2024-2025学年北京交大附中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京交大附中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式：① 3，② 14，③ 9，④ 0.5，⑤ x2+2中，最简二次根式有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A=90°的是( )
A. a=3，b=4，c=5B. a=6，b=5，c=4
C. a=2，b= 2，c= 2D. a=1，b=2，c= 3
3.直线y=ax+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+a的图象只能是图中的( )
A. B. C. D.
4.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A. −9B. −94C. 94D. 9
5.下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是( )
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
6.如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直)，把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2，问道路应为多宽？若设道路宽为x m，则下列方程正确的是( )
A. 40×60−40×2x−60x=2024
B. 40×60−(40−x)(60−2x)=2024
C. (40−x)(60−2x)=2024
D. 40×60−40×2x−60x−2x2=2024
7.如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE.如图2所示的图象中，M(95,125)是该图象的最低点.下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是( )
A. 点P与B的距离为x，点P与C的距离为y
B. 点P与B的距离为x，点D与E的距离为y
C. 点P与D的距离为x，点P与E的距离为y
D. 点P与D的距离为x，点D与E的距离为y
8.如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB①a+b②a+b> a2+b2；
③ 2(a+b)>c．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.式子 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.将直线y=kx+3向上平移3个单位长度后经过点(1,4)，则k的值是______．
11.在▱ABCD中，若∠A=∠B+50°，则∠B的度数为______度.
12.已知x=2是一元二次方程x2−2mx+4=0的一个解，则m的值为______．
13.将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为______．
14.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容90分、演讲能力80分、演讲效果90分，若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______．
15.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，那么BC的长是______．
16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)和(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根；③a>2；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2<−2.其中正确的有______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：x2−2x−3=0．
四、解答题：本题共11小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：(2024−π)0+(13)−1+| 3−2|− 27．
19.(本小题6分)
在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段AB为对角线的正方形”．
小丽的作法如下：
①分别以点A、B为圆心，以大于12AB为半径作弧，两弧交于E、F两点；
②连接EF，与AB交于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作弧，与EF交于C、D两点；
④分别连接线段AC，BC，BD，DA.所以四边形ADBC就是所求作的正方形．
根据小丽的作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵OA=OB，OC=OD，
∴四边形ADBC为平行四边形.(______)(填推理的依据)
∵OA=OB=OC=OD，即AB=CD，
∴四边形ADBC为矩形.(______)(填推理的依据)
∵CD ______AB，
∴四边形ADBC为正方形.(______)(填推理的依据)
20.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+2+m=0．
(1)求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．
21.(本小题6分)
已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
(1)二次函数图象的开口方向______，顶点坐标是______，m的值为______；
(2)点P(−3,y1)、Q(2,y2)在函数图象上，y1 ______y2(填<、>、=)；
(3)当y<0时，x的取值范围是______；
(4)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为______．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=−kx+3的图象交于点(2,1)．
(1)求k，b的值；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠CAB=90°，点D，E分别是BC，AC的中点.连接DE并延长至点F，使得EF=DE.连接AF，CF，AD．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)连接BF，若∠ACB=60°，AF=2，求BF的长．
24.(本小题5分)
某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组：第1组82≤x<85，第2组85≤x<88，第3组88≤x<91，第4组91≤x<94，第5组94≤x<97，第6组97≤x≤100)：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x−，则x− ______91(填“>”“=”或“<”)；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k(k为整数)的值为______．
25.(本小题6分)
