞
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=14x4−23x3+a2x2−xlnx在1e,2上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,2e−1e2B．−∞,2
C．−∞,2e−1e2D．−∞,2
4.（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数fx=lnx+ax2−2在区间14,1内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
5.（24-25高三·上海·随堂练习）设函数y=fx，其中fx=ax−lnxa>0，
(1)求f'x；
(2)若y=fx在[1,+∞)是严格增函数，求实数a的取值范围；
(3)若y=fx在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
考点五、求已知函数的最值
1.（2021·全国·高考真题）函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为 .
2.（2018·全国·高考真题）已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是 ．
1.（2021·北京·高考真题）已知函数fx=3−2xx2+a．
（1）若a=0，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）若fx在x=−1处取得极值，求fx的单调区间，以及其最大值与最小值．
2.（2020·北京·高考真题）已知函数f(x)=12−x2．
（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；
（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
3.（2017·北京·高考真题）已知函数f(x)=excsx−x．
（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
4.（24-25高三·上海·随堂练习）函数y=32x2+a+4x−2lnx在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A．（5，9）B．（－5，9）C．(−9,5)D．(−9,−5)
5.（24-25高三·上海·随堂练习）函数y=x3−3x−a在区间0,3上的最大值、最小值分别为M,N，则M−N=（ ）．
A．14B．16C．18D．20
考点六、利用单调性解抽象不等式
1.（2007·陕西·高考真题）fx是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'x+fx≤0．对任意正数a，b，若a
C．afa≤fbD．bfb≤fa
2.（2004·湖南·高考真题）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0．且g(−3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(−3,0)∪(3,+∞)B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(3,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,3)
1.（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数fx，若满足x−1f'x≥0则必有
A．f0+f2<2f1B．f0+f2≤2f1
C．f0+f2≥2f1D．f0+f2>2f1
2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f'x，且f1=e，当x>0时，f'x<1x+ex，则不等式fx−lnxex>1的解集为（ ）
A．0,1B．0,+∞C．1,+∞D．0,1∪1,+∞
3.（2024·吉林·二模）已知函数fx的定义域为−∞,0，其导函数f'x满足xf'x−2fx>0，则不等式fx+2024−x+20242f−1<0的解集为（ ）
A．−2025,−2024B．−2024,0
C．−∞,−2024D．−∞,−2025
4.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f'(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)+xf'(x)>0，且f(2)=2，则不等式(x+1)3f(x+1)>16的解集为（ ）
A．(1,+∞)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
5.（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xf'(x)<0，则不等式x+1fx+1>−2的解集是（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
1．（2020高三·山东·专题练习）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）．
A．−∞,13B．13,+∞C．−∞,13D．13,+∞
2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数f(x)=12x2+csx，则不等式f(lnx)>f(1)的解集为（ ）
A．(0,e)B．(e,+∞)C．1e,eD．0,1e∪(e,+∞)
3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知fx=2x2−ax+lnx在区间1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是 .
4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数fx=x3−3ax2−2x+5在0,1内单调递减，则实数a的取值范围是
5．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数f(x)=12x2−2alnx+(a−2)x.
（1）当a=−1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数g(x)=f(x)−ax在(0,+∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
6．（20-21高三上·天津·期中）设函数fx=x3+mx+1，曲线y=fx在点1,f1处的切线与x轴平行.
（1）求实数m；
（2）求fx的单调区间.
7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数fx=lnx+mx.
(1)当m=2时，求fx在1,f1处的切线方程；
(2)讨论fx的单调性；
(3)若fx≥3−x恒成立，求m的取值范围.
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx=ax−sinxcs3x,x∈0,π2，
(1)当a=0时，求fx在点π4,fπ4处的切线方程；
(2)当a=8时，讨论函数fx的单调性；
(3)若fx
(1)求fx的单调区间；
(2)证明：fx
3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数fx=lnx+1，gx=ex.
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)证明：gx≥fx+1；
(3)当x≥0时，ax⋅fx≤gx−x−1恒成立，求实数a的取值范围.
4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函数fx=4ax2+x−1ex.
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)当a>0时，求函数y=fx的单调区间；
(3)在（2）的条件下，当x∈1,3时，12≤fx≤1，求实数a的取值范围.
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数f(x)=(x−1)ex+ax2，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<−1时，若f(x)的极小值点为x0，证明：f(x)存在唯一的零点x1，且x1−x0≥ln2．
6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知函数fx=ex+a−1x−1，其中a∈R.
(1)当a=3时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)讨论函数fx的单调性；
(3)当a>1时，证明：fx>xlnx−acsx.
7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=lnx+a+1x+1，a∈R，gx=xex．
(1)若曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为3，求a的值；
(2)当x≥−2 时，函数y=gx−m+2有两个不同零点，求m的取值范围；
(3)若∀x∈0,+∞，不等式g'x−fx≥ex恒成立，求实数a的取值范围．
1.（重庆·高考真题）设函数fx=x3−3ax2+3bx的图象与直线12x+y−1=0相切于点1,−11．
(1)求a，b的值；
(2)求函数fx的单调区间．
2.（海南·高考真题）设函数fx=ln2x+3+x2
(1)讨论fx的单调性；
(2)求fx在区间−34,14的最大值和最小值．
3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=In(1+x)-x+k2x2(k≥0)．
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间．
4.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=1x+aln1+x．
(1)当a=−1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程．
(2)若函数fx在0,+∞单调递增，求a的取值范围．
5.（天津·高考真题）若函数fx=lgax3−ax（a>0且a≠1）在区间−12,0内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．14,1B．34,1C．94,+∞D．1,94
6.（2022·全国·高考真题）函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2
7.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)
2023年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零
2021年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析
2020年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式
条件
结论
函数y＝f(x)在
区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)内是常数函数
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