2024-2025学年四川省广元市川师大万达中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省广元市川师大万达中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(1,−1,2)关于z轴的对称点为B，则|AB|等于( )
A. 2 2B. 2 6C. 2D. 3 2
2.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是( )
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
3.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF−12(AB+AC)=( )
A. −EFB. BDC. EFD. −BD
4.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是( )
A. −2，3B. −1，2C. 1，3D. −2，2
5.已知a=(2,−1,3),b=(−1,4,−2),c=(1,3,λ)，若a,b,c共面，则实数λ=( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
6.在所有棱长均为2的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则AC1的长为( )
A. 2 3B. 2 5C. 2 6D. 6
7.下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；
④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是( )
A. (2+ 5)aB. (3+ 3)aC. (3+ 5)aD. 4a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场
B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C. 随机试验的频率与概率相等
D. 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
10.已知向量a=(m−1,2m,2),b=(2m−5,m,1)，则下列结论正确的是( )
A. 若a//b，则m=3B. 若a⊥b，则m=−25
C. |a|的最小值为2 305D. |a|的最大值为4
11.已知四面体ABCD满足AB=CD=1，BC=AD=BD=AC= 2，则( )
A. 直线AC与BD所成的角为30°
B. 直线AB与CD所成的角为90°
C. 点M为直线AD上的动点，M到BC距离的最小值为 22
D. 二面角C−AB−D平面角的余弦值为57
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为______．
13.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，若AE=xAD+yAB+zAA′，则实数x+y+z= ______．
14.在棱长为 6的正四面体A−BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足AM= 5，则直线AM与直线BC的所成角的余弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为BB1，CC1的中点．
(1)证明；A1F//平面CDE．
(2)求A1E与平面CDE所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
(1)80～90这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数．
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
17.(本小题15分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求：
(1)“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率；
(2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；
(3)“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率；
18.(本小题17分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，BC=4，∠ABC=60°，△PAB是边长为2的等边三角形，PB⊥AC，E是线段PD的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若PF=λPC(0<λ<1)，是否存在λ，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为35？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D−AC−B的大小为θ．
(1)求证：AC⊥BN；
(2)若θ=π2，求三棱台ABC−DEF的体积；
(3)若A到平面BCFE的距离为 62，求csθ的值．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.D
5.B
6.C
7.A
8.A
9.ABC
10.AC
11.BCD
12.4
13.2
14.[0, 55]
15.解：(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为BB1，CC1的中点，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,4)，F(2,2,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(2,0,2)，
A1F=(2,2,−2)，DC=(2,0,0)，DE=(0,−2,2)，
设平面CDE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DC=2x=0n⋅DE=−2y+2z=0，取y=1，得n=(0,1,1)，
∵A1F⋅n=0，A1F⊄平面CDE，
∴A1F/​/平面CDE．
(2)A1E=(2,0,−2)，
设A1E与平面CDE所成角为θ，
则A1E与平面CDE所成角的正弦值为：
sinθ=|A1E⋅n||A1E|⋅|n|=2 8⋅ 2=12．
16.解：(1)根据题意，40～50的这一组的频率为0.01×10=0.1，
50～60的这一组的频率为0.015×10=0.15，
60～70的这一组的频率为0.025×10=0.25，
70～80的这一组的频率为0.035×10=0.35，
90～100的这一组的频率为0.005×10=0.05，
则80～90这一组的频率为1−(0.1+0.15+0.25+0.35+0.05)=0.1，
其频数为40×0.1=4．