电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米(AB=CD=27米)，以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示.经测量，AO=40米，斜坡高度12米(即B、D两点的铅直高度差)．

结合上面信息，回答问题：
(1)若以1米为一个单位长度，则D点坐标为______，下垂电缆的抛物线表达式为______．
(2)若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患.(说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长)，请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点(x1,m)，(x2,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x1=1，x2=3，有m=n，求t的值；
(2)若对于t−1n，求t的取值范围．
27.(本小题6分)
已知：在正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且CE≠BC，连接DE，过点D作DE的垂线交直线AB于点F，连接EF，取EF的中点G，连接CG．
(1)当CE①补全图1；
②求证：△ADF≌△CDE；
③用等式表示线段CD，CE，CG之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，当CE>BC时，请你直接写出线段CD，CE，CG之间的数量关系．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，M为平面内一点.对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形M关于点M的“中心镜像对称点”．
(1)如图1，A(−1,1)，B(2,1)．
①在点P1(−2,−1)，P2(0,−2)，P3(12,−1)，P4(2,−1)中，线段AB关于点M(0,0)的“中心镜像对称点”是______；
②若点P(1,−3)是线段AB关于点M(m,n)的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围；
(2)如图2，矩形CDEF中，C(2,−1)，D(−2,−1)，E(−2,1)，F(2,1).若直线y=x+m上存在矩形CDEF关于点M(m,2)的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.C
6.C
7.B
8.D
9.x≥2
10.−2
11.65
12.2
13.y=2(x−3)2+2
14.86分
15.2 3
16.①②③
17.解：将原方程左边分解因式，得
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
18.解：(2024−π)0+(13)−1+| 3−2|− 27
=1+3+(2− 3)−3 3
=1+3+2− 3−3 3
=6−4 3．
19.(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵OA=OB，OC=OD，
∴四边形ADBC为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵OA=OB=OC=OD，即AB=CD，
∴四边形ADBC为矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，
∵CD⊥AB，
∴四边形ADBC为正方形(对角线垂直的矩形是正方形)．
20.(1)证明：∵关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+2+m=0，
∴Δ=(m+3)2−4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根；
(2)解：设方程的两个实数根为x1、x2，
∵x=m+3±(m+1)2，
∴x1=m+2，x2=1，
∵这个一元二次方程的一根大于2，
∴m+2>2，
解得：m>0，
∴m的取值范围m>0．
21.(1)向上；(1,−4)；5；
(2)>；
(3)−1(4)x=−2或4．
22.解：(1)∵直线y=−kx+3点(2,1)，
∴−2k+3=1，
解得k=1，
将点(2,1)代入y=x+b得：2+b=1，
解得b=−1．
(2)∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x−1的值，也大于函数y=−x+3的值，
∴m≥1．
∴m的取值范围是m≥1．
23.(1)证明：∵点E是AC的中点，
∴AE=EC．
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
在△ABC中，∠CAB=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC．
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

∴∠BGF=90°，
∵四边形ADCF是菱形，ACB=60°，AF=2，
∴CF=DC=AF=2，∠ACF=∠ACD=60°，
∴∠FCG=180°−∠ACF−∠ACD=60°，
∴∠GFC=90°−∠FCG=30°，
在△CFG中，∠CGF=90°，∠GFC=30°，
∴CG=12CF=1，
∴FG= CF2−CG2= 3，
∵BD=CD=2．
∴BG=BD+CD+CG=5．
在△BFG中，∠BGF=90°
∴BF= BG2+GF2=2 7．
24.(1)91；4；
②<；
(2)甲选手的平均数为15×(93+90+92+93+92)=92，
乙选手的平均数为15×(91+92+92+92+92)=91.8，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，
∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，
乙选手的方差S乙2=15×[4×(92−91.8)2+(91−91.8)2]=0.16，
5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，
∴乙选手的方差小于丙选手的方差，
∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k>91+92+92+92+92，
∴92≥k>91，
∵k为整数，
∴k(k为整数)的值为92，
25.(1)(20,−15)，y=1100x2+25x；
(2)这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
由(1)可知：y=1100x2+25x，B(−40,−27)，D(20,−15)，
设斜坡BD解析式为y=kx+b，代入B(−40,−27)，D(20,−15)，
可得：−40k+b=−2720k+b=−15，
解得：k=15b=−19，
∴斜坡BD解析式为y=15x−19，
则电缆与坡面的铅直高度GH=1100x2+25x−(15x−19)=1100x2+15x+19=1100(x+10)2+18，
∵1100>0，
∴当x=−10时，GH有最小值为18，GH最小=18>13.5，
∴这种电缆的架设符合安全要求；
26.解：(1)∵点(x1,m)，(x2,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，且x1=1，x2=3，m=n，
∴t=1+32=2；
(2)∵a>0，
∴当x≥t时，y随x的增大而增大；当x≤时，y随x的增大而减小，
设抛物线上的四个点的坐标为A(t−1,mA)，B(t,mB)，C(2,nC)，D(3,nD)，
∵点A关于对称轴x=1的对称点为A′(t+1,mA).
