2024-2025学年宁夏银川二中高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏银川二中高二（上）月考数学试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(BC+BB1)−D1C1运算的结果为( )
A. AC1B. BDC. BD1D. D1B
2.如果直线l绕坐标原点按顺时针旋转60°得到直线l1且直线l1的倾斜角为165°，那么直线l的倾斜角为( )
A. 15°B. 45°C. 105°D. 225°
3.两条平行直线3x+4y−12=0与ax+8y+11=0间的距离为( )
A. 1310B. 135C. 72D. 235
4.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且满足OM=3MA，N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−34b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a−23b+12cD. −34a+12b+12c
5.若函数f(x)=lg2(x+1)且a>b>c>0，则f(a)a、f(b)b、f(c)c的大小关系是( )
A. f(a)a>f(b)b>f(c)cB. f(c)c>f(b)b>f(a)a
C. f(b)b>f(a)a>f(c)cD. f(a)a>f(c)c>f(b)b
6.已知直线l1：2x+(m+1)y+2m−6=0，：mx+3y−2=0，则“m=−3”是l1//l2的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.空间直角坐标系O−xyz中，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直线l的方程为x−x0μ=y−y0υ=z−z0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x−5y+z−7=0，经过(0,0,0)的直线l的方程为x3=y2=z−1，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. 1010B. 1035C. 105D. 57
8.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，则AC1在AB上的投影向量是( )
A. 34AB
B. 56AB
C. 38AB
D. 58AB
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点M(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. 2x−y=0D. x+y+3=0
10.已知直线l1：(sinα)x−(csα)y+1=0，l2：(sinα)x+(csα)y+1=0，l3：(csα)x−(sinα)y+1=0，l4：(csα)x+(sinα)y+1=0.则( )
A. 存在实数α，使l1//l2B. 存在实数α，使l2/​/l3
C. 对任意实数α，都有l1⊥l4D. 存在点到四条直线距离相等
11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=AD=2，M，N，G分别为PA，PC，PB的中点，则( )
A. 四面体N−BCD是鳖臑
B. CG与MN所成角的余弦值是 63
C. 点G到平面PAC的距离为 34
D. 点M到直线AC的距离为 62
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m//n，则xy= ______．
13.已知入射光线经过点(3,1)被x轴反射后，反射光线经过点(0,2)，则反射光线所在直线方程为______．
14.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=7，则CD的长为______．
15.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体.正十二面体，正二十面体，已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图)，M，N分别为棱AD，AC的中点，则FM⋅BN= ______．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知△ABC的三个顶点是A(2,3)，B(1,2)，C(4,−4)．
(1)求BC边上的中线所在直线l1的方程；
(2)求△ABC的面积；
(3)若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
17.(本小题14分)
如图，正四棱锥P−ABCD的底面边长和高均为2，E，F分别为PD，PB的中点．
(1)证明：EF⊥PC；
(2)若点M是线段PC上的点，且PM=13PC，判断点M是否在平面AEF内，并证明你的结论；
18.(本小题14分)
如图所示，矩形ABCD中，AD=2AB=4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．
(1)证明：BC//平面ADE；
(2)求二面角A−BE−C的正弦值．
19.(本小题15分)
在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高ℎ为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01m)( 3≈1.732)
20.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.B
6.C
7.B
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.3
13.x+y−2=0
14. 59
15.52
16.解：(1)由B(1,2)，C(4,−4)．
所以kBC=−4−24−1=−63=−2，
所以BC边上的高所在直线l1的斜率为k=12，
则BC边上的高所在直线l1的方程y−3=12(x−2)，
即x−2y+4=0；
(2)A(2,3)，B(1,2)，C(4,−4)，
所以|AB|= (2−1)2+(3−2)2= 2，|AC|= (4−2)2+(−4−3)2= 53，|BC|= (4−1)2+(−4−2)2= 45=3 5，
所以cs∠ABC=AB2+BC2−AC 2AB⋅BC=2+45−532× 2×3 5=− 1010，
所以sin∠ABC= 1−cs2∠ABC=3 1010，
所以S△ABC=12|AB|⋅|BC|sin∠ABC=12× 2×3 5×3 1010=92；
(3)因为点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l2与AB平行，
因为kAB=3−22−1=1=kl2，且l2过点C，
所以l2方程为y+4=x−4，即x−y−8=0，
②当直线l2通过AB的中点D(32,52)，
所以kCD=−4−524−32=−135，
所以l2的方程为y+4=−135(x−4)，即13x+5y−32=0．
综上：直线l2的方程为x−y−8=0或13x+5y−32=0．
17.(1)证明；连接AC、BD交于O，连接OP，

