第17讲 三角函数的图像与性质（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图像与性质，能够利用图像解决三角函数的定义域与值域问题
2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图像，解决平移与伸缩变换问题
4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图像特征解决三角函数含参问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图像特征与三角函数的周期性与对称性问题。
知识讲解
知识点一.三角函数的图像
1．五点法作图
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
3.常用结论
（1）函数y＝sin x与y＝cs x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线．
（2）正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（3）三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．
（4）对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．
知识点二.三角函数的平移与伸缩变换
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
3.两种变换的区别
（1）先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
4. 两种变换的注意点
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
5．简谐运动的有关概念与规律
（1）相关概念
（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（3）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
考点一、三角函数的定义域
1.（2024·浙江金华·模拟预测）若集合A=xsinx+π6>0，B=xlnx+π6<0，则A∩B=（ ）
A．AB．BC．∅D．A∪B
【答案】B
【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合A、B，即可得解.
【详解】由sinx+π6>0，可得2kπ即A=x2kπ−π6由lnx+π6<0，可得0即B=x−π6故A∩B=B.
故选：B.
2.（2022高三上·河南·专题练习）函数fx=ln4−xsinx⋅x−1的定义域为（ ）
A．(1,π2)∪(π2,4)B．(1,π)∪(π,4)C．[1,π2)∪(π2,4]D．[1,π)∪(π,4]
【答案】B
【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.
【详解】要使fx有意义，需满足x−1>04−x>0sinx≠0，
解得1所以定义域为(1,π)∪(π,4).
故选：B．
1.（22-23高三·全国·对口高考）函数y=16−x2lg(sinx)的定义域是（ ）
A．[−4,4]B．−4,π2∪π2,4
C．[−4,−π)∪(0,π)D．[−4,−π)∪0,π2∪π2,π
【答案】D
【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.
【详解】y=16−x2lg(sinx)有意义满足16−x2≥0sinx>0lg(sinx)≠0，即−4≤x≤42kπ解得x∈[−4,−π)∪0,π2∪π2,π，
故选：D
2.（20-21高三上·江苏镇江·阶段练习）函数y=ln3−2x−x2+2sinx−1的定义域是（ ）
A．π6,1B．−1,π6C．−3,π6D．π6,5π6
【答案】A
【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定义域.
【详解】由题知，3−2x−x2>0,2sinx−1≥0
由3−2x−x2>0，解得−3由2sinx−1≥0解得，π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ，k∈Z
当k=0时，由−3当k=1时，区间−3,1和13π6,17π6无交集；
当k=−1时，区间−3,1和−11π6,−7π6无交集；
所以函数的定义域π6,1.
故选：A.
3.（2022高三·全国·专题练习）函数fx=lg3−xx+1csx的定义域为（ ）
A．0,3B．xx<3且x≠π2
C．0,π2∪π2,3D．xx<0或x>3
【答案】C
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．
【详解】解：由3−xx＞0csx≠0，得0∴0∴函数fx=lg3−xx+1csx的定义域为0,π2∪π2,3．
故选：C．
4.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sinx−2sinx−csx的定义域为 ．
【答案】{x|x≠π4＋kπ,k∈z}
【详解】
由sin x≠cs x，得tan x≠1，即x≠π4＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝sinx−2sinx−csx的定义域为{x|x≠π4＋kπ,k∈z}.
5.（2020高三·全国·专题练习）函数y=lnsinx+csx−12的定义域为 .
【答案】x|2kπ【分析】首先根据题意得到sinx>0csx≥12，再解不等式组即可.
【详解】由题知：sinx>0csx≥12，所以2kπ解得：2kπ所以函数的定义域为x|2kπ故答案为：x|2kπ【点睛】本题主要考查三角函数的定义域，同时考查了对数函数的定义域，属于简单题.
考点二、三角函数的值域与最值问题
1.（2024高三·全国·专题练习）若x，y满足x24+y2=1，则2x+y的最大值为
【答案】3
【分析】利用三角换元求解二元变量的最值即可.
【详解】设x=2csθ,y=sinθ，θ∈0,2π，
因此2x+y=22csθ+sinθ=3sinθ+φ，其中tanφ=24
3sinθ+φ∈−3,3，所以当θ+φ=π2+2kπ时，2x+y取到最大值3.
故答案为：3.
2.（2024·江苏·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD,DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为 ．
【答案】174
【分析】设∠BAD=α,α∈0,π2，在△ABD和△BCD中，分类利用余弦定理求出AB,BC，再根据三角函数的性质求出AB+BC的最大值即可得解.
【详解】设∠BAD=α,α∈0,π2，
则∠BDC=α,∠ADB=π−2α，
在△ABD中，由余弦定理得AB2=DA2+DB2−2DA⋅DBcs∠ADB
=2−2csπ−2α=2+2cs2α=4cs2α，
所以AB=2csα，
在△BCD中，由余弦定理得BC2=DC2+DB2−2DC⋅DBcs∠BDC
=2−2csα=4sin2α2，
所以BC=2sinα2，
则AB+BC=2csα+2sinα2=−4sin2α2+2sinα2+2，
因为α∈0,π2，所以α2∈0,π4，所以sinα2∈0,22，
则当sinα2=14时，AB+BC取得最大值94，
所以梯形ABCD周长的最大值为94+2=174.
故答案为：174.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
1.（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数A，ω，φ的值；
（2）该函数在区间3π4,5π4上的最大值和最小值.
【答案】（1）A=3，ω=2，φ=π3；（2）最大值是3，最小值是−32.
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A，ω，φ的值即可.
（2）首先根据（1）知：y=3sin2x+π3，根据题意得到11π6≤2x+π3≤17π6，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知ymax=3，则A=3，
因为T=5π6−−π6=π，T=2πω，所以2πω=π，解得ω=2，即y=3sin(2x+φ)，
因为函数图象过点π12,3，则3=3sin2×π12+φ，即sinπ6+φ=1，
所以π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ+π3，k∈Z，
又因为φ<π2，所以φ=π3.
（2）由（1）可知y=3sin2x+π3.
因为3π4≤x≤5π4，所以11π6≤2x+π3≤17π6，
因此，当2x+π3=11π6时，即x=3π4时，y=−32，
当2x+π3=5π2时，即x=13π12时，y=3.
所以该函数在区间3π4,5π4上的最大值是3，最小值是−32.
2.（2021·浙江·高考真题）设函数fx=sinx+csx(x∈R).
（1）求函数y=fx+π22的最小正周期；
（2）求函数y=f(x)fx−π4在0,π2上的最大值.
【答案】（1）π；（2）1+22.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得y=sin(2x−π4)+22，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得f(x)=sinx+csx=2sin(x+π4)，
则y=[f(x+π2)]2=[2sin(x+3π4)]2=2sin2(x+3π4)=1−cs(2x+3π2)=1−sin2x，
所以该函数的最小正周期T=2π2=π;
（2）由题意，y=f(x)f(x−π4)=2sin(x+π4)⋅2sinx=2sin(x+π4)sinx
=2sinx⋅(22sinx+22csx)=2sin2x+2sinxcsx
=2⋅1−cs2x2+22sin2x=22sin2x−22cs2x+22=sin(2x−π4)+22，
由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,3π4]，
所以当2x−π4=π2即x=3π8时，函数取最大值1+22.
考点三、三角函数的值域与最值求参数
1.（21-22高三上·辽宁大连·阶段练习）已知y=fx是奇函数，当x<0时，fx=csx+sinx+a，且fπ3=3，则实数a的值为 .
【答案】−12−32
【分析】根据题意，得到f(−π3)=−f(π3)=−3，结合函数fx的解析式，代入即可求解.
【详解】因为y=fx是奇函数，且f(π3)=3，可得f(−π3)=−f(π3)=−3
又因为当x<0时，fx=csx+sinx+a，
可得f(−π3)=cs(−π3)+sin(−π3)+a=12−32+a=−3，
解得a=−12−32，即实数a的值为−12−32.
