2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中净月校区慧泽学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中净月校区慧泽学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y=(x−2)2+1的对称轴是( )
A. x=2B. x=−2C. x=1D. x=−1
2.已知抛物线y=(m+3)x2+1开口向下，则m的取值范围为( )
A. m>−3B. m<−3C. m≠−3D. 任意实数
3.若x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为( )
A. 0B. −3C. 2D. −5
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，下列三角函数表示正确的是( )
A. sinA=45 B. tanA=43
C. csA=45 D. tanB=34
5.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE为AB的中垂线，AD=12，则CD的长是( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
6.已知点A(2,y1)、B(3,y2)、C(−1,y3)均在抛物线y=ax2−4ax+c(a>0)上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y17.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44cm，则高AD约为( )
(参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51)
A. 9.90cm
B. 11.22cm
C. 19.58cm
D. 22.44cm
8.一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，
如图所示(1cm对应一个单位长度)，AB//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，CH⊥AB且CH=1cm，BD=2cm.则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=14(x+3)2B. y=14(x−3)2C. y=14(x−4)2D. y=−14(x−4)2
二、填空题：本题共6小题，共18分。
9.函数y=2x2−3x+1的一次项系数是______．
10.将二次函数y=−12(x+2)2的图象向右平移6个单位，则平移后的抛物线的表达式为______．
11.等腰三角形的底和腰是方程x2−7x+10=0的两根，则这个三角形的周长是______．
12.一座堤坝的横截面是梯形ABCD，各部分的数据如图所示，坝底AD长为______m.(结果保留根号)
13.如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC= ______．
14.如图，P是抛物线y=x2−2x−3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴
作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.计算：8sin260°+tan45°−4cs30°．
16.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地面积为12m2，求原正方形空地的边长．
17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过面积为12的正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则a的值为______．
18.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点，点A、B都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，以AB为斜边画直角△ABC(点C在格点上)，使得tan∠ABC=23；
(2)在图②中，以AB为一直角边画等腰直角△ABD(点D在格点上)，使得∠A=90°；
(3)在图③中，以AB为一直角边画△ABE(点E在格点上)，在AE上取点F，使得tan∠ABF=15．
19.第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理(得分用x表示)：
A：70≤x<75，B：75≤x<80，C：80≤x<85，
D：85≤x<90，E：90≤x<95，F：95≤x≤100，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)n=______，a=______；
(2)八年级测试成绩的中位数是______；
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
20.如图是某小区入口的平面示意图.已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙上的O点处装有一盏灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长1.6米，(灯罩长度忽略不计)，∠AOM=60°．
(1)求点M到地面的距离；
(2)某搬家公司一辆总宽2.65米，总高3.6米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.55米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.(参考数据： 3≈1.73，结果精确到0.01米)
21.我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数，右表中为若干次称重时所记录的一些数据．

(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
(2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤；
(3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题．
①y与x的函数关系式；
②当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
22.【探究】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连结CD.若CD=8，则AB= ______；
【应用】如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB=8，AC=6，求△DEF的周长；
【拓展】如图③，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=45°，连结AC、BD.M是AC的中点，连结BM、DM.若△BMD的面积为32，则AC的长为______．
23.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6厘米，动点D从点A出发以每秒 2厘米的速度沿AB向点B运动，过点D作AB的垂线交折线AC−CB于点F，过点F作AC的平行线交AB于点G(点F在AC上时，点G与点A重合)，以DG，FG为邻边作平行四边形DEFG，点D运动的时间为t(秒)．
(1)用含t的代数式表示DF的长；
(2)当t为何值时，点E在BC上；
(3)如图②，当直线CD将平行四边形DEFG的面积分为3：5的两部分时，直接写出t的值．
24.已知二次函数y=−x2+4x+m−1．
(1)当m=3时，
①求函数的顶点坐标；
②当n≤x≤n+2时，该函数的最大值为3，求n的值，
(2)若函数图象上有且只有2个点到x轴的距离为3，请直接写出m的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.C
6.A
7.B
8.B
9.−3
10.y=−12(x−4)2
11.12
12.15+8 32
13. 55
14.212
15.解：原式=8×( 32)2+1−4× 32
=8×34+1−2 3
=6+1−2 3
=7−2 3．
16.解：设原正方形空地的边长为x m
依题意得：
(x−1)(x−2)=12，
解得，x1=5，x2=−2(不合题意，舍去)
答：原正方形空地的边长为5m．
17.解：作BD⊥x轴于点D，
∴∠BDO=90°，
∵四边形ABOC是正方形，面积为12，
∴AB=BO=CO=AC= 22，∠AOB=45°，
∴∠BOD=∠DBO=45°，
∴BD=DO，
在Rt△ABO和Rt△BDO中由勾股定理得
AO=1，BD=DO=12，
∴A(0,1)，B(−12,12)，
∴c=114a+c=12，解得：a=−2c=1
18.解：(1)△ABC如图①所示：
∵∠C=90°，AC=2，BC=3，
∴tan∠ABC=ACBC=23；
(2))△ABD如图②所示：
∵AB2=AD2=32+22=13，BD2=52+12=26，
∴AB=AD，且AB2+AD2=BD2，
∴∠A=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形；
(3))△ABE及点F如图③所示：
∵AB2=AE2=32+22=13，BE2=52+12=26，
∴AB=AE，且AB2+AE2=BE2，
∴∠A=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
由图知∠ABH+∠HBE=∠GBE+∠HBE=∠HBG=45°，∠BGE=90°，
∴∠ABF=∠GBE，
∵∠BGE=90°，EG=1，BG=5，
∴tan∠ABH=tan∠EBG=EGBG=15．
即tan∠ABF=15．