由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，
以O为坐标原点，OA、OB、OP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

因为正四棱锥P−ABCD的底面边长和高均为2，
则A( 2,0,0),B(0, 2,0),P(0,0,2),C(− 2,0,0),D(0,− 2,0)，E(0,− 22,1)，F(0, 22,1)，
则EF=(0, 2,0)，PC=(− 2,0,−2)，则EF⋅PC=0，
所以EF⊥PC；
(2)解：由(1)知AE=(− 2,− 22,1)，AF=(− 2, 22,1)，
AP=(− 2,0,2)，AP+13PC=(− 2,0,2)+13(− 2,0,−2)=(−43 2,0,43)，
又PM=13PC，得AM=AP+PM=AP+13PC=(−43 2,0,43)，
AE+AF=(−2 2,0,2)，所以AM=23AE+23AF，
所以A、M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．
18.解：(1)证明：如图，分别取AE，DE的中点F，G，连接BF，CG，FG，
则由平面图形中矩形ABCD的条件可知BF⊥AE，CG⊥DE，且BF=CG，
又折叠后图形中平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直，
∴根据面面垂直的性质定理可得BF⊥平面ADE，CG⊥平面ADE，
∴BF//CG，又BF=CG，∴四边形BFGC为平行四边形，
∴BC/​/FG，又BC⊄平面ADE，FG⊂平面ADE，
∴BC/​/平面ADE；
(2)又(1)知BF⊥平面ADE，CG⊥平面ADE，且AE⊥DE，
故以BF所在直线为z轴，AE所在直线为x轴，平面ADE内过F且平行DE的直线为y轴，建系如图，
则根据题意可得：B(0,0, 2)，E( 2,0,0)，C( 2, 2, 2)，
∴BE=( 2,0,− 2)，BC=( 2, 2,0)，
易知平面ABE的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BE= 2x− 2z=0n⋅BC= 2x+ 2y=0，取n=(1,−1,1)，
∴cs=m⋅n|m||n|=−11× 3=− 33，
∴二面角A−BE−C的正弦值为 1−cs2= 1−13= 63．
19.解：记灯柱顶端为B，灯罩顶为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路中线交于C，以灯柱底端O点为原点，灯柱OB所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

则B点的坐标为(0,ℎ)，C点的坐标为(11.5,0))
因为灯杆AB与灯柱OB成120°角，所以AB的倾斜角为30°，则A点的坐标为(2.5cs30°,ℎ+2.5sin30°)，
即(1.25 3,ℎ+1.25)
因为CA⊥BA，所以kAC=−1kAB=− 3，
由点斜式得CA的方程为y−(ℎ+1.25)=− 3(x−1.25 3)，
因为灯罩轴线CA过点C(11.5,0)，所以0−(ℎ+1.25)=− 3(11.5−1.25 3)，
所以ℎ≈14.92(米)
20.解：(1)证明：过P在平面PAD内作直线l/​/AD，
由AD//BC，可得l/​/BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，
∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩PD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵l/​/BC，∴l⊥平面PCD；
(2)如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，
设Q(m,0,1)，DQ=(m,0,1)，PB=(1,1,−1)，DC=(0,1,0)，
设平面QCD的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅DC=0n⋅DQ=0，∴b=0am+c=0，取a=−1，可得n=(−1,0,m)，
∴cs=n⋅PB|n|⋅|PB|=−1−m 3⋅ 1+m2，
∴PB与平面QCD所成角的正弦值为|1+m| 3⋅ 1+m2= 33⋅ 1+2m+m21+m2
= 33⋅ 1+2m1+m2≤ 33⋅ 1+22= 63，当且仅当m=1取等号，
∴PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 63．