故答案为：−12−32.
2.（2024·山东济宁·三模）已知函数f(x)=(3sinx+csx)csx−12，若f(x)在区间[−π4,m]上的值域为[−32,1]，则实数m的取值范围是（ ）
A．[π6,π2)B．[π6,π2]C．[π6,7π12)D．[π6,7π12]
【答案】D
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【详解】依题意，函数f(x)=3sinxcsx+cs2x−12=32sin2x+12cs2x=sin(2x+π6)，
当x∈[−π4,m]时，2x+π6∈[−π3,2m+π6]，显然sin(−π3)=sin4π3=−32,sinπ2=1，
且正弦函数y=sinx在[π2,4π3]上单调递减，由f(x)在区间[−π4,m]上的值域为[−32,1]，
得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，
所以实数m的取值范围是[π6,7π12].
故选：D
1.（2023·四川自贡·一模）函数fx=a−3tan2x在x∈−π6,b的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A．5π12B．π3C．π6D．π12
【答案】B
【分析】首先根据区间的定义以及fx的有界性确定b的范围，然后再利用正切函数的单调性得到fx的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出a,b即可.
【详解】∵x∈−π6,b，∴b>−π6，∴2x∈−π3,2b，
根据函数f(x)在x∈−π6,b的最大值为7,最小值为3，
所以2b<π2，即b<π4，根据正切函数gx=tanx在−π2,π2为单调增函数，
则f(x)=a−3tan2x，在−π6,b上单调减函数，
∴f−π6=a+3=7⇒a=4，∴fb=4−3tan2b=3，
则tan2b=33，∵2b∈−π3,π2，∴2b=π6，∴b=π12，
∴ab=4×π12=π3，
故选：B.
2.（2024·河北石家庄·二模）已知函数y=2sin(x−π4)在区间[0,a],[0,a+π4]上的值域均为[−1,b]，则实数a的取值范围是 ．
【答案】3π4,5π4
【分析】当x∈[0,a]时，x−π4∈[−π4,a−π4]，当x∈[0,a+π4]时，x−π4∈[−π4,a]，在结合正弦函数图像可得到a−π4≥π2a≤5π4，求出a即可.
【详解】当x∈[0,a]时，x−π4∈[−π4,a−π4]，当x∈[0,a+π4]时，x−π4∈[−π4,a].
因为函数y=2sin(x−π4)在区间[0,a],[0,a+π4]上的值域均为[−1,b]，
而2sin(−π4)=−1，2sin5π4=−1，所以b=2.
又因为2sin(−π4)=−1，2sin5π4=−1,
所以a−π4≥π2a≤5π4，解得3π4≤a≤5π4，即实数a的取值范围是[3π4,5π4].
故答案为：[3π4,5π4].
3.（2023·四川成都·模拟预测）当x∈π6,m时，函数f(x)=cs3x+π3的值域是−1,−32，则m的取值范围是（ ）
A．π9,7π18B．2π9,7π18
C．π9,5π18D．2π9,5π18
【答案】D
【分析】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+π3的范围，根据fx的值域可得答案；
解法二：由x的范围求出3x+π3的范围，根据y=csx的图象性质和fx的值域可得答案．
【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由x∈π6,m，可知5π6≤3x+π3≤3m+π3，
因为fπ6=cs5π6=−32且f2π9=csπ=−1，
要使fx的值域是−1,−32，只要2π9≤m≤5π18，
即m∈2π9,5π18；
解法二：由题x∈π6,m，可知5π6≤3x+π3≤3m+π3，
由y=csx的图象性质知，要使fx的值域是−1,−32，
则π≤3m+π3≤7π6，解之得m∈2π9,5π18．
故选：D.

4.（2024·山东·模拟预测）若函数fx=csx−φ+sinx+π3的最大值为2，则常数φ的一个取值为 ．
【答案】π6（答案不唯一，满足φ=π6+2kπ,k∈Z即可）
【分析】利用和（差）角公式化简，再判断sinφ+12≠0，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出φ.
【详解】因为fx=csx−φ+sinx+π3
=csxcsφ+sinxsinφ+sinxcsπ3+csxsinπ3
=csφ+32csx+sinφ+12sinx，
若sinφ+12=0，则csφ=±32，所以fx=0或fx=3csx，显然不满足fx的最大值为2，
所以sinφ+12≠0，
则fx=sinφ+122+csφ+322sinx+θ，（其中tanθ=csφ+32sinφ+12），
依题意可得sinφ+122+csφ+322=4，
即sinφ+3csφ=2，所以sinφ+π3=1，
所以φ+π3=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z.
故答案为：π6（答案不唯一，满足φ=π6+2kπ,k∈Z即可）
5.（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知函数fx=csx+φφ>0在区间0,φ上的值域为−1,32，则φ= .
【答案】11π12
【分析】根据三角函数值域的知识求得φ.
【详解】依题意，函数fx=csx+φφ>0在区间0,φ上的值域为−1,32，
由于0≤x≤φ,φ≤x+φ≤2φ，
所以2φ=2π−π6=11π6,φ=11π12，
此时11π12≤x+11π12≤11π6，当x+11π12=π,x=π12时fx取得最小值−1，符合题意，
所以φ=11π12.
故答案为：11π12
考点四、三角函数的周期性
1.（2024·上海·高考真题）下列函数fx的最小正周期是2π的是（ ）
A．sinx+csxB．sinxcsx
C．sin2x+cs2xD．sin2x−cs2x
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，sinx+csx=2sinx+π4，周期T=2π，故A正确；
对B，sinxcsx=12sin2x，周期T=2π2=π，故B错误；
对于选项C，sin2x+cs2x=1，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，sin2x−cs2x=−cs2x，周期T=2π2=π，故D错误，
故选：A．
2.（2024·江苏盐城·一模）函数fx=sinx3+csx3的最小正周期是（ ）
A．6πB．3πC．2π3D．3π2
【答案】A
【分析】化fx=2sinx3+π4，由正弦型函数的周期性即可求解.
【详解】由题意，得fx=2sinx3+π4，
所以fx的最小正周期2π13=6π.
故选：A.
1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数fx=sin2x−cs2x的最小正周期为（ ）
A．π2B．πC．2πD．4π
【答案】A
【分析】根据二倍角公式化简，利用周期公式计算，即可结合函数图象的变换求解.
【详解】fx=sin2x−cs2x=cs2x，
由于函数y=cs2x的最小正周期为π，且为偶函数，
y=cs2x是将y=cs2x在y下方的图象沿着x轴翻折得到，故最小正周期为π2,
故选：A
2.（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y=sin2x+π2B．y=cs2x+π2
C．y=sin2x+cs2xD．y=sinx+csx
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简，再结合三角函数的性质判断A、B，利用辅助角公式化简，再结合三角函数的性质判断C、D.
【详解】对于A：y=sin2x+π2=cs2x，可知其最小正周期为π且为偶函数，故A错误；
对于B：y=cs2x+π2=−sin2x，可知其最小正周期为π且为奇函数，故B正确；
对于C：y=sin2x+cs2x=2sin2x+π4，最小正周期为π的非奇非偶函数，故C错误；
对于D：y=sinx+csx=2sinx+π4，可知其最小正周期为2π，且为非奇非偶函数，故D错误．
故选：B
3.（2024·湖北荆州·三模）函数f(x)=tan(2x+π3)的最小正周期为（ ）
A．πB．π2C．π3D．π6
【答案】B
【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果
【详解】由周期公式得T=πω=π2.
故选：B
4.（2023·广东·一模）已知函数f(x)=tanaa2+1x+φ(a>0)的最小正周期为2π，则a= .
【答案】1
【分析】根据正切函数周期公式求解即可.