19.解：(1)20；4
(2)86.5
(3)500×3+120+500×(1−5%−5%−20%−35%)
=100+175
=275(人)，
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人．
20.解：(1)过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.6米，
∴∠M=30°，
∴ON=12OM=0.8，
∴NB=ON+OB=0.8+3.3=4.1(米)，
答：点M到地面的距离是4.1米；
(2)在线段BC上取CE=0.55，EH=2.65，HB=3.9−2.65−0.55=0.7(米)，
过点H作GH⊥BC于点H，交OM于点G，过O作OP⊥GH于点P，则四边形PHBO是矩形，
∴MN//OP，
∴∠GOP=∠M=30°，
在Rt△OPG中，tan30°=GPOP= 33，
∴GP= 33OP= 33HB≈1.73×0.73≈0.404(米)．
∴GH=PH+GP=OB+GP=3.3+0.404=3.704≈3.70(米)．
∵3.70>3.6
∴货车能安全通过．
21.(1)把表中数据描点如下：
观察图象可知：由于y是x的一次函数，(6,4.8)没有位于直线上，所以x=6，y=4.8这组数据错误．
(2)0.7
(3)①∵y是x的一次函数，
∴设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据表中数据有当x=1时，y=0.6，当x=2时，y=1.3，
∴k+b=0.62k+b=1.3，
解得k=0.7b=−0.1，
∴y与x的函数关系式为y=0.7x−0.1．
②当y=6.9时，6.9=0.7x−0.1，
解得x=10．
答：秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米．
22.(1)16．
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB=8，AC=6，BC=10，
∴DE=12AB=4，DF=12AC=3，EF=12BC=5，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=5+4+3=12；
(3)∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=DM=12AC，
∴BM=AM=DM，
∴∠BAM=∠ABM，∠DAM=∠ADM，
∵∠BMC=∠BAM+∠ABM，∠DMC=∠DAM+∠ADM，∠BAD=45°，
∴∠BMD=2∠BAD=90°，
∴S△BMD=12BM⋅DM=12BM2=32，
∵BM>0，
∴BM=8，
∴AC=2BM=16．
23.解：(1)过点C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴∠A=∠B=45°，AB=6 2，
∴AH=12AB=3 2，
∵D点运动到H时，t=3 2÷ 2=3，
∴当0∵FD⊥AB，∠A=45°，AD= 2t，
∴DF= 2t；
当3
同法可得：DF=BD=AB−AD=6 2− 2t；
综上：DF= 2t或DF=6 2− 2t；
(2)当点E在BC上时，如图：

∵FD⊥AB，∠A=45°，AD= 2t，
∴DF=AF= 2t，
∴AF= AD2+DF2=2t，
∵四边形AFED为平行四边形，
∴EF=AD= 2t,EF//AD，
∴∠CFE=∠A=45°，
∵∠ACB=90°，
∴CE=CF= 22⋅ 2t=t，
∴AC=CF+AF=3t=6，
∴t=2；
(3)当0
∵▱AFED，
∴AF//ED，▱AFED的面积等于2S△DFE，
∵直线CD将平行四边形DEFG的面积分为3：5的两部分，
∴S△EHD=38S▱AFED=34S△DFE，
∴EHEF=34，
∴EHHF=31，
由(1)知：DE=AF=2t，
∴CF=6−2t，
∵AF//ED，
∴△CHF∽△DHE，
∴DECF=EHHF=31，
∴DE=3CF，
即：2t=3(6−2t)，
解得：t=94；
当3
同法可得：GHFH=3，
由(2)知：FG=12−2t，DG=BD=6 2− 2t，
∴HG=34FG=9−32t，
∵FG//AC，
∴△DHG∽△DCA，
∴HGAC=GDAD，即：9−32t6=6 2− 2t 2t=6−tt，
解得：t=4或t=6(舍去)；
综上：t=94或t=4．
24.解：(1)当m=3时，由y=−x2+4x+m−1，
则y=−x2+4x+2，
①根据y=−x2+4x+2，
所以y=−(x−2)2+6，
故顶点为：(2,6)；
②由于y=−(x−2)2+6，
所以对称轴为：x=2，
∵a=−1<0，开口向下，
当n>2时，x=n时，
y=−n2+4n+2=3此时函数值最大，
解得：n=2+ 3或n=2− 3(舍去)，
当n+2<2时，即n<0时，x=n+2时，
y=−(n+2)2+4(n+2)+2=3此时函数值最大，
解得：n=− 3或n= 3(舍去)，
综上所述：n=2+ 3或− 3；
(3)由y=−x2+4x+m−1，
所以y=−(x−2)2+m+3．
∴顶点为(2,m+3)，
根据函数图象上有且只有2个点到x轴的距离为3，
∴−3解得：−6∴m的取值范围是：−6x(厘米)
1
2
3
4
5
6
y(斤)
0.6
1.3
2
2.7
3.4
4.8