2024-2025学年江西省上饶市蓝天教育集团高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省上饶市蓝天教育集团高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3x−y−3=0的倾斜角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.已知点A(1,0),B(2, 3)，则直线AB的斜率是( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
3.已知两条直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，若l1与l2平行，则实数m=( )
A. −1B. 3C. −1或3D. ±3
4.若直线ax+y−4=0与直线x−y−2=0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (−1,+∞)
C. (−∞,2)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)
5.以点C(−1,−5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是( )
A. (x+1)2+(y+5)2=9B. (x+1)2+(y+5)2=16
C. (x−1)2+(y−5)2=9D. (x+1)2+(y+5)2=25
6.圆x2+y2−2x−2y−1=0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
7.若圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知圆C：(x−4)2+(y−13)2=4，过直线l：4x−3y=0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为( )
A. 3B. 5C. 2 5D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线l经过点(2,−3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A. 3x+2y=0B. 2x+3y=0C. x−y−5=0D. x+y+1=0
10.已知圆C：x2+y2−4y=0，直线l过点(1,1)，则下列说法正确的是( )
A. 圆C的半径为2B. 圆C的圆心坐标为(0,−2)
C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2 2D. 直线l被圆C截得的最长弦长为4
11.已知曲线C：(|x|−1)2+(|y|−1)2=8，则( )
A. 曲线C上两点间距离的最大值为4 2
B. 若点P(a,a)在曲线C内部(不含边界)，则−3C. 若曲线C与直线y=x+m有公共点，则−6≤m≤6
D. 若曲线C与圆x2+y2=r2(r>0)有公共点，则3≤r≤3 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______．
13.直线l经过点P(3,6)，且与圆C：x2+y2−2x−4y+1=0相切，则直线l的方程为______．
14.已知点M是圆x2+y2=1上的动点，点N是圆(x−5)2+(y−2)2=16上的动点，点P在直线x+y+5=0上运动，则|PM|+|PN|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知坐标平面内三点A(−2,−4)，B(2,0)，C(−1,1)．
(1)求直线AB的斜率和倾斜角；
(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
16.(本小题15分)
已知直线l1：(a+6)x+2y+8=0，直线l2：3x−(a−1)y+4=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
17.(本小题15分)
已知关于x，y的方程C：x2+y2−2x−4y+m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆．
(2)若圆C与直线l：x+2y−4=0相交于M，N两点，且MN=4 5.求m的值．
18.(本小题15分)
一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心O(0,0)为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时40 7km的速度做匀速直线运动．
(1)运输车将在无人区经历多少小时？
(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？
19.(本小题17分)
已知圆C1：x2+y2+6x−2y+6=0和圆C2：x2+y2−8x−10y+41−r2=0(r>0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y=kx+1与圆C1交于P、Q两点，且OP⋅OQ=4，求实数k的值．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.A
5.D
6.B
7.B
8.B
9.ACD
10.ACD
11.BC
12.(−1,0)或(9,0)
13.x=3或3x−4y+15=0
14. 149−5
15.解：(1)因为直线AB的斜率为−4−2−2=1，
所以直线AB的倾斜角为π4．
(2)如图：

当点D在第一象限时，kAB=kCD，kAC=kBD，
设D(x,y)，
则y−1x+1=1yx−2=1+4−1+2，解得x=3y=5，
故点D的坐标为(3,5)．
16.解：(1)因为l1//l2，所以−(a+6)×(a−1)−2×3=0，
整理得a2+5a=0，解得a=0或a=−5，
当a=0时，l1：6x+2y+8=0，l2：3x+y+4=0，l1，l2重合，舍去，
当a=−5时，l1：x+2y+8=0，l2：3x+6y+4=0，符合题意，
故a=−5．
(2)因为l1⊥l2，
所以3(a+6)−2(a−1)=0，
解得a=−20．
17.解：(1)方程C可化为：(x−1)2+(y−2)2=5−m，显然，当5−m>0时，即m<5时，方程C表示圆．
(2)圆的方程化为(x−1)2+(y−2)2=5−m，圆心C(1,2)，半径r= 5−m，
则圆心C(1,2)到直线l：x+2y−4=0的距离为d=|1+2×2−4| 12+22=1 5，
∵MN=4 5,则12MN=2 5，有 r2=d2+(12MN)2，
∴5−m=(1 5)2+(2 5)2，解得m=4．
18.解：(1)设运输车的初始位置在点A，其运动轨迹与圆O的交点为B和C，
如图所示，
由题意知，∠CAO=30°，OA=600，OB=400，
在△OAB中，由正弦定理知，OAsin∠OBA=OBsin∠CAO，
所以600sin∠OBA=40012，即sin∠OBA=34，
所以sin∠OBC=sin(180°−∠OBA)=sin∠OBA=34，
cs∠OBC= 1−342= 74，
过点O作OD⊥BC于点D，则cs∠OBC=BDOB，
所以BD=OBcs∠OBC=400× 74=100 7，
所以BC=2BD=200 7，
又运输车以每小时40 7km的速度做匀速直线运动，
则时间为200 740 7=5，
所以运输车将在无人区经历5小时．
(2)设运输车至少从点A′出发才能成功避开无人区，
则过点A′且与BC平行的直线与圆相切．
过点A′作A′D′//BC与圆O相切于点D′，
则OD′⊥A′D′，
在Rt△OA′D′中，sin∠OA′D′=OD′OA′，
所以OA ′=OD ′sin⁡∠OA ′D ′=40012=800，
故为使该运输车成功避开无人区，至少应离火山口800km出发才安全．
19.解：(1)圆C1：x2+y2+6x−2y+6=0的标准方程为(x+3)2+(y−1)2=4，则圆心C1(−3,1)，r1=2，
圆C2：x2+y2−8x−10y+41−r2=0(r>0)的标准方程为(x−4)2+(y−5)2=r2(r>0)，则圆心C2(4,5)，r2=r，
所以|C1C2|= (4+3)2+(5−1)2= 65．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1−r2|<|C1C2|即|r−2|< 65所以r的取值范围为( 65−2, 65+2)；
(2)已知直线l：y=kx+1与圆C1交于P、Q两点，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立y=kx+1(x+3)2+(y−1)2=4，得(1+k2)x2+6x+5=0，
由Δ=36−20(1+k2)=16−20k2>0，得k∈(−2 55,2 55)，
所以x1+x2=−61+k2,x1x2=51+k2，
所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=−6k1+k2+6=4，解得k=3± 52，
因为k∈(−2 55,2 55)，所以k=3− 52．