∵抛物线开口向上，点B是抛物线顶点，
∴mA>mB：
①当t≤l时，nC∴.t+1≤2．
∴mA≤nC，
∴不存在m>n，不符合题意；
②当1∴2∴mA>nC，
∴存在m>n，符合题意；
③当2∴mA>mB，
∴存在m>n，符合题意；
④当3∴2∴.mA>nD，
∴.存在m>n，符合题意；
⑤当t≥4时，nD∴t−1≥3，
∴mA≤nD，不存在m>n，不符合题意；
综上所述，t的取值范围是127.解：(1)①如图即为所求，

②证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠DCE=180°−90°=90°=∠DAF，
∵DF⊥DE，∠FDE=∠ADC=90°，
即∠ADF+∠FDC=∠FDC+∠CDE=90°，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE(ASA)；
③CG= 22(CD−CE)，理由如下：
在BC上取一点M，使得CM=CE，连接FM，

∵△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE；
∵CE=CM，点G是EF的中点，
∴CG是△EFM的中位线，
∴CG=12FM，
由②得AB=BC，CE=AF，∠ABC=90°，
∴AF+BF=BM+CM，CM=CE=AF，
∴BF=BM，
∵∠ABC=90°，
∴FM= BF2+BM2= 2BF= 2(AB−AF)= 2(CD−CE)，
∴CG=12FM= 22(CD−CE)；
(2)CG= 22(CE−CD)，
理由如下：在CB延长线上取一点M，使得CM=CE，连接FM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，∠DCE=180°−90°=90°=∠DAF，
∵DF⊥DE，∠FDE=∠ADC=90°，即∠ADF+∠FDC=∠FDC+∠CDE=90°，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE=CM，
∵点G是EF的中点，
∴CG是△EFM的中位线，CG=12FM，
∵AF=CM，AB=BC，
∴AB+BF=BC+BM，
∴BF=BM，
∵∠MBF=∠ABC=90°，
∴FM= BF2+BM2= 2BF= 2(AF−AB)= 2(CE−CD)，
∴CG=12FM= 22(CE−CD)．
28.(1)P1(−2,−1)，P3(12,−1)．
②设点P(1,−3)关于点M(m,n)的对称点的横坐标为s，
∵点P(1,−3)是线段AB关于点M(m,n)的“中心镜像对称点”，
∴1+S2=m，
解得：s=2m−1，
∵线段AB上所有点的横坐标在−1和2之间(包括−1和2)，
∴−1≤2m−1≤2，
解得：0≤m≤32．
(2)解：如图，
根据题意得：点C(2,−1)关于点M(m,2)的对称点为(2m−2,5)，点E(−2,1)关于点M(m,2)的对称点为(2m+2,3)，
当直线y=x+m过点(2m−2,5)时，
5=2m−2+m，
解得：m=73，
当直线y=x+m过点(2m+2,3)时，
3=2m+2+m，
解得：m=13，
∴直线y=x+m上存在矩形CDEF关于点M(m,2)的“中心镜像对称点”，m的取值范围为13≤m≤73．
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
m
…
平均数
中位数
众数
教师评委
91
91
m
学生评委
90.8
n
93
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
93
90
92
93
92
乙
91
92
92
92
92
丙
90
94
90
94
k