第22讲 平面向量的数量积（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握向量的数量积公式
2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式
3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系，求解向量的数量积与夹角模长等问题
4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问题。
知识讲解
知识点一．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
知识点二．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
知识点三．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
知识点四．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
知识点五．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
知识点六.常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b0)，点M(a2c,m)，N(a2c,n)，若以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,0)，且(OM−2OF)⋅(OM+2OF)=OM⋅NM，则椭圆C的离心率为（ ）
A．23B．53C．63D．38
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得2a2=3c2，进而求出离心率.
【详解】由以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,0)，得FM⊥FN，即FM⋅FN=0，
而FM=(a2−c2c,m),FN=(a2−c2c,n)，则(a2−c2c)2+mn=0，又NM=(0,m−n)，
由(OM−2OF)⋅(OM+2OF)=OM⋅NM，得OM2−2OF2=OM⋅NM，
则(a2c)2+m2−2c2=m(m−n)，即a4c2−2c2=−mn，因此a4c2−2c2=(a2−c2)2c2，
整理得2a2=3c2，解得ca=63，所以椭圆C的离心率为63.
故选：C
1.（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，设点D为AC的中点，E在BC上，且AE⋅BD=0，则BC⋅AE=（ ）
A．16B．12C．8D．−4
【答案】A
【分析】以B为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可.
【详解】因为在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，以B为原点，建立如图坐标系，
则A4,0，B0,0，C0,6，D2,3，设E0,b，则AE=(−4,b)，BD=(2,3)，BC=(0,6)
由题意可知AE⋅BD=0.即−4,b⋅2,3=0，即−8+3b=0，所以b=83.
所以E0,83，∴AE=−4,83.所以AE⋅BC=16.
故选：A.
2.（2024·湖北·模拟预测）直线y=kx与圆x−12+y−12=1交于M、N两点，O为坐标原点，则OM⋅ON=（ ）
A．11+k2B．k21+k2C．1D．2
【答案】C
【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出x1x2,y1y2，根据向量数量积可求答案.
【详解】联立y=kxx−12+y−12=1,得1+k2x2−2k+1x+1=0，
则Δ>0，即4k+12−4k2+1>0，所以k>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则：x1x2=11+k2，y1y2=k2x1x2=k21+k2，
OM⋅ON=x1x2+y1y2=1+k2⋅1k2+1=1.
故选：C
3.（2024·河南周口·模拟预测）已知△ABC中，AC=22，∠C=π4，AD为BC上的高，垂足为D，点E为AB上一点，且AE=2EB，则AD⋅CE=（ ）
A．−43B．43C．−83D．83
【答案】A
【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得CE⃗⋅AD⃗=13CA⃗⋅AD⃗+23CB⃗⋅AD⃗可得答案.
【详解】如图所示，
由题意可知，AC=22，∠ADC=π2，∠ACD=π4，故AD=2，
因为AE=2EB，
所以CE=CA+AE=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=13CA+23CB，
则CE⋅AD=13CA+23CB⋅AD=13CA⋅AD+23CB⋅AD
=13|CA⃗|·|AD⃗|cs3π4=−43.
故选：A.
4.（2024·四川凉山·三模）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC重心，则OG⋅BC= ．
【答案】43
【分析】设BC的中点为D，根据三角形外心性质，得GD⊥BC，由重心性质得OD=16(AB+AC)，再根据数量积运算即可求解.
【详解】设BC的中点为D，连接AD,GD，
由点G为△ABC的外心，可得GD⊥BC，
由点O为△ABC重心，可得OD=13AD=16(AB+AC)，
故OG⋅BC=(OD+DG)⋅BC
=OD⋅BC+0
=16(AB+AC)⋅(AC−AB)
=16(AC2−AB2)=16×9−1=43.

故答案为：43.
5.（2024·天津河西·二模）在四边形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，∠ABC=60°，AB=2，AD=3，E、F分别为线段AB、CD的中点，若设AD=a，BC=b，则EF可用a，b表示为 ；EF⋅CD= .
