2024-2025学年广东省深圳市建文外国语学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市建文外国语学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是( )
A. {a,b,a+c}B. {a,b,a+2b}
C. {a+2c,b,c}D. {a,a+b,a+c}
2.如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记AB=a，AC=b，AD=c，则BE=( )
A. a−12b+12cB. −a+12b+12c
C. 12a−b+12cD. −12a+b+12c
3.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是( )
A. −2，3B. −1，2C. 1，3D. −2，2
4.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=5，AD=3，AA′=7，∠BAD=60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，则AC′的长为( )
A. 98+56 2
B. 98−56 2
C. 89+56 2
D. 89−56 2
5.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|=13|BD′|，则P点的坐标为( )
A. (13,13,13)B. (23,23,23)C. (13,23,13)D. (23,23,13)
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，EC=2PE，则AE⋅DE=( )
A. −3
B. 3
C. 2
D. 5
7.正方体不在同一表面上的两顶点A(−1,2,−1)，B(3,−2,3)，则正方体的体积是( )
A. 4B. 4 3C. 64D. 192 3
8.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为( )
A. (−∞,−6)B. (−∞,−6)∪(−6,103)
C. (103,+∞)D. (−∞,103)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A. 点P(1,−1,0)与点Q(1,1,0)关于z轴对称
B. 点A(−3,−1,4)与点B(3,−1,−4)关于y轴对称
C. 点A(−3,−1,4)与点B(3,−1,−4)关于平面xOz对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10.已知向量a=(1,−1,0)，b=(−1,0,1)，c=(2,−3,1)，则( )
A. |a−b|=6B. (a+3b)⋅(b+c)=7
C. (a+4b)⊥cD. a//(b−c)
11.若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则不可能使l//α的是( )
A. m=(1,0,0)，n=(−2,0,0)B. m=(1,3,5)，n=(1,0,1)
C. m=(0,2,1)，n=(−1,0,−1)D. m=(1,−1,3)，n=(0,3,1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(4,1,3)、B(2,−5,1)，C为线段AB上一点，且AB=3AC，则C的坐标为______．
13.已知a=(2,−3,0)，b=(k,0,3)，=120°，则k= ______．
14.已知向量a=(9,8,5),b=(2,−1,−1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)求AE的长；
(2)求异面直线AE和BC夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2,2)，b=(−2,1,−1)．
(1)求a⋅b；
(2)求|2a−b|；
(3)求cs〈a,b〉．
17.(本小题15分)
已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，b=AC．
(1)若ka+b与ka−2b互相垂直，求实数k的值；
(2)若|c|=3，c//BC，求c．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE//平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
19.(本小题17分)
若Ωn={a|a=(a1,a2,…,ai,…,an)，ai∈R，i=1，2，…，n}，则称Ωn为n维空间向量集，0={0,0,…,0}为零向量.对于k∈R，任意a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)，定义：
①数乘运算：ka=(ka1,ka2,⋯,kan)；
②加法运算：a+b=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)；
③数量积运算：a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn；
④向量的模：|a|= a12+a22+…+an2．
对于Ωn中一组向量ai(i=1,2,⋯,m)，若存在一组不同时为零的实数ki(i=1,2,⋯,m)使得k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
(1)对于n=3，判断下列各组向量是否线性相关：
①a=(−1,1,1),b=(−2,2,2)；
②a=(−1,1,1),b=(−2,2,2),c=(3,1,−4)；