【详解】依题意T=πaa2+1=2π，
整理得a2−2a+1=0，解得a=1.
故答案为：1.
5.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fn=2sinnπ2+π4+1n∈N∗，则f1+f2+f3+⋯+f2025=（ ）
A．2025B．2025+2
C．2026+2D．20262
【答案】B
【分析】由周期性可得f1+f2+f3+f4=4，即可利用周期求解.
【详解】由fn=2sinnπ2+π4+1n∈N∗
得f4k+m=2sin2kπ+mπ2+π4+1=2sinmπ2+π4+1,k，m∈N∗，
所以f1+f2+f3+f4=2sinπ2+π4+2sin2π2+π4+2sin3π2+π4+2sin4π2+π4+4=4，
所以f1+f2+f3+⋯+f2025=4×20244+2sin2025π2+π4+1=2025+2
故选：B.
考点五、三角函数的单调性
1.（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间π6,π3内单调递增，则f(x)可能是（ ）
A．f(x)=sinx−π3B．f(x)=csx−π3
C．f(x)=sin2x−π3D．f(x)=cs2x−π3
【答案】C
【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【详解】因为函数f(x)的周期为π，
所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω=2πT=2ππ=2，故排除AB，
当x∈π6,π3时，2x−π3∈0,π3，
因为y=sinx在0,π3上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
2.（2024·全国·模拟预测）函数fx=−3cs2x+π6的单调递增区间为（ ）
A．kπ−π3,kπ+π6,k∈ZB．kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z
C．kπ−7π12,kπ−π12,k∈ZD．kπ−π12,kπ+5π12,k∈Z
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】fx=−3cs2x+π6，令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，
∴kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,
故函数fx的单调递增区间为kπ−π12,kπ+5π12,k∈Z.
故选：D．
1.（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，以π为周期，且在区间(π2,3π4)上单调递增的是（ ）
A．y=sinxB．y=cs2xC．y=−tanxD．y=sin2x
【答案】B
【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间(π2,3π4)上的单调性，即可选择判断．
【详解】对于A，y=sinx的最小正周期为π，在区间(π2,3π4)上单调递减，A不是；
对于B，y=cs2x的最小正周期为π，在区间(π2,3π4)上单调递增，B是；
对于C，y=−tanx的最小正周期为π，在区间(π2,3π4)上单调递减，C不是；
对于D，y=sin2x不是周期函数，在区间(π2,3π4)上单调递减，D不是．
故选：B
2.（2024·全国·二模）已知函数fx=cs2π3−2x，x∈−2π3,π3，则函数fx的单调递减区间为 .
【答案】−2π3,−π6
【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.
【详解】由题意知，f(x)=cs(2π3−2x)=cs(2x−2π3)，
由2kπ≤2x−2π3≤2kπ+π,k∈Z，得kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z，
令k=−1，得−2π3≤x≤−π6，令k=0，则π3≤x≤5π6，
即函数f(x)的单调递减区间为[−2π3,−π6].
故答案为：[−2π3,−π6]
3.（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．0,12B．(0,2)C．0,12D．(0,2]
【答案】D
【分析】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上单调递增，
当x∈0,π4时，ωx∈0,π4ω，则π4ω≤π2，解得0<ω≤2，
故选：D
4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在π2,π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A．(1,2]B．23,43C．1,43D．23,2
【答案】B
【分析】由π2+2kπ≤ωx+π6≤3π2+2kπ，求得单调递减区间，进而可得1ω(π3+2kπ)≤π21ω(4π3+2kπ)≥π，求解即可.
【详解】f(x)=sinωx+π6(ω>0)；
令π2+2kπ≤ωx+π6≤3π2+2kπ，k∈Z则1ωπ3+2kπ≤x≤1ω4π3+2kπ，
所以f(x)在1ωπ3+2kπ,1ω4π3+2kπ是减函数，
因为f(x)在区间π2,π单调递减，所以有1ω(π3+2kπ)≤π21ω(4π3+2kπ)≥π，
即ω≥23+4kω≤43+2k，又ω>0，所以k=0，23≤ω≤43．
故选：B．
5.（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φ个单位后在区间0,π2上单调递增，则φ=（ ）
A．π3B．π2C．π6D．2π3
【答案】B
【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【详解】函数fx=sin2x+φ向左平移φ个单位后为fx+φ=sin2x+3φ，
当x∈0,π2时，2x+3φ∈3φ,π+3φ，
∵fx+φ=sin2x+3φ单调递增，
所以−π2+2kπ≤3φπ+3φ≤2kπ+π2k∈Z，即−π6+2kπ3≤φφ≤−π6+2kπ3k∈Z，
可得φ=−π6+2kπ3k∈Z，
又0<φ<π，∴φ=π2.
故选：B.
考点六、函数的奇偶性与对称性
1.（2024·河北承德·二模）函数fx=3sin2x−π2+cs2x−π6的图象的对称轴方程为（ ）
A．x=π3+kπ2,k∈ZB．x=π2+kπ2,k∈Z
C．x=5π12+kπ2,k∈ZD．x=7π12+kπ2,k∈Z
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换得fx=sin2x−π3，再根据正弦型函数对称性得到方程，解出即可.
【详解】fx=−3cs2x+cs2x⋅32+sin2x⋅12=−32cs2x+12sin2x=sin2x−π3，
所以2x−π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=5π12+kπ2,k∈Z，
故选：C.
2.（2024·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=2csx⋅cs(x−π3)，则y=f(x)的图像（ ）
A．关于直线x=2π3对称B．关于直线x=5π6对称
C．关于(π12,12)中心对称D．关于(−π12,0)中心对称
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换公式化简函数f(x)，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】f(x)=2csx⋅cs(x−π3)=2csx⋅(12csx+32sinx)
=cs2x+3sinxcsx=1+cs2x2+32sin2x=cs(2x−π3)+12，
对于A，f(2π3)=csπ+12=−12，函数f(x)关于直线x=2π3对称，A正确；
对于B，f(5π6)=cs4π3+12=0，函数f(x)关于直线x=5π6不对称，B错误；
对于C，f(π12)=cs(−π6)+12≠12，函数f(x)关于(π12,12)不成中心对称，C错误；
对于D，f(−π12)=cs(−π2)+12=12，函数f(x)关于(−π12,12)中心对称，D错误.
故选：A
1.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)=2sinπ3−2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一条对称轴方程为 ．
【答案】x=5π12（答案不唯一，符合x=kπ2−π12(k∈Z)均为正确答案）
【分析】求出ω，求出f(x)即可求出对称轴方程.
【详解】因为函数f(x)=2sinπ3−2ωx(ω>0)的最小正周期为π，
所以2π2ω=π，所以ω=1，所以f(x)=2sin(π3−2x)，
令π3−2x=π2−kπ，所以x=kπ2−π12(k∈Z)，
所以x=5π12.
故答案为：x=5π12.
2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数Fx=sinx+φ30≤φ≤2π为偶函数，则φ= ．
【答案】3π2
【分析】根据函数为偶函数得F−x=Fx恒成立，利用两角和与差的正弦公式化简得csφ3=0恒成立，根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】函数Fx=sinx+φ30≤φ≤2π为偶函数，
所以F−x=Fx恒成立，即sin−x+φ3=sinx+φ3，
所以sinφ3csx−csφ3sinx=sinxcsφ3+csxsinφ3，
即sinxcsφ3=0恒成立，又sinx=0不恒成立，
所以csφ3=0恒成立，即φ3=kπ+π2,k∈Z⇒φ=3kπ+3π2,k∈Z，
又0≤φ≤2π，所以φ=3π2，
故答案为：3π2.
3.（2024·湖北·三模）设函数f(x)=sin(x+φ)+cs(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(−x)=f(x)，则tanφ=
【答案】1
【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得f(x)为偶函数，可求得φ的值，代入求解即可.