【答案】 12a+12b −38
【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定CD及CD与AD，BC的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空.
【详解】
由题意得，EF=EA+AD+DF,EF=EB+BC+CF,
由E、F分别为线段AB、CD的中点，知EA+EB=0，DF+CF=0，
因此，2EF=EA+AD+DF+EB+BC+CF=AD+BC
∴EF=12a+12b；
延长AD、BC交一点G,由AB⊥AD,∠ABC=60∘，AB=2，∴AG=23,且∠DGC=30∘.
∵AD=3,∴DG=3
又∵ CB⊥CD，∴∠GCD=90∘,∴CD=32,∠GDC=60∘，则∠CDA=120∘
∴EF⋅CD=12AD+BC⋅CD=12AD⋅CD+12BC⋅CD=12AD⋅CD =12AD⋅CDcs120∘=12×3×32×−12=−38.
故答案为：12a+12b；−38
考点二、模长问题
1.（2020·全国·高考真题）设a,b为单位向量，且|a+b|=1，则|a−b|= .
【答案】3
【分析】整理已知可得：a+b=a+b2，再利用a,b为单位向量即可求得2a⋅b=−1，对a−b变形可得：a−b=a2−2a⋅b+b2，问题得解.
【详解】因为a,b为单位向量，所以a=b=1
所以a+b=a+b2=a2+2a⋅b+b2=2+2a⋅b=1
解得：2a⋅b=−1
所以a−b=a−b2=a2−2a⋅b+b2=3
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
2.（2024·河南·二模）若向量a,b满足b=1,a+b⊥b,a+2b⊥a，则a=（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．
【详解】因为向量a，b满足|b|=1，(a+b)⊥b，(a+2b)⊥a，
所以(a+b)⋅b=a⋅b+|b|2=a⋅b+1=0，即a⋅b=−1，
所以(a+2b)⋅a=|a|2+2a⋅b=0，则|a|=2．
故选：A．
1.（2024·河南濮阳·模拟预测）已知A1,0，B0,1，Ccsα,sinα，α∈0,π，若AC=BC，则α的值为（ ）
A．3π4B．π2C．π4D．π6
【答案】C
【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得tanα=1，即可得结果.
【详解】由题意可得：AC=csα−1,sinα,BC=csα,sinα−1，
若AC=BC，则csα−12+sin2α=cs2α+sinα−12，
可得2−2csα=2−2sinα，则tanα=1，
且α∈0,π，所以α=π4.
故选：C.
2.（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夹角为π3，a=−32,12，a−b=1，则a+b=（ ）
A．1B．32C．2D．3
【答案】D
【分析】分析可知a=1，向量a，a−b的夹角为π3，根据a+b=2a−a−b结合数量积的运算求解.
【详解】因为a=−32,12，则a=1，
且非零向量a，b的夹角为π3，a−b=1，可知向量a，a−b的夹角为π3，
则a⋅a−b=1×1×12=12，
所以a+b=2a−a−b=4a2−4a⋅a−b+a−b2=3.
故选：D.
3.（2024·陕西西安·三模）已知向量a=2,m，b=1,1，a+b=a，则m=（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
【答案】A
【分析】结合平面向量的数量积运算，即可求解.
【详解】因为向量a=2,m，b=1,1，由a+b=a，可得a2+2a⋅b+b2=a2，所以22+m+2=0，解得m=−3．
故选：A
4.（2018·辽宁朝阳·三模）已知向量a与b的夹角为60∘，a=2，b=3，则3a−2b= .
【答案】6
【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.
【详解】由题意，向量a与b的夹角为60∘，a=2，b=3，
所以3a−2b2=9a2−12a⋅b+4b2=9×22−12×2×3cs60∘+4×32=36，
所以3a−2b=6,
故答案为：6
5.（2024·四川资阳·二模）已知向量a，b的夹角为150°，且a=2，b=2，则a−3b=（ ）
A．1B．2−3C．2+3D．27
【答案】D
【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.