(2)已知α1,α2,α3,α4线性无关，试判断α1−α2,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于Ωn中的任意两个元素α,β，均有|α+β|2≥4α⋅β．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.BD
11.ABC
12.(103,−1,73)
13.− 39
14.(53,−56,−56)
15.解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
因为AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，
AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，
所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1，
由题意AB2=25，BC2=AD2=9，CC12=AA12=4，
AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cs(180°−90°)=0，AB⋅CC1=|AB|⋅|CC1|cs60°=5×4×12=10，
BC⋅CC1=|BC|⋅|CC1|cs60°=3×4×12=6，
所以AE2=25+9+14×16+0+10+6=54，
所以AE=|AE|=3 6；
(2)AE⋅BC=(AB+BC+CE)⋅BC=AB⋅BC+BC2+12BC⋅CC1=0+9+12×6=12，
|AE|=3 6，|BC|=3，
所以cs=AEBC|AE|⋅|BC|=123 6×3=29 6．
设异面直线AE和BC夹角为θ，则θ∈(0,π2]，
所以csθ=|cs|=29 6．
所以异面直线AE和BC夹角的余弦值为29 6．
16.解：(1)a⋅b=−2+2−2=−2；
(2)2a−b=(2,4,4)−(−2,1,−1)=(4,3,5)，
则|2a−b|= 16+9+25=5 2；
(3)|a|= 1+4+4=3,|b|= 4+1+1= 6，则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−23× 6=− 69．
17.解：(1)a=AB=(1,1,0)，b=AC=(−1,0,2)，
ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=(k+2,k,−4)，
ka+b与ka−2b互相垂直，
则(ka+b)⋅(ka−2b)=(k−1)(k+2)+k2−8=0，解得k=2或−52；
(2)c//BC，BC=(−2,−1,2)，
则可设c=(−2λ,−λ,2λ)，
|c|=3，
则 (−2λ)2+(−λ)2+(2λ)2=9，解得λ=±1，
故c=(−2,−1,2)或c=(2,1,−2)．
18.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则BE=(0,1,1)，
所以AB=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，
又BE⋅AB=(0,1,1)⋅(1,0,0)=0，所以BE⊥AB，
又BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．
(2)由(1)知平面PAD的法向量AB=(1,0,0)，PD=(0,2,−2)，DC=(2,0,0)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PD=0n⋅DC=0，即2y−2z=02x=0，令y=1，可得z=1，所以n=(0,1,1)，
又n⋅AB=(0,1,1)⋅(1,0,0)=0，
所以n⊥AB，所以平面PCD⊥平面PAD．
19.(1)解：对于①，假设a与b线性相关，
则存在不全为零的实数k1，k2使得k1a+k2b=0，
则−4b1−2k2=0,k1+2k3=0,即k1+2k2=0，
可取k1=2，k2=−1满足方程组，所以a,b线性相关；
对于②，假设a,b,c线性相关，则存在不全为零的实数k1，k2，k3，
使得k1a+k2b+k3c=0，则−k1−2k2+3k3=0,k1+2k2+k3=0,k1+2k2−4k3=0,
可取k1=2，k2=−1满足方程组，所以a,b,c线性相关；
(2)解：假设α1−α2,2α1−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性相关．
则存在不全为零的实数k1，k2，k3，k4，
使得k1(α1−α2)+k2(2α1−3α3)+k3(3α3−4α4)+k4(4α4−α1)=0，
即(k1−k4)α1+(2k2−k1)α2+(3k3−3k2)α3+(4k4−4k3)α4=0，
因为α1,α2,α3,α4线性无关，
所以k1−k4=0,2k2−k1=0,3k3−3k2=0,4k4−4k3=0,解得k1=k2=k3=k4=0，与线性相关定义相矛盾，
所以向量α1−α1,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性无关；
(3)证明：设α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn)，
则由题设定义，可得：
α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)，
α⋅β=a1b1+a2b2+⋯+anbn，
则|α+β|2=(a1+b1)2+(a2+b2)2+⋯+(an+bn)2，
所以|α+β|2−4α⋅β=(a1+b1)2+(a2+b2)2+⋯+(an+bn)2−4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)
=(a12−2a1b1+b12)+(a22−2a2b2+b22)+…+(an2−2anbn+bn2)
=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(an−bn)2≥0，
当且仅当ai=bi，i=1，2，⋯n成立时，等号成立，
所以|α+β|2≥4α⋅β，故原式得证．