2024-2025学年广西百色市田东实验高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西百色市田东实验高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=i(2+3i)，则z−在复平面内表示的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(−2,1),b=(−3,−4)，则2a−b等于( )
A. (−1,6)B. (1,6)C. (−1,−2)D. (1,−2)
3.复数z1=3+i，z2=1−i，则复数z1z2的虚部为( )
A. 2B. −2iC. −2D. 2i
4.已知某中学有学生3600人，其中男生2000人，为了解该校学生身高情况，现用分层抽样法从该校随机抽取270人进行调查，其中女生应抽取的人数是( )
A. 90B. 120C. 150D. 180
5.已知向量a=(−1,2)，b=(3,1)，c=(x,4)，若(a−b)⊥c，则x=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.平面向量a=(1,1),b=(2,3)，则|a+b|=( )
A. 3B. 5C. 7D. 11
7.在△ABC中，已知a=2，b= 2，A=45°，则B等于( )
A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°
8.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a2+b2−c2= 3ab，则角C的值为( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设i为虚数单位，复数z满足z(1−i)=2，则( )
A. z的虚部为1B. |z|=2
C. z在复平面内的对应点位于第一象限D. z2=2
10.下列命题不正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若|a|>|b|，则a>b
C. 若a=b，则a//bD. (a⋅b)c=a(b⋅c)
11.有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中不正确的是( )
A. α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β
B. m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n
C. m//n，n⊂α，则m//α
D. m//α，n//β且α//β，则m//n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知球的半径为2，则球的体积为______．
13.已知向量a=(x,4)，b=(2,1)，且a/​/b，则a⋅b=______．
14.一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70)2个，根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)内的概率约为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(1,2),b=(−3,1)．
(1)求a−2b；
(2)设a，b的夹角为θ，求csθ的值．
16.(本小题15分)
如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，4+3i，−3+5i，试求：
(1)对角线CA所表示的复数；
(2)求B点对应的复数．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，b=2,C=π3．
(1)若a=3，求c；
(2)若c= 6，求A．
18.(本小题17分)
某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的众数和平均数．
19.(本小题17分)
如图，已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点．
(1)求证：SA//平面EDB；
(2)若F为侧棱AB的中点，求证：EF//平面SAD．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.A
6.B
7.A
8.A
9.AC
10.ABD
11.ACD
12.32π3
13.20
14.0.7
15.解：(1)a−2b=(1,2)−2(−3,1)=(1+6,2−2)=(7,0)．
(2)csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1×(−3)+2×1 1+22 (−3)2+1=− 210．
16.解：(1)因为CA=OA−OC，
所以CA所表示的复数为(4+3i)−(−3+5i)=7−2i；
(2)因为OB=OA+AB=OA+OC，
所以OB所表示的复数为(4+3i)+(−3+5i)=1+8i．
即B点对应的复数为1+8i．
17.解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，c2=a2+b2−2abcsC，
则c2=9+4−2×3×2×12=7，
所以c= 7；
(2)在△ABC中，由正弦定理得，bsinB=csinC，
所以sinB=bsinCc=2× 32 6= 22，
又因为0所以A=π−(B+C)=π−(π4+π3)=5π12．
18.解：(1)由直方图知：(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，
解得a=0.006；
(2)由频率分布直方图，众数为：70+802=75(分)，
这100名学生语文成绩的平均数为：
45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2(分)．
19.证明：(1)设AC∩BD=O，连接AC，OE，因为ABCD是平行四边形，故AO=OC，
又E为侧棱SC的中点，故SA//EO
又SA⊄平面EDB，EO⊂平面EDB，
故SA//平面EDB；
(2)若F为AB的中点，DO=BO，则AD//FO，
又FO⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，故FO//平面SAD．
又SA//EO，EO⊄平面SAD，SA⊂平面SAD，
故EO//平面SAD．
又EO∩FO=O，EO，FO⊂平面EOF，
故平面EOF//平面SAD，
又EF⊂平面EOF，
故EF//平面SAD．