2024-2025学年宁夏石嘴山三中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏石嘴山三中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=2x−1与y=ax+1平行，则a=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.已知点A(2,1)，B(3,2)，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
3.圆x2+y2+4x−1=0关于点(0,0)对称的圆的标准方程为( )
A. x2+y2−4x−1=0B. x2+(y−2)2=5
C. x2+y2+8x+15=0D. (x−2)2+y2=5
4.方程x2+y2+4x−2y+5m=0表示圆的条件是( )
A. 141C. m<14D. m<1
5.过点M(−2,a)，N(a,4)的直线的斜率为−12，则|MN|=( )
A. 10B. 180C. 6 3D. 6 5
6.若直线l的倾斜角α满足0≤α<2π3，且α≠π2，则其斜率k满足( )
A. − 3− 3
C. k≥0或k<− 3D. k≥0或k<− 33
7.已知点P在直线y=−x−3上运动，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆(x−9)2+(y−2)2=16上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )
A. 13B. 11C. 9D. 8
8.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标为( )
A. (−4,0)B. (−3,−1)C. (−5,0)D. (−4,−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的有( )
A. 直线l1：x−2y+4=0和l2：2x−4y+8=0的交点坐标为(2,1)
B. 直线l1；x−y+2=0和l2：2x+y−5=0的交点坐标为(1,3)
C. 直线l1：2x+y+2=0和l2：y=−2x+3没有交点
D. 直线l1：x−2y+1=0和l2：y=x，l3：2x+y−3=0两两相交
10.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
A. k1B. k3C. α1<α3<α2
D. α3<α2<α1
11.下列结论正确的是( )
A. 已知点P(x,y)在圆C(x−1)2+(y−1)2=2上，则x+y的最大值是4
B. 已知直线kx−y−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−23≤k≤1
C. 已知P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与圆相交
D. 若圆M：(x−4)2+(y−4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,0)的距离为1，则r的取值范围是(4,6)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点(3,−2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为______．
13.直线2x−y+3=0关于直线y=x+1对称的直线方程是______．
14.已知实数x1、x2、y1、y2满足x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1−2| 2+|x2+y2−2| 2的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：x2+(y−1)2=4，直线l过点M(−2,4)．
(1)若直线l的斜率为−2，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知圆C1过点(0,0)，(1,1)，(8,0)，圆C2：x2+(y+2)2=4．
(1)求圆C1的方程．
(2)判断圆C1和圆C2的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长．
17.(本小题15分)
如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．
(1)求该圆弧所在圆的方程；
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？(将汽车看作长方体)
18.(本小题17分)
已知一条动直线3(m+1)x+(m−1)y−6m−2=0，
(1)求直线恒过的定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程．
19.(本小题17分)
已知圆Q：(x−5)2+y2=1和点M(10,0)，直线l：y=2x+5．
(Ⅰ)点A在圆Q上运动，且A为线段MN的中点，求点N的轨迹曲线T的方程；
(Ⅱ)点P是直线l上的动点，过P作(I)中曲线T的两条切线PB、PC，切点为B，C，求直线BC所过定点D的坐标；
(Ⅲ)设E为(Ⅰ)中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F.试探究：x轴上是否存在定点G(异于点Q)，使得|EF|2+1|EG|2为定值？若存在，求25|EQ|+|EF|的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.D