【详解】因为f(x)=sin(x+φ)+cs(x+φ)=2sin(x+φ+π4)，
又因为f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
即φ+π4=π2+kπ，k∈Z，
∴φ=π4+kπ(k∈Z)，
所以tanφ=tan(π4+kπ)=1 (k∈Z).
故答案为：1.
4.（2024·四川眉山·三模）若fx=2csx+φ+csx为奇函数，则φ= .（填写符合要求的一个值）
【答案】2π3（答案不唯一）
【分析】根据fx=2csφ+1⋅csx−2sinxsinφ为奇函数，可得csφ=−12，求解可得答案.
【详解】依题意，fx=2csxcsφ−2sinxsinφ+csx=2csφ+1⋅csx−2sinxsinφ，
当2csφ+1=0,fx为奇函数，
此时csφ=−12，则φ=2kπ±2π3,k∈Z.
故答案为：2π3（答案不唯一）.
5.（23-24高三下·吉林通化·期中）已知三角函数fx=sinωx+φω>0,φ∈0,π2的图象关于φ,0对称，且其相邻对称轴之间的距离为π2，则φ= ．
【答案】π3
【分析】由周期计算ω，代入对称中心算φ.
【详解】函数fx=sinωx+φω>0,φ∈0,π2的图象相邻对称轴之间的距离为π2，
则有T2=π2，得T=π=2πω，所以ω=2，则fx=sin2x+φ，
又函数图象关于φ,0对称，则fφ=sin3φ=0，且φ∈0,π2，所以φ=π3．
故答案为：π3.
6.（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数fx=cs2x−φ，则“φ=π2+kπ，k∈Z”是“fx为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】当φ=π2+kπk∈Z时，代入可得fx=±sin2x，由正弦函数性质，可验证充分性，fx为偶函数时，得到φ=kπk∈Z，可验证必要性.
【详解】函数fx=cs2x−φ，当φ=π2+kπk∈Z时，
fx=cs2x−π2+kπ= cs2x−π2−kπ=±sin2x，
则fx为奇函数，所以充分性不成立，
当fx为偶函数时，φ=kπk∈Z，所以必要性不成立，
故“φ=π2+kπ，k∈Z”是“fx为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
考点七、三角函数比较大小
1.（2024·山东日照·三模）已知a=22sin14°+cs14°，b=sin61°，c=32，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简a，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.
【详解】因为a=22sin14°+cs14°=22⋅2⋅sin14°+45°=sin59°，
b=sin61°，c=32=sin60°，由正弦函数y=sinx在0,π2上递增知：a故选：A.
2.（2024·河南·三模）设a=−lnsin1,b=cs1,c=12，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定a,b与c的大小即可.
【详解】因为y=sinx在0,π2上单调递增，所以22=sinπ4又y=lnx定义域上单调递增，所以lnsin1>ln22⇒a而y=csx在0,π2上单调递减，所以b=cs1>csπ3=12，所以a故选:A
1.（2024·云南·模拟预测）已知函数fx为R上的偶函数，且当x1,x2∈−∞,0,x1≠x2时，fx1−fx2x1−x2>0，若a=flg123，b=f0.50.2,c=fsin1，则下列选项正确的是（ ）
A．cC．a【答案】C
【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.
【详解】当x1,x2∈−∞,0时，fx1−fx2x1−x2>0，所以fx在−∞,0上单调递增；
又有fx为R上的偶函数，所以fx在0,+∞上单调递减.
由于我们有lg23>lg22=1=0.50>>0.49842115=0.87515=0.87>32=sinπ3>sin1>0，
即lg23>0.50.2>sin1>0，故flg23而a=flg123=f−lg23=flg23，b=f0.50.2，c=fsin1，故a故选：C.
2.（2024·山东临沂·二模）若实数a，b，c满足a=2sinπ12，b3=7，3c=10，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】首先判断a<1，12，即可判断.
【详解】因为a=2sinπ12<2sinπ6=1，
又b3=7，则b=37，且1<37<38=2，即1因为3c=10，所以c=lg310>lg39=2，
所以c>b>a.
故选：A
3.（2024高三·全国·专题练习）已知α，β为锐角，且α+β−π2>sinβ−csα，则（ ）
A．sinα>sinβB．csαsinβD．csα>csβ
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数f(x)=x+csx,0【详解】由α+β−π2>sinβ−csα，得α+csα>π2−β+sinβ，即α+csα>π2−β+cs(π2−β)，
令函数f(x)=x+csx,00，即函数f(x)在(0,π2)上单调递增，
而α,β为锐角，则π2−β也为锐角，原不等式等价于f(α)>f(π2−β)，于是α>π2−β，
所以sinα>sin(π2−β)=csβ，csα故选：B
4.（2024·全国·模拟预测）已知a=sin815，b=ln32，c=25，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．c>b>a
【答案】A
【分析】根据正弦函数和对数函数单调性，结合临界值12可比较出a,b大小关系；构造函数fx=lnx−2x−1x+1x>1，利用导数可得fx单调性，得到f32>0，由此可得b,c大小关系，从而得到结果.
【详解】∵815π6=815⋅6π=165π>1，又815<1<π2，∴sinπ6∵32=94=2.25b；
∵25=2×32−132+1，∴可令fx=lnx−2x−1x+1x>1，
∵f'x=1x−4x+12=x−12xx+12>0，∴fx在1,+∞上单调递增，
∴f32>f1=0，即ln32>25，∴b>c；
综上所述：a>b>c.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小的问题，解题关键是能够根据数字特征，采用构造函数的方式，将问题转化为函数单调性的求解问题.
5.（2024·安徽马鞍山·三模）已知角α∈0,π4，则数据sinα,sin(π−α),csα,cs(π−α),tanα的中位数为（ ）
A．sinαB．cs(π−α)C．csαD．tanα
【答案】A
【分析】结合诱导公式对已知式子进行化简，然后结合三角函数的性质判断各式的大小，结合中位数的概念即可判断．
【详解】因为角α∈0,π4，
所以sinα∈0,22，sin(π−α)=sinα，csα∈22,1，
csπ−α=−csα∈−1,−22，tanα∈0,1，
所以0按照从小到大的顺序排列时，前3个数为csπ−α，sinα，sinπ−α，
则中位数为sinα（或sinπ−α）．
其中当0构造单位圆⊙O，如图所示：

则A1,0，设∠POA=x∈0,π2，则Pcsx,sinx，
过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T，
由ATOA=tanx，得AT=tanx，所以T1,tanx，
由图可知S△OPA即12×1×sinx<12×12×x<12×1×tanx，
即sinx故选：A．
考点八、由图像确定三角函数的解析式
1.（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，若∀x∈R，fx+m=−fx，则正整数m的取值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先求出函数的周期T=6，再据此得到m=3l,l∈N∗，最后比对选项即可.
【详解】方法一：因为f0=csφ=12,0<φ<π2，
所以φ=π3，
f12=csω2+π3=0，所以ω2+π3=π2+2kπ,k∈Z，即ω=π3+4kπ，
而ω>0，所以k是非负整数，
又由图象可得12−0≤T4=π2ω，所以ω≤π，
综上，只能k=0,ω=π3，
所以fx的最小正周期为T=2ππ3=6，
而由fx+m=−fx，可知fx=−fx+m=fx+2m，即正整数2m是fx的周期，
所以2m=6l,l∈N∗，即m=3l,l∈N∗，对比选项可知只有C选项符合题意.
方法二：设函数的最小正周期为T，由于sinπ6=12，故据图象可知12T=π62π，从而T=6.
从而由fx+m=−fx表明m=2k+12T=3+6kk∈Z，比对选项知C正确，A，B，D错误.
故选：C.
