湖南省岳阳市平江县启明中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份湖南省岳阳市平江县启明中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数不是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 2，1，5B. 2，1，C. 2，0，D. 2，0，5
3.若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根为( )
A. B. 2C. 3D.
6.如图，在中，若，，，则BC的长是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知线段m、n、p、q的长度满足等式，将它改写成比例式的形式，错误的是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A. B. C. D.
9.等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为( )
A. 15B. 16C. 15或17D. 16或17
10.如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10米的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子.设米，米，则下列说法正确的是( )
A. y关于x的函数关系式为
B. 自变量x的取值范围为，且y随x的增大而减小
C. 当时，x的取值范围为
D. 当AB为3米时，BC长为6米
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若点在反比例函数的图象上，则______.
12.如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则______.
13.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______.
14.已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______.
15.黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割.如图，B为AC的黄金分割点，如果AC的长度为10cm，则AB的长度为______结果保留根号
16.如图所示，在中，，于D，下列四个结论中：
①；
②；
③CD：：AB；
④
其中正确的有______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
选择合适的方法解方程：
；
18.本小题6分
“瞎转圈”现象指人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈，圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数.
求R与d的函数表达式；
若小王蒙上眼睛走出的圆圈半径不小于35m，求他两腿迈出的步长差d的范围.
19.本小题6分
已知：，且，求a、b、c的值.
20.本小题8分
如图，在中，D为BC上一点，
求证：；
若，，求CD的长．
21.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
若方程有实数根，求实数m的取值范围；
若方程的两个根分别为、，且满足，求实数m的值.
22.本小题9分
某商场在2023年国庆期间进行促销活动，A商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元.
国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率是多少？
国庆节过后，该商场A商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件.经过市场调研发现，A商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件.商场某天销售A商品共获利500元，则这天该商场A商品在每件150元的基础上降价多少元？
23.本小题9分
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为
求反比例函数的解析式；
点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标；
直接写出不等式的解集.
24.本小题10分
把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值.
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即
所以，所以当时，有最小值
根据上述材料，解答下列问题：
在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
将变形为的形式，并求出的最小值；
若代数式，试求N的最大值；
25.本小题10分
如图，在中，，如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动.已知点P的速度为，点Q的速度为连接PQ，设运动的时间为单位：
求AC，BC的长；
当t为何值时，的面积为面积的；
当t为何值时，与相似.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是反比例函数，故本选项错误；
B、是正比例函数，故本选项正确；
C、是反比例函数，故本选项错误；
D、是反比例函数，故本选项错误．
故选
根据反比例函数与一次函数的定义进行解答即可．
本题考查的是反比例函数的定义，熟知判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，，
故选：
根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得出结果.
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
3.【答案】D
【解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
解得：
故选：
直接利用反比例函数的性质得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的图象分布特点是解题关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而增大．首先根据得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定，，，最后再根据得，据此即可得出答案．
【解答】
解：，，
函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又点，，，
点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
，，，
又，
，
5.【答案】B
【解析】解：解法一：由题意设一元二次方程的两根分别为，，
，
，
方程的另一个根为
故选：
解法二：一元二次方程的一个根是，
，
，
，
解得：，，
方程的另一个根为
故选：
解法一：利用根与系数的关系得到，算出即可．
解法二：将代入方程中求得m的值，再解一元二次方程即可．
本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，
6.【答案】A
【解析】解：，
∽，
，
，，
故选：
根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是对应边写正确．
7.【答案】D
【解析】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得，与原式相等，正确，不符合题意；
B、两边同时乘以最简公分母mq得，与原式相等，正确，不符合题意；
C、两边同时乘以最简公分母qm得，与原式相等，正确，不符合题意；
D、两边同时乘以最简公分母qn得，与原式不相等，错误，符合题意；
故选：
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