【详解】因为a⃗−3b⃗2=a⃗2−23a⃗⋅b⃗+3b⃗2=4−23×2×2×−32+3×4=28，
所以a−3b=27.
故选：D
6.（24-25高三上·广东·开学考试）已知p=sinx,−1，q=csx,12，若p⊥q，则p−q= ．
【答案】32
【分析】借助向量垂直可得其数量积为0，利用向量数量积公式与模长公式计算后结合三角函数基本关系即可得解.
【详解】由p⊥q，则有p⋅q=sinxcsx−12=0，即sinxcsx=12，
又p−q=sinx−csx,−32，
则p−q2=sinx−csx2+94=sin2x+cs2x−2sinxcsx+94=1−1+94=94，
故p−q=32.
故答案为：32
7.（24-25高三上·湖北·阶段练习）若平面内不共线的向量a,b,c两两夹角相等，且a=1,b=2,c=3，则a+b+c= .
【答案】3
【分析】把向量的模转化为数量积，再应用数量积运算律计算求解.
【详解】因为平面内不共线平面向量a,b,c两两的夹角相等，
即a,b,c两两的夹角为120∘，
a→+b→+c→=(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2+2a→⋅b→+2a→⋅c→+2b→⋅c→
=|a|2+|b|2+|c|2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c
=12+22+32+2×1×2×−12+2×1×3×−12+2×2×3×−12
=3.
故答案为：3.
考点三、角度问题
1.（2020·浙江·高考真题）设e1，e2为单位向量，满足|2e1−e2|≤2，a=e1+e2，b=3e1+e2，设a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值为 ．
【答案】2829
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得e1⋅e2≥34，再根据向量夹角公式求cs2θ函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】∵|2e1−e2|≤2，
∴4−4e1⋅e2+1≤2，
∴e1⋅e2≥34，
∴cs2θ=(a⋅b)2a2⋅b2=(4+4e1⋅e2)2(2+2e1⋅e2)(10+6e1⋅e2)=4(1+e1⋅e2)5+3e1⋅e2
=43(1−25+3e1⋅e2)≥43(1−25+3×34)=2829.
故答案为：2829.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
2.（24-25高三上·贵州·开学考试）若向量a=−2,2，b=−1,3的夹角为θ，则csθ=（ ）
A．−255B．55C．255D．−55
【答案】C
【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可．
【详解】由题可知，csθ=a⋅ba⋅b=2+622×10=255，
故选：C．
1.（2024·山西太原·二模）已知a=b=1，c=3，a+b+c=0，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
【分析】依题意可得c=−a+b，将两边平方，由数量积的运算求出a⋅b，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为a=b=1，c=3，a+b+c=0，
所以c=−a+b，则c2=a2+2a⋅b+b2，即32=12+2a⋅b+12，
解得a⋅b=12，
设a与b的夹角为θ，则csθ=a⋅ba⋅b=12，又0°≤θ≤180°，
所以θ=60°，即a与b的夹角为60°.
故选：C
2.（2024·甘肃兰州·三模）已知向量a=(1,−2),b=(−1,−2)，设a与b的夹角为θ，则sinθ=（ ）
A．−35B．35C．−45D．45
【答案】D
【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.
【详解】因为a=(1,−2),b=(−1,−2)，
所以a⃗⋅b⃗=3，a=5,b=5，
所以csθ=a⃗⋅b⃗a⃗b⃗=35，
因为θ为a与b的夹角，所以sinθ=1−cs2θ=45.
故选：D
3.（23-24高三上·湖北十堰·开学考试）已知平面向量a→,b→满足a⋅a+b=3，且a→=2,b→=1，则向量a→与b→夹角的正弦值为（ ）
A．−12B．−32C．12D．32
【答案】D
【分析】运用数量积性质和定义计算夹角，再结合同角三角函数关系可解.
【详解】a⋅a+b=3⇒a2+a⋅b=3⇒a⋅b=−1=|a||b|csa,b⇒csa,b=−12．
因为a,b∈0,π，sina,b=1−cs2a,b=1−−122=32．
故选：D.