2.（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=sinωx−φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．当x∈2π3,π时，fx的最小值为−32
B．fx在区间π4,π2上单调递增
C．fx的最小正周期为2π
D．fx的图象关于直线x=π3对称
【答案】D
【分析】先由函数图象得到函数解析式，A选项，整体法求解函数的值域；B选项，整体法求解函数单调性；C选项，利用2πω=π得到C正确；D选项，代入得到fπ3=1，D正确.
【详解】由图可知，f0=sin−φ=−12，
又因为0<φ<π2，所以φ=π6，所以ω×−5π12−π6=2kπ−π,k∈Z0−−5π12<2π2ω，
所以ω=2，即fx=sin2x−π6．
对于A：当x∈2π3,π，2x−π6∈7π6,11π6，∴fx∈−1,−12，A错误；
对于B：x∈π4,π2，2x−π6∈π3,5π6，
由于y=sinz在z∈π3,π2上单调递增，在z∈π2,5π6上单调递减，
所以fx在π4,π2上先增后减，B错误；
对于C：fx的最小正周期为2πω=π，C错误；
对于D：当x=π3时，2x−π6=π2，故fπ3=1，
所以fx的图象关于直线x=π3对称，D正确，
故选：D．
1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数gx的图象，则在下列区间上函数gx单调递增的是（ ）

A．π6,π3B．3π2,5π2C．5π6,7π6D．π,3π2
【答案】C
【分析】由fx的图象，棱台三角函数的性质求得f(x)=2sin(2x−π3)，进而得到g(x)=2sin2x，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】由函数fx的图象，可得3T4=5π12−−π3=3π4，解得T=π，所以ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，又由f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2，即sin(5π6+φ)=1，
可得5π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=−π3+2kπ,k∈Z，
因为φ<π，所以φ=−π3，所以f(x)=2sin(2x−π3)，
所以g(x)=2sin2x+π6−π3=2sin2x，令−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z，
所以函数gx的单调增区间是−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z.
故选：C.
2.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示，其中Aπ3,0，B−π24,−2，则以下五个说法正确的个数为（ ）
①函数fx的最小正周期是π；
②函数fx在3π4,π上单调递减；
③函数fx的图象关于直线x=11π24对称；
④将函数fx的图象向右平移π24个单位长度后关于y轴对称；
⑤当x∈π,5π4时，fx∈−3,2.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据函数图象求出fx的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.
【详解】由图像可知34T=π3−−π24，解得T=π2，①说法错误，
所以2πω=π2，解得ω=4，
将B−π24,−2代入fx=2sin4x+φ得sinφ−π6=−1，
所以φ−π6=−π2+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+2kπ，k∈Z，
又因为φ<π2，所以φ=−π3，fx=2sin4x−π3，
当x∈3π4,π时，4x−π3∈8π3,11π3，所以fx在3π4,π上先单调递减，再单调递增，②说法错误；
当x=11π24时，4x−π3=3π2，fx=−2，所以fx的图象关于直线x=11π24对称，③说法正确；
将函数fx的图象向右平移π24个单位长度后得到fx−π24=2sin4x−π24−π3=2sin4x−π2=−2cs4x，其图象关于y轴对称，④说法正确；
当x∈π,5π4时，4x−π3∈11π3,14π3，则sin4x−π3∈−32,1，fx∈−3,2，⑤说法错误；
综上③④说法正确，
故选：C
3.（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)，B，C两点的横坐标分别为x1,x2，若x2−x1=π4，则（ ）
A．φ=π4B．f(π2)=−2
C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称D．f(x)在[0,π2]上单调递减
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，进而求得x2−x1=π2ω，结合x2−x1=π4，得到ω=2，再逐项分析判断即可.
【详解】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而0<φ<π，且点A在f(x)图象的下降部分，则φ=3π4，
于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，显然A,B,C是直线y=2与fx的图象的三个连续的交点，
由A点横坐标xA=0，即ωxA+3π4=3π4，解得ωx1+3π4=9π4，ωx2+3π4=11π4，
解得x1=3π2ω，x2=2πω，则x2−x1=π2ω，而x2−x1=π4，因此ω=2，所以f(x)=2sin(2x+3π4)，
对于A，φ=3π4，A错误；
对于B，f(π2)=2sin(π+3π4)=−2sin3π4=−2，B正确；
对于C，f(π)=2sin(2π+3π4)=2sin3π4=2≠0，f(x)的图象关于(π,0)不对称，C错误；
对于D，当x∈[0,π2]时，3π4≤2x+3π4≤7π4，当2x+3π4=3π2，即x=3π8时，函数f(x)取得最小值，
又3π8∈(0,π2)，因此f(x)在[0,π2]上不单调，D错误.
故选：B
【点睛】思路点睛：给定f(x)=Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定ω，由图象上特殊点求φ.
4.（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图，点Aπ6,2，B在fx的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为2π3，则ω= ，fπ36= .
【答案】 3 −22
【分析】设Bx0,−2，由四边形ACBD为平行四边形，可得x0−π6=π3，由T2=π3可得ω；将点Aπ6,2代入f(x)=4sin(3x+φ)，可得φ，将x=π36代入解析式即可求解.
【详解】由四边形ACBD为平行四边形可知，
AC=2，设Bx0,−2，则2x0−π6=2π3，
所以x0−π6=π3，所以T2=12⋅2πω=π3，
解得ω=3，则f(x)=4sin(3x+φ)，
将点Aπ6,2代入得，4sin3×π6+φ=2，
即sinπ2+φ=12，由于点A在f(x)的增区间上，
所以π2+φ=2kπ+π6，k∈Z，则φ=2kπ−π3，k∈Z，
所以f(x)=4sin3x+2kπ−π3=4sin3x−π3，
故fπ36=4sinπ12−π3= 4sin−π4=−22.
故答案为：3；−22.
5.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，则ω+φ= ．

【答案】2+5π6
【分析】由图象得到f0=1，并结合0<φ<π可得φ，再结合图象得到f7π12=0及ω的大致范围，进而得到ω的值，即可得解．
【详解】由f0=1得sinφ=12，又x=0位于减区间上，所以φ=5π6+2kπk∈Z，
又0<φ<π，故φ=5π6．
由f7π12=0得2sin7π12ω+5π6=0，又x=7π12位于增区间上，
所以7π12ω+5π6=2k1πk1∈Z，得ω=247k1−107k1∈Z．
设fx的最小正周期为T，则12T<7π12<34T，即12×2πω<7π12<34×2πω，
得127<ω<187．又ω=247k1−107k1∈Z，所以ω=2，
故ω+φ=2+5π6．
故答案为：2+5π6
考点九、三角函数的平移与伸缩变换
1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fx=22sinxcsx+π4，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期是2π
B．函数fx在区间π8,5π8上是减函数
C．函数fx的图象关于点−π8,0对称
D．函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移π8个单位，再向下平移1个单位得到
【答案】B
【分析】根据三角恒等式对已知函数进行化简得fx=2sin(2x+π4)−1，根据周期公式即可求解A，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解B，代入验证即可求解C，利用函数图象的平移变换即可求解D.
【详解】fx=22sinxcsx+π4=22sinx(22csx−22sinx) =2sinxcsx−2sin2x
=sin2x+cs2x−1=2sin(2x+π4)−1，所以函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π，故A错误；
当x∈π8,5π8时，2x+π4∈[π2,3π2]，
又y=sinx在[π2,3π2]上单调递减，所以函数f(x)在区间[π8,5π8]上是减函数，故B正确；
因为f(−π8)=2sin0−1=−1≠0，所以函数f(x)的图象不关于点−π8,0对称，故C错误；
将y=2sin2x的图象向右平移π8个单位得到y=2sin2(x−π8)=2sin(2x−π4)，再将y=2sin(2x−π4)向下平移1个单位得到y=2sin(2x−π4)−1，故D错误．
故选：B．
2.（2024·陕西安康·模拟预测）将函数f(x)=4sinx+3csx的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)=5sinx的图象，则sinφ=（ ）
A．35B．45C．−35D．−45
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【详解】因为f(x)=4sinx+3csx=5sin(x+α)，其中sinα=35，
因为f(x)=4sinx+3csx的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)=5sinx，
所以φ=α，所以sinφ=35.
