第21讲 平面向量基本定理及坐标表示（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握平面向量的基本定理
2.能掌握空间直角坐标系的点坐标的运算
3.具备数形结合的思想意识，会建立空间直角坐标系，利用点坐标解决向量共线问题
4.会利用向量点坐标的公式求解向量共线以及加减数乘问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，求解向量的线性表示与模长数量积问题。
知识讲解
知识点一．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点二．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点三．平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
2.向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识点四．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
知识点五．平面向量基本定理的推论
1.设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
2.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq \(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq \(OA,\s\up15(→))＋teq \(OB,\s\up15(→)).特别地，当t＝eq \f(1,2)时，点P是线段AB的中点．
②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得eq \(OP,\s\up15(→))＝λeq \(OA,\s\up15(→))＋μeq \(OB,\s\up15(→))，且λ＋μ＝1.
4.常用结论：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
考点一、平面向量基本定理的应用
1.（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b，用a,b表示DE= ，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为
2.（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA，若AB=λAD+μBE，则λ+μ的值为（ ）
A．12B．14C．−12D．−14
1.（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量e1、e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．2e1+e2和e1−e2B． e1+3e2和e2+3e1
C． 3e1−e2和2e2−6e1D． e1和e1+e2
2.（2024·江苏扬州·模拟预测）在△ABC中，DC=2BD, M为线段AD的中点，过M的直线分别与线段AB､AC交于P､Q，且AP=23AB, AQ=λAC，则λ=（ ）
A．16B．13C．12D．23
3.（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，AC=λOA+μOB，则λ+μ=（ ）
A．−3B．−2C．1D．6
4.（23-24高三上·天津武清·阶段练习）在△ABC中，BD=13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CE=xCA+yCB，则2x+3y+xyxy的最小值是（ ）
A．10B．4C．7D．13
5.（23-24高三上·江苏南京·期中）在△ABC中，已知点D满足BC=λCD，若AD=3AC−2AB，则λ= .
6.（23-24高三上·天津和平·期末）如图，在△ABC中，BO=3OC，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，记AB=a,AC=b，用a,b表示AO= ；设AB=mAM,AC=nAN，若m>0,n>0，则2m+1n的最小值为 ．
考点二、平面向量的坐标运算
1.（2024·河南·模拟预测）已知向量AB=2,−1，AC=3,2，点C−1,2，则点B的坐标为（ ）
A．−2,−1B．0,5C．2,−5D．2,−1
2.（22-23高三·全国·对口高考）已知向量a=(3,1),b=(0,−2)．若实数k与向量c满足a+2b=kc，则c可以是（ ）
A．(3,−1)B．(−1,−3)
C．(−3,−1)D．(−1,3)
1.（2024·湖北武汉·二模）已知点A,B,C,D为平面内不同的四点，若BD=2DA−3DC，且AC=(−2,1)，则AB=
2.（2024·福建泉州·模拟预测）菱形ABCD中，AB=1,t，BD=2,2，则t= ．
3.（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+yAD，则x+y=（ ）

