浙江省精诚联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角.
【详解】由于直线的倾斜角为，则直线的斜率，
再由，可得.
故选：C
2. 已知，，且，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量减法的坐标运算求出，再根据得出数量积等于零，建立等式求解．
【详解】，
，
，
解得：，
故选：A．
3. 直线：与直线：的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解.
【详解】设 与的距离为d，
则 .
故选：B.
4. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为四点共面，
所以向量共面，即存在实数使得，
又，，，
所以，
所以，解得，则.
故选：A.
5. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.
【详解】设点关于直线对称的点，则，解得.
因为在外，所以，可得
且表示圆可得，即得
综上可得.
故选：C.
6. 已知点A坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点A到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量垂直，以及两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】由题意得，直线的一个方向向量为，
所以，点到直线的距离为：，
.
故选：C．
7. 已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围.
【详解】将代入得，
将代入得，
所以，不在直线上，
又∵，
所以点在线段上，
直线的方程为：，
直线过定点且斜率一定存在，

故由数形结合可知：或
故倾斜角，
故选：D
8. 正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使.则三棱锥的体积为（ ）
A B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正三角形折叠后得出平面,设夹角为，进而,再应用三棱锥体积公式计算即可.
【详解】
正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，
平面,平面,
设夹角为，
使.
则
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）.
A. 直线恒过第一象限
B. 直线关于x轴的对称直线为
C. 原点到直线的距离为
D. 已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】求出直线过得定点判断A，求得直线关于x轴的对称直线方程判断B，由点到直线的距离判断C，讨论直线在轴上截距是否为0，求出直线方程判断D.
【详解】直线即直，当时，，
即直线恒过定点 ，由在第一象限知A正确；
直线关于x轴的对称直线为，即，故B错误；
由点到直线距离可得，故C正确；
因为直线过点，且在轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，
当截距不为0时，可设直线方程为，则，，则直线方程为，故D错误.
故选：AC
10. 已知点在曲线上，点，则PQ的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对称性可知：只需讨论轴以及其上方的图象即可，分和两种情况，
结合圆的性质分析求PQ的最值，结合选项分析判断.
【详解】对于方程，
将换成可得：，即，
可知曲线关于轴对称，
且点在轴上，则只需讨论轴以及其上方的图象即可，
当，则曲线方程化为，即，
此时曲线为以为圆心，半径的半圆，
可知，当且仅当为线段与曲线的交点时，等号成立；
当，则曲线方程化为，即，
此时曲线为以为圆心，半径，
可知，当且仅当为的延长线与曲线的交点时，等号成立；
即，
结合选项可知：AD错误；BC正确.
故选：BC.
11. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点M，使得二面角大小为
B. 最大值为6
C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为
D. 当时，则三棱锥的体积为定值.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意得到二面角的平面角,其中，可得判定A错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B,根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点的位置，再应用等体积法求体积即可判断D.
【详解】在正方体中，可得平面，
因为平面，平面，所以，
所以二面角的平面角为，其中，A错误；

如图建系，设，
，
存在时，取最大值6，B正确；
设面法向量为n=0,1,0，直线与面所成角为时，
可得，所以，
则点M的轨迹是以E0,0,1为球心，2为半径的球，
点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以E0,0,1为圆心，2为半径的劣弧，
如图所示，分别交，于，，如图所示，，则，
则，劣弧长为，C正确
当时，，
所以，所以，可得为，
则三棱锥的体积为，
所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点计算求轨迹方程，点M的轨迹是以E0,0,1为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.
12. ，，则在上的投影向量为________（用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求出投影向量．
【详解】由于空间向量，，
故向量在向量上的投影向量的坐标．
故答案为：．
13. 已知直线：，：，若满足，则两直线的交点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】先由直线与直线垂直的性质能求出，再联立直线方程求交点即可.
【详解】直线与直线垂直，
，
解得，
所以，解得
故答案为：.
14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为________.

【答案】
【解析】
【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，
分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，
可得，
因为，即，可得，
则，则，整理可得，
可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，
所以端点的轨迹长度为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和.
（1）求圆C的方程；
（2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；
（2）设Mx,y，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解.
【小问1详解】
设圆C方程：，
由已知，解得，
∴圆C方程为.
【小问2详解】
设点Mx,y，.
∵，
∴.
整理得，，
∵点B在圆C上，∴，
∴点M的轨迹方程为.
16. 在四面体中，，，E是的中点，F是上靠近A的三等分点，
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由向量的加法与减法运算；
（2）证明，得，可得．
【小问1详解】
，
即；
【小问2详解】
所以．
17. 在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）．
（1）当点M为棱的中点时，求二面角的余弦值；
（2）当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值．
【答案】（1）
（2），最小值为
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，找出坐标，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，再利用公式求解即可；
（2）引入参数，设，，表示出，，，．求出平面法向量，设与平面的所成角为，利用建立等式，再利用基本不等式求解．
【小问1详解】
如图，以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设二面角为，则该角为锐角．
而，，，．
所以，．
设平面法向量
所以．
取，得平面的一个法向量为
易知平面的一个法向量为
所以．
【小问2详解】
设，
所以，，，．
设平面法向量为．
所以
取，得平面的一个法向量为．
设与平面的所成角为
所以
令，则
即
当时，即，．
最小值为，此时．
18. 已知，点，点B，C在直线上运动（点B在点C上方）.
（1）已知以点A为顶点的是等腰三角形，求边上的中线所在直线方程；
（2）已知，试问：是否存在点C，使得的面积被x轴平分，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由?
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及垂直直线的斜率关系求得边的中线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；
（2）结合点到直线的距离公式求出的面积，设，，分点C在x轴下方和点C在x轴或x轴上方，两种情况讨论，根据面积列式求解点C的坐标，再求直线方程即可.
【小问1详解】
因为是以点A为顶点的等腰三角形，所以边的中线垂直直线，
所以边的中线的斜率，又过点，
所以边的中线方程为，即；
【小问2详解】
因为点A到直线的距离，
故.
假设存在C满足条件，设，，则，即，
①当点C在x轴下方时，即时，即，
所在直线的方程为，令，解得，
直线与x轴的交点，
又直线与x轴的交点，所以，
，解得或，舍去；
②当点C在x轴或x轴上方时，即时，即，
所在直线的方程为，令，解得，
直线与x轴的交点，
所以，
，解得或（舍去）；
综上，当时，存在点满足题意，
此时，直线的斜率为，故直线方程为.
19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离.
（1）已知点，，求的值；
（2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求；
（3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积.
【答案】（1）9 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；
（2）设直线上任意一点坐标为Px,y，然后表示，分类讨论求的最小值即可；
（3）不妨将A平移到A0,0,0处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积.
【小问1详解】
，所以.
【小问2详解】
设动点Px,y为直线上一点，则，
所以，
即，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，为.
【小问3详解】
动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其表面积.
证明如下：
不妨将A平移到A0,0,0处，设，
若，则，
当时，即，
设，，，
则，
所以P，，，四点共面，
所以当时，P在边长为的等边三角形内部（含边界）.
同理可知等边三角形内部任意一点，均满足.
所以满足方程的点P，
构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.
由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形.
故该几何体表面积.
【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可.