2024-2025学年新疆石河子一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年新疆石河子一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )
A. (−2,1,−4)B. (−2,−1,−4)C. (2,1,−4)D. (2,−1,4)
2.过原点且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为( )
A. y=2xB. y=−2xC. y=12xD. y=−12x
3.若两平行直线l1：x−2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny−6=0之间的距离是 5，则m+n=( )
A. 0B. 1C. −2D. −1
4.已知平面α的一个法向量为n=(1,−2,2)，点M在α外，点N在α内，且MN=(−1,2,1)，则点M到平面α的距离d=( )
A. 1B. 2C. 3D. 62
5.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，O为A1C1与B1D1的交点，设AB=a,AD=b,AA1=c，用a,b,c表示BO，则( )
A. BO=a−b+12cB. BO=a+12b−c
C. BO=−12a+b+cD. BO=−12a+12b+c
6.已知直线l1：ax+y−2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，若l1//l2，则a=( )
A. −1或2B. 1C. 1或−2D. −2
7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，则该三角形的欧拉线方程为( )
A. y=−12x+52B. y=12x+16C. y=−2x+10D. y=2x−10
8.O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则t=( )
A. 1B. 12C. 18D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,2,1)，则下列结论正确的是( )
A. 向量a与向量b的夹角为π3
B. c⊥(a−b)
C. 向量a在向量b上的投影向量为(12,0,12)
D. 向量c与向量a，b共面
10.已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x−my+m−2=0和过定点B的动直线l2：mx+y+2m−4=0交于点P(P与A，B不重合)，则以下说法正确的是( )
A. A点的坐标为(2,1)B. PA⊥PB
C. |PA|2+|PB|2=25D. 2|PA|+|PB|的最大值为5
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则( )
A. D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13
B. A1点到D1E的距离为4 23
C. 线段B1P的长度的最大值为2 2
D. PA与PE的数量积的范围是[−45,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过两条直线l1：x−y+3=0与l2：2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为______.(用一般式表示)
13.平面α上三个点A(0,0,0)，B(1,0,−1)，C(−1,2,0)，写出平面α的一个法向量为______．
14.已知(m,n)为直线x+y−1=0上的一点，则 m2+n2+ (m+2)2+n2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点．
(1)用AB，AC，AD表示EG；
(2)求EG⋅AB的值．
16.(本小题15分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的高AD所在直线的方程为x−2y+2=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，点B的坐标为(1,3)．
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AC的方程及点C的坐标．
17.(本小题15分)
已知直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R)．
(1)求证：直线l经过一个定点；
(2)若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
18.(本小题17分)
在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°,AB=1,AD=2,AA1=2 2．
(1)求AC1的长度；
(2)求二面角B−AA1−D的大小；
(3)求平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积．
19.(本小题17分)
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a,b〉.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅|b|sin〈a,b〉.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，|AD×BP|=8 5．
(1)求AB的长；
(2)若E为AD的中点，求二面角P−EB−A的余弦值；
(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求|λ|．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.D
6.B
7.A
8.C
9.ABD
10.ABC
11.ABD
12. 3x−y+ 3+2=0
13.(2,1,2)(答案不唯一)
14. 10
15.解：(1)如图所示：

所以AE=12(AB+AC)，AF=12(AC+AD)，由于点G为AF的中点，
故AG=12AF=14(AC+AD)，
故EG=AG−AE=14AC+14AD−12AB−12AC=14AD−12AB−14AC．
(2)由(1)得：EG=14AD−12AB−14AC，
所以EG⋅AB=(14AD−12AB−14AC)⋅AB=14AD⋅AB−12AB2−14AC⋅AB=14×1×1×csπ3−12×1×1−14×1×1×csπ3=−12．
16.解：(1)∵BC与AD互相垂直，且AD的斜率为12，
∴直线BC的斜率为k=−2，
结合B(1,3)，可得BC的点斜式方程：y−3=−2(x−1)，
化简整理得：2x+y−5=0，
所以直线BC的方程为2x+y−5=0．
(2)由x−2y+2=0和y=0联解，得A(−2,0)
由此可得直线AB方程为：y−03−0=x+21+2，即y=x+2，
∵AB，AC关于角A平分线x轴对称，
∴直线AC的方程为：y=−x−2，
∵直线BC方程为y=−2x+5，
∴将AC、BC方程联解，得x=7，y=−9，
因此，可得C点的坐标为(7,−9)．
17.(1)证明：直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R)，可化为y−1=k(x−2)，
对任意实数k，当x=2时，恒有y=1，所以直线l过定点(2,1)；
(2)解：根据题意可得k不为0，直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R)交x轴于点A(2−1k,0)，交y轴于点B(0,1−2k)，
而点A，B分别在x，y轴的正半轴上，即2−1k>0,1−2k>0，解得k