【解答】解：，
，
A.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
B.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
C.添加，可用两边及其夹角法判定∽，故本选项错误；
D.添加，不能判定∽，故本选项正确；
故选：
9.【答案】D
【解析】解：当3为底边长时，则，，
，4，3能围成三角形，
，
解得：；
当3为腰长时，a、b中有一个为3，则另一个为5，
，3，3能围成三角形，
，
解得：；
的值为17或16，
故选：
分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键
10.【答案】B
【解析】解：根据矩形园子的面积为可知，
，
故A选项错误，不合题意；
由题意可知自变量x的取值范围为，且y随x的增大而减小，
故B选项正确，符合题意；
当时，，解得，
又，
的取值范围为，
故C选项错误，不合题意；
当AB为3米时，米，
故D选项错误，不合题意；
故选：
根据可得y关于x的函数关系式为，利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案．
本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
11.【答案】15
【解析】解：把点代入反比例函数得：
故答案为：15
将点代入反比例函数即可．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法可直接求出k的值；比较简单．
12.【答案】4
【解析】【分析】
欲求，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，结合反比例函数系数k的几何意义即可求出
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解答此题的关键．
【解答】
解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得：
，，
故答案为：
13.【答案】且
【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：且
故答案为：且
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
14.【答案】7
【解析】解：，b是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：
根据一元二次方程的两个根为a、b得出，，求出，再代入求出答案即可．
本题考查了根与系数的关系，能求出和是解此题的关键，注意：如果，是一元二次方程的两个根，那么，
15.【答案】
【解析】解：为AC的黄金分割点，，，
，
故答案为：
根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可．
本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．
16.【答案】②③④
【解析】解：，
，
，
，
，
，故①错误，②正确；
，
∽，
，即CD：：AB，故③正确；
，，
∽，
，
，故④正确．
故正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
根据三角形内角和定理可得，，进而可得，以此可判断①②；易证∽，利用相似三角形的性质即可判断③；证明∽，利用相似三角形的性质即可判断④．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
17.【答案】解：，
则，
，；
，
，
则或，
解得，
【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】解：设R与d的函数表达式为，
把代入上式得，，
，
与d的函数表达式为
当时，即，
，又，
两腿迈出的步长之差d的范围是
【解析】设R与d的函数表达式为，把代入，求出k即可得到解析式．
当时，即，求出d的范围即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意，结合图形求出函数关系式是解题的关键．
19.【答案】解：，
设，，，
，
，
，
，，，
，，
【解析】由，可设，，，代入求得k的值，即可得到a、b、c的值．
此题考查了比例的性质，根据题意设，，是解题的关键．
20.【答案】证明：，，
；
，
，
，，
，
，

【解析】根据相似三角形的判定解答即可；
由相似三角形的性质可得，可求BC的长，从而可得到CD的值．
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角相等得到三角形相似是解决本题的关键．
21.【答案】解：方程有实数根，
，
解得：
方程的两个根分别为、，
，，
，
，即，
解得：，舍去，
实数m的值为
【解析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
利用根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式是解题的关键．
22.【答案】解：设国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率是；
设这天该商场A商品在每件150元的基础上降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快销售完这批商品，
答：这天该商场A商品在每件150元的基础上降价20元．
【解析】设国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率为x，利用国庆期间A商品的售价=国庆前A商品的售价国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设这天该商场A商品在每件150元的基础上降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润=每件的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：因为点B在直线AB上，
所以，
解得
故点B坐标为
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为
将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，
，
解得或
故点A坐标为
又，
即，
所以，
故点P纵坐标为4或
将代入得，
将代入得，
所以点P的坐标为或
根据函数图象可知，
当或时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即
即不等式的解集为：或
【解析】先求出点B坐标，再代入反比例函数解析式即可．
根据题中两个三角形的面积关系，可得出点P的纵坐标的绝对值，据此可解决问题．
利用数形结合的思想即可解决问题．
本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，巧妙的利用数形结合的思想是解题的关键．
24.【答案】49
【解析】解：依据完全平方公式：，
是完全平方式．
故答案为：
，
的最小值是
，
又，
的最大值是
依据题意，根据完全平方公式求解；
依据题意，利用配方法求最小值即可；
依据题意，利用配方法求最大值．
本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用．
25.【答案】解：中，，，
，
，
则，
，；
作于E，
由题意得，，，
则，
，
，即，
解得，，
的面积，面积，
由题意得，，
解得，，，
则当t为1s或4s时，的面积为面积的；
当∽时，，即，
解得，，
当∽时，，即，
解得，，
故当t为或时，与相似．
【解析】根据正弦的定义和勾股定理求出AC，BC的长；
作于E，根据相似三角形的性质用t表示出PE，根据三角形的面积公式和题意列出方程，解方程即可；
分∽和∽两种情况，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、一元二次方程的解法，灵活运用相关的定理、定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．