故选：A.
1.（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=3sinx+csx的图象向左平移φ个单位长度得到gx=2sinx+22csx的图象，则csφ= ．
【答案】22
【分析】把f(x),g(x)都化为y=Asin(x+θ)形式，然后结合图象平移变换知识得出φ的表示，再利用两角和或差的余弦公式求解．
【详解】由已知f(x)=3sinx+csx=10sin(x+α)，其中csα=310,sinα=110，α为锐角，
又g(x)=2sinx+22csx=10sin(x+β)，其中csβ=210=55，sinβ=255，β为锐角，
α,β都为锐角，且csα要把f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到gx的图象，则φ=2π−α−β，
csφ=cs[2π−(α−β)]=cs(α−β) =csαcsβ+sinαsinβ=310×55+110×255=22，
故答案为：22．
2.（2020·天津·高考真题）已知函数f(x)=sinx+π3．给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②fπ2是f(x)的最大值；
③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为f(x)=sin(x+π3)，所以周期T=2πω=2π，故①正确；
f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；
将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3)的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.
3.（2022·天津·高考真题）已知f(x)=12sin2x，关于该函数有下列四个说法：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f(x)在[−π4,π4]上单调递增；
③当x∈−π6,π3时，f(x)的取值范围为−34,34；
④f(x)的图象可由g(x)=12sin(2x+π4)的图象向左平移π8个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为f(x)=12sin2x，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π，①不正确；
令t=2x∈−π2,π2，而y=12sint在−π2,π2上递增，所以f(x)在[−π4,π4]上单调递增，②正确；因为t=2x∈−π3,2π3，sint∈−32,1，所以fx∈−34,12，③不正确；
由于g(x)=12sin(2x+π4)=12sin2x+π8，所以f(x)的图象可由g(x)=12sin(2x+π4)的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
4.（2022·浙江·高考真题）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin3x+π5图象上所有的点（ ）
A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度
C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为y=2sin3x=2sin3x−π15+π5，所以把函数y=2sin3x+π5图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象．
故选：D.
5.（2021·全国·高考真题）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图像，则f(x)=（ ）
A．sinx2−7π12B．sinx2+π12
C．sin2x−7π12D．sin2x+π12
【答案】B
【分析】解法一：从函数y=f(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到y=f2x−π3，即得f2x−π3=sinx−π4，再利用换元思想求得y=f(x)的解析表达式；
解法二：从函数y=sinx−π4出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=f(x)的解析表达式.
【详解】解法一：函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y=f2x−π3的图象，
根据已知得到了函数y=sinx−π4的图象，所以f2x−π3=sinx−π4，
令t=2x−π3,则x=t2+π3,x−π4=t2+π12,
所以ft=sint2+π12,所以fx=sinx2+π12；
解法二：由已知的函数y=sinx−π4逆向变换，
第一步：向左平移π3个单位长度，得到y=sinx+π3−π4=sinx+π12的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sinx2+π12的图象，
即为y=f(x)的图象，所以fx=sinx2+π12.
故选：B.
考点十、三角函数的平移与伸缩变换求参
1.（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于y轴对称，则fπ8=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象变换，得到g(x)=sin2x−π3+φ，由gx的图象关于y轴对称，求得φ=−π6，得到f(x)=sin4x−π6，进而求得fπ8的值，得到答案.
【详解】先将函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移π12个单位长度，
得到y=sin4x−π12+φ=sin4x−π3+φ的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到g(x)=sin2x−π3+φ的图象，
因为函数gx的图象关于y轴对称，所以−π3+φ=kπ+π2,k∈Z，即φ=5π6+kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=−π6，所以f(x)=sin4x−π6，
所以fπ8=sin4×π8−π6=sinπ3=32．
故选：C．
2.（2024·四川攀枝花·三模）将函数y=sin2x−cs2x的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的图象与y＝ksinxcsx（k＞0）的图象关于π6,0，则m+k的最小值是（ ）
A．2+π12B．2+π6C．2+5π12D．2+5π6
【答案】A
【分析】由半角公式可得函数y的解析式，再由题意可得y=−cs(2x−2m)−y=12ksin2π3−2x，可得k，m的表达式，进而可得m的最小值，求出m+k的最小值．
【详解】因为y=sin2x−cs2x=−cs2x，
由题意可得函数为y=−cs(2x−2m)，
即y=−cs(2x−2m)的图象与y=ksinxcsx=12ksin2x(k>0)的图象关于π8,0，
设P(x,y)为y=−cs(2x−2m)上的任意一点，
则该点关于π6,0对称的点Q（π3−x,−y)在y=k2sin2x上，
所以y=−cs(2x−2m)−y=12ksin2π3−2x，
由题意可得，两函数图象上的最高点也关于π6,0，
所以12k=1，则k=2，
又cs(2x−2m)=−sinπ2−2x=sin2x−2π3+π6，
所以2m=π6+2k'π，
解得m=π12+k'π，
因为m＞0，所以m的最小值为π12，
所以(m+k)min=2+π12．
故选：A．
1.（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数fx=csωx+φω>0的图象向左平移π2个单位后得到gx=sinωx+φ的图象，若−π4是fx的一个零点，则φ的可能取值为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
【答案】B
【分析】依题利用平移变换得到方程cs(ωx+π2ω+φ)=sinωx+φ，从中求得ω=4k−1,k∈N∗，将其代入另一条件，整理得φ=m+kπ+π4即可判断结果.
【详解】依题意，gx=cs(ωx+π2ω+φ)=sinωx+φ，则π2ω=2kπ−π2，解得ω=4k−1,k∈N∗；
又cs(−π4ω+φ)=0即得cs(−kπ+π4+φ)=0，k∈N∗，
则得−kπ+π4+φ=π2+mπ,m∈Z,k∈N∗，即φ=m+kπ+π4，k∈N∗,m∈Z.
故选：B.
2.（2024·江西景德镇·三模）函数fx=csωxx∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数fx的图象向右平移π3个单位得到函数gx的图象.若fα+gα=35，则cs4α+π3=（ ）
A．725B．1625C．−925D．−1925
【答案】A
【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出gx，根据三角变换化简fα+gα=35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.
【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，
因为函数fx在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，
又fπ=csωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，
将函数fx的图象向右平移π3个单位得到函数y=cs2x−π3=cs2x−2π3，
即gx=cs2x−2π3，
因为fα+gα=cs2α+cs2α−2π3
=32sin2α+12cs2α=sin2α+π6=35，
所以cs4α+π3=1−2sin22α+π6=1−2×352=725.
故选：A
3.（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数f(x)=3sin2x−π3−4cs2x−π3，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在0,π2内的两个不同的根，则sinπ2+x1+x2=（ ）
A．−35B．35C．−45D．45
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简f(x)，根据图象的平移变换可得g(x)的表达式，再结合题意利用正弦函数的对称性可得x1+x2=π2+φ，即可求得答案.
【详解】f(x)=3sin2x−π3−4cs2x−π3=5sin2x−π3−φ，
其中φ为辅助角，sinφ=45，csφ=35φ∈0,π2，
则g(x)=fx+π6=5sin2x+π6−π3−φ=5sin(2x−φ)，
当x∈0,π2时，2x−φ∈[−φ,π−φ]，−φ∈−π2,0，π−φ∈π2,π，
因为x1，x2是关于x的方程g(x)=a在0,π2内的两个不同根，
所以2x1−φ+2x2−φ2=π2⇒x1+x2=π2+φ，
因此sinπ2+x1+x2= sin(π+φ)=−sinφ=−45．
故选：C．
4.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+π3+csωx−π6(ω>0)，将f(x)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，若g(x)在0,π12上恰有一个极值点，则ω的取值不可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换得到f(x)=2sinωx+π3，结合伸缩变换得到g(x)=2sin2ωx+π3,ω>0，整体法得到2ωx+π3∈π3,ωπ6+π3，根据极值点个数得到不等式，求出1<ω≤7，得到答案.