5.D
6.C
7.D
8.A
9.BC
10.AD
11.ACD
12.2x+3y=0或x+y=1
13.x−2y=0
14.2 2+ 3
15.解：(1)由题设，直线l：y−4=−2(x+2)，可得l：2x+y=0，
圆C：x2+(y−1)2=4的圆心C(0,1)，半径r=2，
则C(0,1)到直线l的距离d=1 5= 55，
所以直线l被圆C所截得的弦长为2 r2−d2=2 955；
(2)由(−2)2+32>4，即M在圆外，
当直线l斜率存在时，设l：y−4=k(x+2)，即kx−y+2k+4=0，
要使直线l与圆C相切，则|2k+3| 1+k2=2，
可得k=−512，
所以直线l的方程为5x+12y−38=0，
当直线l斜率不存在时，l：x=−2与圆C相切；
故直线l的方程为：x=−2或5x+12y−38=0．
16.解：(1)设圆C的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
分别代入点(0,0)，(1,1)，(8,0)，
可得：F=01+1+D+E+F=064+8D+F=0，解得D=−8，E=6，F=0，
即x2+y2−8x+6y=0
故圆C1的方程(x−4)2+(y+3)2=25；
(2)C1(4,−3)，C2(0,−2)，
|C1C2|= (4−0)2+(−3+2)2= 17，
∵5−2< 17<5+2
所以圆C1和圆C2相交，
设交点为A，B，将两个圆方程相减，
得直线AB方程为(x−4)2+(y+3)2−x2−(y+2)2=25−4即：4x−y=0，
所以C2到直线AB的距离d=2 17，
所以|AB|=2 R22−d2=2 4−417=16 1717，
即两圆公共弦的长16 1717．
17.解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
由图形可得A(−8,0)，B(8,0)，D(0,4)，
设该圆的半径为r米，则r2=82+(r−4)2，解得r=10，
圆心为(0,−6)，
故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100．
(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
则(d2)2+(6+1.6)2=102，
解得d=2 42.24．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5<2 42.24.隧道能并排通过4辆该种汽车；
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5>2 42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
18.解：(1)∵动直线3(m+1)x+(m−1)y−6m−2=0，
∴整理得直线方程为(3x+y−6)m+3x−y−2=0，
联立方程组3x+y−6=03x−y−2=0，得x=43y=2，
∴直线恒过定点，定点P的坐标为(43,2)；
(2)由(1)知直线恒过定点P(43,2)，
当直线与y轴没有交点时，m−1=0，即m=1，
此时直线方程为x=43，符合题意，
当直线与y轴有交点时，m≠1，
求出直线的纵截距，其小于等于零，即可满足题意，
令x=0，则(m−1)y−6m−2=0，y=6m+2m−1，
若直线不经过第二象限，则6m+2m−1≤0，−13≤m<1，
∴m的取值范围是[−13,1]．
(3)设直线方程为xa+yb=1，(a>0,b>0)，则ab=12，①
由题意得43a+2b=1，②
由①②，整理得a2−6a+8=0，
解得a=4，b=3或a=2，b=6，
当a=2，b=6时，直线方程为3x+y−6=0，
即有3(m+1)1−m=−3，且−6m+2m−1=−6，解得m∈⌀，
∴所求直线的方程为x4+y3=1，即3x+4y−12=0．
19.解：(Ⅰ)设A(x0,y0)，N(x,y)，则x0=x+102y0=y2，(1分)
由点A在圆Q上运动，有(x0−5)2+y02=1，
∴(x2)2+(y2)2=1⇒x2+y2=4即为点N的轨迹线T的方程，(3分)
(Ⅱ)点P是直线l上的动点，设P(m,n)，则n=2m+5，
曲线T：x2+y2=4是以原点O为圆心，半径为2的圆，
过P作的曲线T两条切线PB，PC，切点为B，C，易知B，C在以OP为直径的圆上，
设圆上任意一点为H(x,y)，则PH⋅OH=0⇒(x−m)x+(y−n)y=0⇒x2+y2−mx−ny=0，①(4分)
又切点B，C在曲线T上，有x2+y2=4，②
由②−①得B，C所在直线方程为mx+ny=4，(5分)
即mx+(2m+5)y=4⇒m(x+2y)+5y−4=0对m∈R恒成立，(6分)
∴x+2y=05y−4=0⇒x=−85y=45，
故直线BC所过定点D的坐标为(−85,45).(7分)
(Ⅲ)设E(x,y)为曲线T：x2+y2=4上任意一点，
假设存在x轴上定点G(异于点Q)满足条件，设G(t,0)，(t≠5)
则|EF|2+1|EG|2=|EQ|2|EG|2=(x−5)2+y2(x−t)2+y2=x2+y2−10x+25x2+y2−2tx+t2=−10x+29−2tx+t2+4，
对x∈[−2,2]恒为定值，(9分)
必有−10−2t=29t2+4⇒5t2−29t+20=0⇒t=45或t=5(舍)，
所以存在x轴上定点G(45,0)使得|EF|2+1|EG|2=|EQ|2|EG|2=254为定值，
即对于曲线T上任意一点E，恒有|EG|=25|EQ|，(10分)
故25|EQ|+|EF|=|EG|+|EF|≥|GF|= |GQ|2−|FQ|2= (5−45)2−12=4 265，
所以25|EQ|+|EF|的最小值为4 265.(12分)