4.（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）已知向量a,b满足a=4,b=10，且a在b上的投影向量为−15b，则向量a与向量b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】C
【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.
【详解】依题意，a在b上的投影向量为a⋅b|b|2b=−15b，则a⋅b=−15|b|2=−20，
于是cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−204×10=−12，而〈a,b〉∈[0,π]，则〈a,b〉=2π3，
所以向量a与向量b的夹角为2π3.
故选：C
5.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量a=1,2,b=2−λ,λ，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .
【答案】−2,43∪43,+∞
【分析】根据题意列出不等式即可.
【详解】因为a,→b→的夹角为锐角，
所以a→·b→>0且a→,b→不能同向共线,
所以2−λ+2λ>0λ≠2×(2−λ),
解得λ>−2且λ≠43
故答案为：−2,43∪43,+∞.
考点四、向量垂直的应用
1.（2021·全国·高考真题）已知向量a=1,3,b=3,4，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
【答案】35
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为a−λb=1,3−λ3,4=1−3λ,3−4λ，所以由a−λb⊥b可得，
31−3λ+43−4λ=0，解得λ=35．
故答案为：35．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设a=x1,y1,b=x2,y2，
a⊥b⇔a⋅b=0⇔x1x2+y1y2=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知向量a=lg43,sin5π3，b=lg38,m，若a⊥b，则m=（ ）
A．−23B．−3C．3D．23
【答案】C
【分析】根据向量数量积的坐标表示结合对数的运算即可求解.
【详解】由a⊥b，可知lg43⋅lg38+msin5π3=0，
即lg48−32m=32−32m=0，解得m=3.
故选：C
1.（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）已知点M1,−1和抛物线C:y=14x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AM⊥BM，则k=（ ）
A．1617B．−1617C．12D．−12
【答案】C
【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，直线AB方程y=kx+1，然后由直线方程与抛物线方程联立，消去y，利用根与系数关系，表示出x1+x2,x1x2，从而可表示出y1+y2,y1y2，进而由AM⋅BM=0求出k的值.
【详解】抛物线标准形式x2=4y，焦点坐标0,1，设Ax1,y1，Bx2,y2，
直线AB方程y=kx+1，代入抛物线方程得x2−4kx−4=0，
所以Δ=16k2+16>0，x1+x2=4k，x1x2=−4，
y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，y1y2=116x12x22=1，
所以AM⋅BM=1−x1,−1−y1⋅1−x2,−1−y2=1−x11−x2+−1−y1−1−y2 =2+x1x2+y1y2−x1+x2+y1+y2=0，
得4k2−4k+1=0⇒k=12.
故选：C.
2.（2023·河南·模拟预测）已知向量a=2cs75°,2sin75°，b=cs15°,−sin15°，且(2a+b)⊥(a−λb)，则实数λ的值为（ ）
A．8B．−8C．4D．−4
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.
【详解】因为a⋅b=2cs75∘cs15∘−2sin75∘sin15∘=2cs15∘+75∘=0，
a=2，b=1.
所以2a+b⋅a−λb=2a2−λb2=8−λ=0.
所以λ=8.
故选：A
3.（2024·西藏·模拟预测）已知向量a=csα+π3,sinα+π3，b=csα+5π6,sinα+5π6．若2a+b⊥a+xb，则实数x的值是（ ）
A．−2B．−12C．12D．2
【答案】A
【分析】利用三角函数的和差公式和同角三角函数的平方公式得到a=b=1，a⋅b=0，
再依据向量垂直的条件建立方程求解即可.
【详解】由题意得a=b=1，a⋅b=csα+π3×csα+5π6+sinα+5π6×sinα+π3．
=csα+π3−α−5π6=cs−π2=0，因为2a+b⊥a+xb，
所以2a+b⋅a+xb=0，所以2a2+xb2=0，所以2+x=0，解得x=−2．
故选：A．
4.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知向量m=sinα+π2,1,n=cs(π+α),14，其中α∈0,π2，若m⊥n，则csα的值为（ ）
A．32B．12C．34D．14
【答案】B
【分析】由m⊥n，所以m⋅n=0，代入条件化简得cs2α=14，结合已知α∈0,π2得解.