(2)这次竞赛的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，
70～80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70．
(3)记“取出的2人在同一分数段”为事件E，
因为80～90之间的人数为40×0.1=4，设为a、b、c、d，
90～100之间有40×0.05=2人，设为A、B，
从这6人中选出2人，有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,A)、(a,B)、(b,c)、(b,d)、(b,A)、(b,B)、(c,d)、(c,A)、(c,B)、(d,A)、(d,B)、(A,B)，共15个基本事件，
其中事件E包括(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d)、(A,B)，共7个基本事件，
则P(E)=715．
17.解：(1)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，
甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23．
在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
“星队”在两轮活动中猜对2个成语包含三种情况：
①甲猜对2个，乙猜对0个，概率为P1=C22(34)2C20(1−23)2=116，
②甲猜对1个，乙猜对1个，概率为P2=C21(34)(14)C21(23)(13)=16，
③甲猜对0个，乙猜对2个，概率为P3=C20(1−34)2C22(23)2=136，
∴“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为：
P=116+16+136=37144．
(2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语包含两种情况：
(i)甲猜对2个，乙猜对1个，概率为P4=116，
(ii)甲猜对1个，乙猜对2个，概率为P5=C21(34)(14)C22(23)2=16，
∴“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为：
P=116+16=1148．
(3)“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的对立事件是“星队”在两轮活动至少中猜对0个成语，
∴“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率为：
P=1−C20(1−34)2C20(1−23)2=143144．
18.(1)证明：在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=4+16−2×2×4×12=12，
所以AC2+AB2=BC2，即AC⊥AB，
因为PB⊥AC，且AB∩PB=B，AB、PB⊂平面PAB，
所以AC⊥平面PAB，
又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．
(2)解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，作Az⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2 3,0)，D(−2,2 3,0)，P(1,0, 3)，E(−12, 3, 32)，
所以AP=(1,0, 3)，AD=(−2,2 3,0)，BE=(−52, 3, 32)，BP=(−1,0, 3)，PC=(−1,2 3,− 3)，
所以BF=BP+PF=BP+λPC=(−1,0, 3)+λ(−1,2 3,− 3)=(−1−λ,2 3λ, 3− 3λ)，
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BE=0n⋅BF=0，即−52x+ 3y+ 32z=0(−1−λ)x+2 3λy+( 3− 3λ)z=0，
取z=4λ−1，则x= 3(2λ−1)，y=3λ−2，所以n=( 3(2λ−1),3λ−2,4λ−1)，
设平面PAD的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅AP=0m⋅AD=0，即a+ 3c=0−2a+2 3b=0，
取c=1，则a=− 3，b=−1，所以m=(− 3,−1,1)，
因为平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为35，
所以|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|−3(2λ−1)−3λ+2+4λ−1| 5× 3(2λ−1)2+(3λ−2)2+(4λ−1)2=35，
整理得，8(26λ2−11λ−1)=0，即8(2λ−1)(13λ+1)=0，
解得λ=12或λ=−113，
因为0<λ<1，所以λ=12，
故存在λ，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为35，此时λ=12．
19.(1)证明：取AC的中点O，连接ON，OB，
由题意知，四边形ACFD是等腰梯形，△ABC是等边三角形，
所以ON⊥AC，OB⊥AC，
因为ON∩OB=O，ON、OB⊂平面OBN，
所以AC⊥平面OBN，
又BN⊂平面OBN，所以AC⊥BN．
(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，
所以∠BON就是二面角D−AC−B的平面角，即∠BON=θ，
若θ=π2，则∠BON=90°，即OB⊥ON，
因为ON⊥AC，OB∩AC=O，所以ON⊥平面ABC，
即三棱台ABC−DEF的高为ON，
因为AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，
所以ON= AD2−(OA−DN)2= 1−(1−12)2= 32，S△DEF=12×1× 32= 34，S△ABC=12×2× 3= 3，
所以三棱台ABC−DEF的体积V=13×( 34+ 3+ 34× 3)× 32=78．
(3)解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，F(−12, 32csθ, 32sinθ)，其中θ∈(0,π)，
所以CB=(1, 3,0)，CF=(12, 32csθ, 32sinθ)，CA=(2,0,0)，
设平面BCFE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CB=x+ 3y=0n⋅CF=12x+ 32csθ⋅y+ 32sinθ⋅z=0，
取y=−1，则x= 3，z=csθ−1sinθ，所以n=( 3,−1,csθ−1sinθ)，
因为A到平面BCFE的距离为 62，
所以|CA⋅n||n|=|2 3| 3+1+(csθ−1sinθ)2= 62，整理得(csθ−1sinθ)2=4，即(csθ−1)21−cs2θ=4，
解得csθ=−35或csθ=−1(舍)，
故csθ的值为−35．