A．23B．2C．3D．6
4.（2023·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AC⊥CD,AB=BC=CD，若AC=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．43B．2C．32D．2
5.（2024·北京·三模）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μbλ,μ∈R，则λμ的值 ．
考点三、利用向量共线求参数
1.（2024·内蒙古包头·三模）已知向量a=1,−1，b=m+1,2m−4，若a+b//a−b，则m=（ ）
A．4B．3C．2D．1
2.（2024·陕西渭南·二模）已知向量a=t−3,−1，b=2,t，则“t=2”是“a∥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1.（2024·江西南昌·模拟预测）已知a=(1,2),b=(−1,3)，若(ka+b)//(2a−b)，则k的取值为 .
2.（23-24高三上·江西·期中）已知平面向量a→=1,m，b→=−2,1，c→=n,2，若a→⊥b→，b→//c→，则m+n= .
考点四、利用向量共线求向量与点坐标
1.（·上海·高考真题）已知点A1,−2，若向量AB与a=2,3同向，AB =213，则点B的坐标为 .
2.（2024·全国·模拟预测）已知M4,−2，N−6,−4，且MP=−12MN，则点P的坐标为（ ）
A．1,1B．9,−1C．−2,2D．2,−1
1.（2024·陕西宝鸡·三模）已知向量a=(m,2)与b=(−2,−4)共线，则2a−b=（ ）
A．(10,8)B．(4,8)C．(0,0)D．(1,2)
2.（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E：y2=4x的焦点为F，直线AB，CD过F分别交抛物线E于点A，B，C，D，且直线AD，BC交x轴于N，M，其中N2,0，则M点坐标为 ．
3.（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量a=3，b=1,2，且a//b，则向量a的坐标为 ．
4.（22-23高三·全国·对口高考）已知点A(1,−2)，若AB与a=(2,3)的夹角是180∘，|AB|=213，则点B坐标为 ．
1．（23-24高三上·天津·期中）与向量a=3,−1和b=1,3的夹角均相等的单位向量为（ ）
A．255,55或−255,−55
B．55,255或−55,−255
C．255,−55或−255,55
D．55,−255或−55,255
2．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在△ABC中，M是AC边上一点，且AM=2MC，若BM=xBA+yBC，则y的值为（ ）
A．−13B．13C．−23D．23
3．（20-21高三上·天津红桥·期中）设0<θ<π2，向量a=sin2θ,csθ,b=csθ，1，若a//b，则tanθ= （ ）
A．1B．13C．2D．12
4．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知平面内三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，若(a+kc)//2b−a，则k= .
5．（21-22高三上·天津·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC=23，AD=12，∠CAB=π6，AD⋅AB=−12，则AD⋅AC= ；设AC=mAB+nADm,n∈R，则m+n= .
6．（21-22高三上·全国·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μAD，则λ+μ= .
7．（20-21高三上·天津·期末）如图，在边长1为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则AM⋅AC= ，若AC=λAM+μBN，则λ+μ= .
1．（2024·天津·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=2，AC=5，cs∠CAB=35，D是边BC上一点，且BD=2DC.若BP=34AD，记PD=λAB+μACλ,μ∈R，则λ+μ= ；若点P满足BP与AD共线，PA⊥PC，则BPAD的值为 .
2．（2024·天津·二模）在四边形ABCD中，∠A=120∘，AC=1，AB=2DC，M为AD中点． 记AD=a,AB=b，用a,b表示BM= ；若AN=14DC，则ND⋅BM的最大值为 ．
3．（2024·天津南开·一模）平面四边形ABCD中，AB=2，∠ABC=π3，AC⊥AB，E为BC的中点，用AB和AE表示AC= ；若ED=2，则AD⋅AB的最小值为
4．（2024·天津河东·一模）已知△ABC，如图所示，点E为BC中点，点D满足AD=13AB，记CA=a,CB=b，用a,b表示ED= ；当∠B=30°,CD=BD,ED=1时a⋅b= ．

5．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，AF=2FE，若设BA=a,BC=b，则BF可用a，b表示为 ；若△ADE的面积为32，则BF的最小值为 ．
6．（23-24高三上·天津·阶段练习）如图，在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、CD上的点．CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且满足AM=12AB+56ADx∈R，AM= ；若点N为线段BD上一动点，则AN⋅MN的取值范围为 ．
7．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AB⋅AC=3，点D是BC的中点，点E在边AC上，3AE=AC,BE交AD于点F，设BF=λAB+μACλ,μ∈R，则λ+μ= ；点G是线段BC上的一个动点，则BF⋅FG的最大值为 ．

1.（2022·全国·高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（ ）
A．3m−2nB．−2m+3nC．3m+2nD．2m+3n
2.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设AB=a，AD=b，则EF等于（ ）

A．12a+bB．12a−bC．12b−aD．12a+b
3.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ= ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF⋅DG的最小值为 ．
4.（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=12CD→，记AB=a,AC=b，用a→,b→表示AE⃗= ；若BF=13BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
5.（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,b=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
6.（·浙江·高考真题）已知向量a=3,4，b=sinα,csα，且a//b，则tanα=（ ）
A．34B．−34C．43D．−43
7.（2024·上海·高考真题）已知k∈R,a=2,5,b=6,k，且a//b，则k的值为 ．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第14题,5分
平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示
2023年天津卷，第14题,5分
余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值
2022年天津卷，第14题,5分
用基底表示向量 向量夹角的计算
2021年天津卷，第15题,5分
数量积的运算律
2020年天津卷，第15题,5分
已知向量共线(平行)求参数 用定义求向量的数量积 数量积的坐标表示