【详解】由m⊥n，所以m⋅n=0，即sinα+π2cs(π+α)+14=0，
化简得cs2α=14，由α∈0,π2得csα=12.
故选：B.
5.（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，经过F2的直线l与C交于A、B两点，若F1A⋅F1B=16，AF1⋅AB=9，BF1⋅BA=0，则C的方程为：（ ）.
A．x29+y24=1B．x23+y22=1C．x29+y28=1D．x23+y2=1
【答案】A
【分析】由题意可知：BA⊥BF1，根据数量积的几何意义可得F1B=4，AB=3，进而结合椭圆的定义求a,b,c，即可得方程.
【详解】因为BF1⋅BA=0，可知BA⊥BF1，
则F1A⋅F1B=F1B2=16，AB⋅AF1=AB2=9，
可得F1B=4，AB=3，即F1B=4，AB=3，则AF1=F1B2+AB2=5，
由椭圆定义可得4a=AF1+F1B+AB=12，即a=3，
且F2B=2a−F1B=2，则F1F2=F1B2+F2B2=25，
即 2c=25，可得c=5，b=a2−c2=2，
所以椭圆C的方程为x29+y24=1.
故选：A.
考点五、投影问题
1.（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知a=1,b=2,a−b=3，则a在b上的投影向量为（ ）
A．12bB．12aC．14bD．14a
【答案】C
【分析】先根据数量积的运算律求出a⋅b，再根据投影向量的定义即可得解.
【详解】由a−b=3，得a−b2=a2+b2−2a⋅b=5−2a⋅b=3，
所以a⋅b=1，
所以a在b上的投影向量为a⋅bb⋅bb=14b.
故选：C.
2.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量a,b满足a=2,b=3,0,a−b=10，则向量a在向量b方向上的投影向量为（ ）
A．16,0B．13,0C．12,0D．1,0
【答案】C
【分析】将a−b=10两边平方求出a⋅b，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为a=2,b=3，a−b=10，
所以a−b2=a2−2a⋅b+b2=22−2a⋅b+32=10，得a⋅b=32，
所以向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅bb2⋅b=329b=163,0=12,0.
故选：C
1.（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量a，b满足a=b=a+b，则a+2b在b方向上的投影向量为（ ）
A．2bB．32bC．bD．12b
【答案】B
【分析】利用向量的模长关系可得a⋅b=−12b2，再由投影向量的定义即可求出结果.
【详解】根据题意a=b=a+b可得a2=b2=a+b2，
所以，则
所以a⋅b=−12a2=−12b2，
则a+2b在b方向上的投影向量为a+2b⋅bb2b=a⋅b+2b2b2b=−12+2b2b2b=32b.
故选：B
2.（2024·湖北·模拟预测）已知向量a=1,0,b=0,1,a⋅c=b⋅c=1，则向量a在向量c上的投影向量为（ ）
A．12,12B．22,22C．−12,12D．−22,22
【答案】A
【分析】设出c的坐标，利用给定条件得到c，再利用投影向量公式求解即可.
【详解】设c=x,y，因为a=1,0,b=0,1,a⋅c=b⋅c=1，
所以1×x+0×y=10×x+1×y=1，解得x=1y=1，∴c=1,1，
即向量a在向量c上的投影向量为a⋅cc⋅cc=12⋅1,12=(12,12).
故选：A.
3.（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量a=2,m，b=n,1，c=m+1,−1，若a⊥b，b//c，则b在a+c方向上的投影数量为（ ）
A．−22B．−105C．105D．22
【答案】B
【分析】根据垂直和平行向量的坐标表示求出m，n，得到b和a+c的坐标，即可利用向量投影的公式进行求解.
