2024-2025学年第一学期高一期中模拟检测试题数学（集合—指数函数）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（ ）
A．每一个四边形的对角线都不互相垂直
B．存在一个四边形，它的对角线不垂直
C．所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．存在一个四边形，它的对角线互相垂直
4．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）
A．B．，或
C．，或D．
5．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C． 与 D．与
6．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．定义域为 C．在上单调递增D．值域为
7．定义在0,+∞上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．D．
8．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数a，b满足等式，则下列不可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值
C．D．在上是增函数
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．求值：－＋ ＝ ．
13．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
14．不等式对恒成立，则的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
(1)当时，求；
(2)若__________，求实数的取值范围．
16．（1）已知，求的解析式；
（2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式.
17．已知函数，且其定义域为．
(1)判定函数的奇偶性；
(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；
(3)解不等式．
18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
19．若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
(1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数；
(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．