【详解】因为f(x)=sinωx+π3+csωx−π6=12sinωx+32csωx+32csωx+12sinωx
=sinωx+3csωx=2sinωx+π3，
又将f(x)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=2sin2ωx+π3,ω>0．
当x∈0,π12时，2ωx+π3∈π3,ωπ6+π3，
又因为g(x)在0,π12上恰有一个极值点，
所以π2<ωπ6+π3≤3π2，解得1<ω≤7.
故选：A．
5.（2024·上海·三模）设a>0，已知函数fx=lnx2+ax+2的两个不同的零点x1、x2，满足x1−x2=1，若将该函数图象向右平移mm>0个单位后得到一个偶函数的图象，则m= ．
【答案】52
【分析】根据x1−x2=1可求a，再求出平移后图象对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.
【详解】令fx=0，故lnx2+ax+2=0即x2+ax+2=1，
故x2+ax+1=0，由题设有a−4>0a−41=1，故a=5.
故fx=lnx2+5x+2，
将fx图象向右平移mm>0个单位后所得图象对应的解析式为：
gx=lnx−m2+5x−m+2，
整理得到：gx=lnx2+(5−2m)x+m2−5m+2，
因为gx为偶函数，故g−x=gx，
所以x2+(5−2m)x+m2−5m+2=x2−(5−2m)x+m2−5m+2，
故(5−2m)x=−(5−2m)x对无穷多个x恒成立，故5−2m=0，
故m=52.
故答案为: 52
1．（2024·云南·二模）函数f(x)=sin2x+π3的最小正周期为（ ）
A．πB．π2C．π3D．π6
【答案】A
【分析】由周期公式直接求解可得.
【详解】由周期公式得T=2πω=2π2=π.
故选：A
2．（2024·河北保定·三模）将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，则gx=（ ）
A．sin2xB．−sin2xC．sin2x+π3D．cs2x+π6
【答案】C
【分析】由正弦型函数的图象变换直接求得答案.
【详解】将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移π3个单位长度，
得到函数gx=fx+π3=sin2x+π3.
故选：C.
3．（2024·广西·二模）把函数fx=cs5x的图象向左平移15个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．y=cs5x+1B．y=cs5x+15
C．y=cs5x−1D．y=cs5x−15
【答案】A
【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.
【详解】由题意新函数解析式为y=cs5(x+15)=cs(5x+1).
故选：A．
4．（2024·上海·三模）若函数fx=asinx−3csx的一个零点是π3，则函数y=fx的最大值为
【答案】2
【分析】根据fπ3=0求得a=1，再用辅助角公式化简fx，从而得到fx的最大值.
【详解】由题意fπ3=asinπ3−3csπ3=0，所以a=1，
所以fx=sinx−3csx=212sinx−32csx=2sinx−π3，
又sinx−π3∈−1,1，所以fx∈−2,2，故fx的最大值为2.
故答案为：2.
5．（2024·上海·三模）函数y=tan(−x+π6)的最小正周期为 ．
【答案】π
【分析】利用函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期计算公式即可求解.
【详解】因为y=tanx的最小正周期为π,
所以函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期为π|ω|，
所以函数y=tan(−x+π6)的最小正周期为π|−1|=π,
故答案为：π.
6．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数y=4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=fx的图象，则fx的最小正周期为 ，f7π18= .
【答案】 2π3/23π −2
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得fx=4sin3x，结合T=2πω和求出f7π18即可求解.
【详解】由题意知，fx=4sin3x，
则fx的最小正周期T=2π3，
f7π18=4sin7π6=−4sinπ6=−2.
故答案为：2π3；−2
7．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ是常数，A>0,ω>0)． 若f(x)在区间π6,π2上具有单调性，且fπ2=f2π3=−fπ6, 则f(x)的最小正周期为 ．
【答案】π
【分析】由题意画出函数图象，结合图象即可求解周期.
【详解】不失一般性，设f(x)在区间π6,π2上单调递减，如图所示：
结合图象得T4=π2+2π32−π2+π62=7π12−π3=π4，即T=π．
故答案为：π.
1．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数fx的图象关于点π6,0成中心对称；
②函数fx的解析式可以为fx=2cs2x−2π3；
③函数fx在π12,13π24上的值域为0,2；
④若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移π12个单位，则所得函数是y=2sin3x+π12
A．①③B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】根据图象求出函数表达式，对于①，由代入检验法判断；对于②，由诱导公式检验；对于③，由整体代入法求值域检验；对于④，由平移、伸缩变换法则验算即可判断.
【详解】由图可知A=2,3T4=34⋅2πω=3π2ω=13π12−π3=3π4，所以T=π,ω=2，
且2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，所以φ=−π6+2kπ,k∈Z，
又因为φ<π，所以只能k=0,φ=−π6，
所以fx=2sin2x−π6，
对于①，fπ6=2sinπ3−π6=2sinπ6=1≠0，故①错误；
对于②，fx=2sin2x−π6=2cs2π3−2x=2cs2x−2π3，故②正确；
对于③，当x∈π12,13π24时，2x−π6∈0,11π12，此时sin2x−π6的取值范围是0,1，
从而函数fx在π12,13π24上的值域为0,2，故③正确；
对于④，若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移π12个单位，
则所得函数是f32x−π12=2sin2⋅32x−π12−π6=2sin3x−5π12，故④错误；
综上，正确的编号是②③.
故选：B.
2．（2024·天津南开·二模）已知函数fx=sin2x+φ（0<φ<π），fπ6−x=fx，则（ ）.
A．f0=12
B．fx的图象向左平移π6个单位长度后关于y轴对称
C．fx在π6,2π3上单调递减
D．fπ3−x+fπ3+x=0
【答案】D
【分析】根据fπ6−x=fx，即函数fx关于x=π12对称，可得fx=sin2x+π3，根据三角函数的性质和图象变换，逐项判断.
【详解】根据题意，fπ6−x=fx，即函数fx关于x=π12对称，
即2×π12+φ=π2+kπ,k∈Z，又0<φ<π，
所以φ=π3，fx=sin2x+π3，
则f0=sinπ3=32，A错误；
fx的图象向左平移π6个单位长度得，
g(x)=fx+π6=sin2x+π6+π3=sin2x+2π3，
而g(0)=sin2π3=32≠±1，所以B错误；
x∈π6,2π3，则2x+π3∈2π3,5π3，则函数fx先减后增，C错误；
fπ3−x+fπ3+x=sin2π3−x+π3+sin2π3+x+π3
=sinπ−2x+sinπ+2x=sin2x−sin2x=0，D正确.
故选：D
3．（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2<φ<π2的部分图像如图所示，若f(θ)=13，则f2θ+5π3=（ ）
A．−29B．29C．−79D．79
【答案】D
【分析】先由图像以及题意求出f(x)的解析式，从而得fθ=sin12θ+π3，f2θ+5π3=sin212θ+π3+π2，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.
【详解】由图可知A=1,f0=sinφ=32，由−π2<φ<π2可知φ=π3，
故f(x)=sin(ωx+π3)，又由图sin(4π3ω+π3)=0，
故由图4π3ω+π3=2kπ+π,k∈Z，⇒ω=32k+12,k∈Z①，
由图4π3−08π3⇒ω<34②，
又ω>0，结合①②可得ω=12，故f(x)=sin(12x+π3)，
所以fθ=sin12θ+π3=13.
故f2θ+5π3=sin212θ+π3+π2=cs212θ+π3 =1−2sin212θ+π3=1−29=79.
故选：D.