【详解】由a⊥b得m+2n=0．
由b//c得m+n+1=0，所以m=−2，n=1．
所以b=1,1，a→=(2,−2)，c→=(−1,−1)，a+c=1,−3，
所以b在a+c方向上的投影数量为b⋅a+ca+c=1−312+−32=−105.
故选：B．
4.（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）在三角形ABC中，若AB⋅AC=0,BC=2BO，则向量AO在向量AB上的投影向量为 .
【答案】12AB
【分析】由题意可得O为线段BC的中点，∠BAC=90°，则△AOB为等腰三角形，然后根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为BC=2BO，所以O为线段BC的中点，
因为AB⋅AC=0，所以AB⊥AC，所以∠BAC=90°,
所以OA=OB=OC，
所以△AOB为等腰三角形，
所以向量AO在向量AB上的投影向量为
AO⋅ABAB⋅ABAB=AO⋅ABcs∠BAOAB⋅ABAB
=AO⋅AB⋅12ABAOAB⋅ABAB=12AB,
故答案为：12AB.
5.（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，点D是AC中点，点M满足BM=2MC，记BA=a，BD=b，请用a，b表示AM= ；若BA⋅BD=−5，向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值为 ．
【答案】 43b−53a 203
【分析】由题意可得AM=23BC−BA，BC=2BD−BA，可求得AM=43b−53a；向量AM在向量BD上的投影向量的模为|AM·BD||BD|=|(43b−53a)·b||b|，计算可求得最小值.
【详解】根据题意，可得AM=BM−BA=23BC−BA，
由点D是AC中点，可得BC=2BD−BA，
所以AM=BM−BA=23BC−BA=23(2BD−BA)−BA=43BD−53BA=43b−53a，
向量AM在向量BD上的投影向量AM·BD|BD|·BD|BD|，
因为BA⋅BD=−5，所以a⋅b=−5，
所以向量AM在向量BD上的投影向量的模为：
|AM·BD||BD|=|(43b−53a)·b||b|=43|b|+253|b|≥243|b|·253|b|=203，
当且仅当43|b|=253|b|，即|b|=52时取等号，
所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值为203.
故答案为：①43b−53a；②203.
考点六、数量积求最值取值范围问题
1.（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=12CD→，记AB=a,AC=b，用a→,b→表示AE⃗= ；若BF=13BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
【答案】 14a+12b 1324
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空答案，于是AE⋅AF可由a,b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0，可得AE+ED=ADAE+EC=AC，
两式相加，可得到2AE=AD+AC，
即2AE=12a+b，则AE=14a+12b；
空2：因为BF=13BC，则2FB+FC=0，可得AF+FC=ACAF+FB=AB，
得到AF+FC+2AF+FB=AC+2AB，
即3AF=2a+b，即AF=23a+13b.
于是AE⋅AF=14a+12b⋅23a+13b=1122a2+5a⋅b+2b2.
记AB=x,AC=y，
则AE⋅AF=1122a2+5a⋅b+2b2=1122x2+5xycs60∘+2y2=1122x2+5xy2+2y2，
在△ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2−2xycs60∘=x2+y2−xy=1，
于是AE⋅AF=1122xy+5xy2+2=1129xy2+2，
由x2+y2−xy=1和基本不等式，x2+y2−xy=1≥2xy−xy=xy，
故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，
则x=y=1时，AE⋅AF有最大值1324.
故答案为：14a+12b；1324.

2.（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b，用a,b表示DE= ，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为
【答案】 32b−12a π6
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由AB⊥DE可得3b2+a2=4b⋅a，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(−1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA与⊙M相切时，∠C最大，即求出．
【详解】方法一：
DE=CE−CD=32b−12a，AB=CB−CA=b−a,AB⊥DE⇒(3b−a)⋅(b−a)=0，
3b2+a2=4a⋅b ⇒cs∠ACB=a⋅bab=3b2+a24ab≥23ab4ab=32，当且仅当a→=3b→时取等号，而00，则12