4．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)的图象关于点5π6,0对称
C．函数f(x)在−π2,−π6单调递增
D．函数f(x)的图象向右平移π6后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数
【答案】C
【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到C点横坐标，从而得到最小正周期T=π；B选项，根据f(x)的图象关于点−π6,0对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出ω=2πT=2，将π12,A代入解析式求出φ=π3，A>0，从而利用整体法判断出f(x)在−π2,−π6不单调；D选项，求出gx=Asin2x，得到其奇偶性.
【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故xC=0+2π32=π3，
设fx的最小正周期为T，则12T=π3−−π6=π2，故T=π，A正确；
B选项，可以看出函数f(x)的图象关于点−π6,0对称，
又fx的最小正周期T=π，
故函数f(x)的图象关于点5π6,0对称，B正确；
C选项，又ω>0，故ω=2πT=2，
π3+−π62=π12，故将π12,A代入解析式得Asin2×π12+φ=A，
解得π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，
又|φ|<π2，故当且仅当k=0时，满足要求，故φ=π3，
又当x=0时，f(x)=Asinπ3>0，故A>0，
则fx=Asin2x+π3，
当x∈−π2,−π6时，2x+π3∈−2π3,0，
由于y=sinz在z∈−2π3,0上不单调，
故fx=Asin2x+π3在x∈−π2,−π6上不单调，C错误；
D选项，gx=Asin2x+π3−π3=Asin2x，定义域为R，
又g−x=Asin−2x=−Asin2x=−gx，g(x)为奇函数，D正确.
故选：C
5．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）若函数fx=sin3x−π4的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y=gx的图象，下列关于函数gx的说法中，不正确的是（ ）
A．函数gx的图象关于直线x=π12对称
B．函数gx的图象关于点π4,0对称
C．函数gx的单调递增区间为−π4+2kπ,π12+2kπ，k∈Z
D．函数gx−π12是奇函数
【答案】C
【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论.
【详解】函数fx=sin3x−π4的图象向左平移π6个单位长度后得，
gx=sin3(x+π6)−π4=sin(3x+π4)
x=π12时，g(x)=sin(3×π12+π4)=1，为g(x)的最大值，所以选项A正确；
x=π4时，g(x)=sin(3×π4+π4)=0，所以选项B正确；
令2kπ−π2≤3x+π4≤2kπ+π2，则 23kπ−π4≤x≤23kπ+π12，k∈Z，所以选项C错误；
g(x−π12)=sin3x为奇函数，所以选项D正确.
故选：C.
6．（2024·安徽合肥·三模）已知函数fx=3sinωxcsωx+cs2ωx+12(ω>0)在区间0,π上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是 ．
【答案】(76,53]
【分析】先将fx化简为sin2ωx+π6+1，再根据fx在区间0,π上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出ω的取值范围.
【详解】fx=3sinωxcsωx+cs2ωx+12
=32sin2ωx+12cs2ωx+1 =sin2ωx+π6+1，
由x∈0,π，ω>0，得2ωx+π6∈π6,2πω+π6，
fx=0时，sin2ωx+π6=−1，fx最大时，sin2ωx+π6也最大，
若fx在区间0,π上只有一个零点和两个最大值点，
则只需5π2<2πω+π6≤7π2，解得76<ω≤53．
故答案为：(76,53].
7．（2024·陕西·模拟预测）已知函数fx=sin2ωx+π3（ω>0）在区间0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是 .
【答案】1312,1912
【分析】由x的取值范围求出2ωx+π3的取值范围，将问题转化为函数fx=sin2ωx+π3在区间2ωx+π3∈π3,2ωπ+π3上的极值点个数问题，计算求解即可.
【详解】因为x∈0,π且ω>0，
所以2ωx+π3∈π3,2ωπ+π3，
又因为函数fx=sin2ωx+π3在区间0,π上有且仅有3个极值点，
所以满足2ωπ+π3∈5π2,7π2，即ω∈1312,1912，
故答案为：1312,1912
1.（2021·北京·高考真题）函数f(x)=csx−cs2x是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为98D．偶函数，且最大值为98
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，f(−x)=cs(−x)−cs(−2x)=csx−cs2x=f(x)，所以该函数为偶函数，
又f(x)=csx−cs2x=−2cs2x+csx+1=−2(csx−14)2+98，
所以当csx=14时，f(x)取最大值98.
故选：D.
2.（2024·全国·高考真题）函数fx=sinx−3csx在0,π上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】fx=sinx−3csx=2sinx−π3，当x∈0,π时，x−π3∈−π3,2π3，
当x−π3=π2时，即x=5π6时，fxmax=2.
故答案为：2
3.（2024·天津·高考真题）已知函数fx=sin3ωx+π3ω>0的最小正周期为π．则fx在−π12,π6的最小值是（ ）
A．−32B．−32C．0D．32
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得fx=−sin2x，再整体求出x∈−π12,π6时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】fx=sin3ωx+π3=sin3ωx+π=−sin3ωx，由T=2π3ω=π得ω=23，
即fx=−sin2x，当x∈−π12,π6时，2x∈−π6,π3，
画出fx=−sin2x图象，如下图，
由图可知，fx=−sin2x在−π12,π6上递减，
所以，当x=π6时，fxmin=−sinπ3=−32
故选：A
4.（2021·全国·高考真题）函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，f(x)=sinx3+csx3=222sinx3+22csx3=2sinx3+π4，所以fx的最小正周期为T=2π13=6π，最大值为2.
故选：C．
5.（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=π2对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π【详解】对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，
所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，
f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，
所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=csx+1csx，
f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=csx+1csx，则f(π2−x)=f(π2+x)，
所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；
对于命题④，当−π命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6.（2023·全国·高考真题）函数y=fx的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=fx的图象与直线y=12x−12的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得fx=−sin2x，再作出fx与y=12x−12的部分大致图像，考虑特殊点处fx与y=12x−12的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为y=cs2x+π6向左平移π6个单位所得函数为y=cs2x+π6+π6=cs2x+π2=−sin2x，所以fx=−sin2x，
而y=12x−12显然过0,−12与1,0两点，
作出fx与y=12x−12的部分大致图像如下，

考虑2x=−3π2,2x=3π2,2x=7π2，即x=−3π4,x=3π4,x=7π4处fx与y=12x−12的大小关系，
当x=−3π4时，f−3π4=−sin−3π2=−1，y=12×−3π4−12=−3π+48<−1；
当x=3π4时，f3π4=−sin3π2=1，y=12×3π4−12=3π−48<1；
当x=7π4时，f7π4=−sin7π2=1，y=12×7π4−12=7π−48>1；
所以由图可知，fx与y=12x−12的交点个数为3.
故选：C.
7.（2020·江苏·高考真题）将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】x=−5π24/−524π
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】y=3sin[2(x−π6)+π4]=3sin(2x−π12)
2x−π12=π2+kπ(k∈Z)∴x=7π24+kπ2(k∈Z)
当k=−1时x=−5π24
故答案为：x=−5π24
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第7题,5分
求含正弦(型)函数的值域和最值由正弦(型)函数的周期性求值
2023年天津卷，第6题,5分
求正弦(型)函数的最小正周期 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 求含csx的函数的最小正周期 求csx(型)函数的对称轴及对称中心
2022年天津卷，第9题,5分
求sinx型三角函数的单调性，求含sinx(型)函数的值域和最值，求正弦(型)函数的最小正周期，描述正(余)弦型函数图象的变换过程
2020年天津卷，第8题,5分
结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))))，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(k∈Z))
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z时取得
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z时取得
无最大值和最小值
单调性
增区间：[2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)；减区间：[2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)](k∈Z)
增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
增区间(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)
周期
性
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
kπ，k∈Z
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)，
x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
x
−π6
π12
π3
7π12
5π6
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
Asin(ωx+φ)
0
3
0
-3
0