2024-2025学年北师大版九年级上册数学期中测试题（1-3单元）

这是一份2024-2025学年北师大版九年级上册数学期中测试题（1-3单元），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点B落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．12B．10C．8D．6
3．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ）
A．1秒B．4秒C．6秒D．1秒或4秒
5．现有三张分别标有数字，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．一个不透明口袋中有白球、绿球、黑球各1个（除颜色外完全相同）．甲乙两人一起做摸球游戏，规则如下：甲、乙各摸球一次，先由甲从袋中随机摸出一个球，不放回，再由乙从袋中随机摸出一个球，摸到黑球者获胜．下列说法正确的是（ ）
A．此游戏规则对甲有利B．此游戏规则对乙有利
C．此游戏规则对甲、乙双方公平D．无法确定此游戏规则对谁有利
7．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.84B．0.85C．0.86D．0.87
8．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，点O、M分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．8B．5C．6D．3
二、填空题(每题3分，共30分)
11．一元二次方程的解是 ．
12．如图，在四边形中，平分，且，点为边中点，，则的面积为 ．
13．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则
14．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点E、F分别为线段的中点，连接，若，则的长为 ．
15．已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为 ．
16．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
17．五张分别印有“德”、“智”、“体”、“美”、“劳”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相同），将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“德”和“智”的概率是 ．
18．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为
19．2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是228万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是 ．
20．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，坐标原点在边上，、的长分别是关于的一元二次方程的两个根．且，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．
三、解答题(共60分)
21．解方程：
(1) (2) (3)
22．如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是AB、边上的点，且，将绕点D按逆时针方向旋转得到．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
23．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，，，连接OE．
(1)求证：；
(2)如果，，求菱形的面积．
24．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
(1)本次抽测了_____名九年级学生，______；
(2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
(3)在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
25．某水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000斤，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨0.5元，每天销量将减少40斤．
(1)若以每斤盈利9元的价钱出售，则每天能盈利________元．
(2)若水果店想保证每天销售这种水果的毛利润为600元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每斤水果涨价后的定价为多少元？
①解：方法一：设每斤水果应涨价x元，由题意，得方程；________；
方法二：设每斤水果涨价后的定价为x元，由题意，得方程：________．
②请你选择一种方法完成解答．
26．问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O．
(1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
(3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
射击次数
100
200
400
800
1000
“射中九环以上”的次数
87
172
336
679
850
“射中九环以上”的频率
0.87
0.86
0.84
0.85
0.85
参考答案：
1．D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意；
C、是分式方程，故不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形中的折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键．
因为为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，由此可得答案．
【详解】解：由折叠的性质及矩形的性质可得：，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
解之得：，
，
，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质，熟悉各个性质是解题关键．由题意可得，推出，然后根据正方形的性质和角平分线的性质可得即可解答．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，
∴，
∴，
，
平分，
，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设运动时间为秒，
由题意得：，，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴当的面积等于4时，经过了1秒，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
首先根据题意列出表格，然后求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字都为非负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】列表如下：
所有等可能的情况有6种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有、共2种，
则两个都是非负数的概率为，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：画树状图如图所示：
由上述树状图或表格知：
甲获胜的概率为：13，
乙获胜的概率为：，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
∴此游戏对双方公平，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论．
【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.85．
故选：B．
8．A
【分析】此题是关于一元二次方程的题目，解题的关键是准确列出方程；
根据题意表示出种草部分的长和宽，然后根据图形的面积即可列出方程．
【详解】由题意得：种草部分的长为，宽为，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键．
利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答．
【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，，
，是一元二次方程的两个实数根，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查三角形中位线及矩形的性质，熟练掌握三角形的中位线及矩形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点O、M分别是、的中点，，
∴，
∴；
故选：C．
11．，
【分析】本题考查了利用因式分解的方法求解一元二次方程，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：，
，
，，
故答案为：，．
12．6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据，点为边中点，，可得，过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，点为边中点，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵BD平分，，
∴，
∴，
故答案为：6 ．
13．/75度
【分析】本题主要查了正方形的性质，等边三角形的性质．根据正方形的性质可得，，再由等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
14．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∵点分别为线段的中点，
∴，
故答案为：4．
15．5或6
【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分情况讨论：当时，，可求出k的值，再将k的值代入方程进行验证；当或时，代入方程求出k的值，再将k的值代入方程进行验证，即可确定k的值．
【详解】解：m，n，3分别是等腰三角形三边的长，
当时，，
，
方程可化为，
解得，
，
满足条件；
当或时，，
，
方程可化为，
解得，
，
满足条件，
综上所述：k的值为5或6，
故答案为：5或6．
16．11
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
17．
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是“德”和“智”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是“德”和“智”的结果有：（德，智），（智，德），共2种，
恰好是“德”和“智”的概率是．
故答案为：．
18．15
【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
【详解】
解：设袋子中白球有个，
根据题意，可得：，
解得：，
所以估计袋子中白球大约有15个，
故答案为：15．
19．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设营业额每天的平均增长率为，依题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设营业额每天的平均增长率为，依题意，得：
，
故答案为：．
20． 2,0
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，一元二次方程的解法，先利用因式分解法解方程得到，，求解，再利用菱形的性质得，，则，从而得到C、D的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，．
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，；
故答案为：，
21．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
22．(1)见解析
(2)
【分析】根据正方形得性质得，，由旋转的性质得，可证明点、、共线，即可利用证明，即可判定相等；
设，即可求得，，和，在中利用勾股定理即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转的性质，可知：，
∴，，，
∴，
∴点、、共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，有，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题时充分利用了菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质．
（1）通过证明四边形是矩形来推知；
（2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴
由（1）知，，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积．
24．(1)，
(2)该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值；
（2）先求出组人数所占的比例，再乘以即可得解；
（3）先求出组的男生人数，再画出树状图，即可求出概率．
【详解】（1）解：本次抽测了名九年级学生，
；
（2）解：组人数所占的比例为：，
（人），
故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人；
（3）解：组人数为（人），
∵在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，
∴抽取的优秀学生人数为（人），
∵其中恰好有2名女生，
∴组的男生人数为：（人），
画出树状图如下：
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为．
25．(1)6120
(2)①，；②每斤水果涨价后的盈利为元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据总利润每斤的利润销售数量，即可求出结论；
（2）①方法一：设每斤水果应涨价元，则每天可销售斤，根据总利润每斤的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程；
方法二：设每斤水果涨价后的盈利为元，则每天可销售斤，根据总利润每斤的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程；
②解①中的一元二次方程，取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：（元），
∴每天能盈利6120元；
（2）解：①方法一：设每斤水果应涨价元，则每天可销售斤，
依题意，得：；
方法二：设每斤水果涨价后的盈利为元，则每天可销售斤，
依题意，得：；
②方法一：，
整理，得：，
解得：，．
要使顾客觉得价不太贵，
，
．
答：每斤水果涨价后的盈利为元．
方法二：，
整理，得：，
解得：，．
要使顾客觉得价不太贵，
．
答：每斤水果涨价后的盈利为元．
26．(1)，且，见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可；
（）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】（1）解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）解：连接并延长交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于点，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
A
B
C
B
A
B
C
-3
0
2
-3
(0,-3)
(2,-3)
0
(-3,0)
(2,0)
2
(-3,2)
(0,2)
德
智
体
美
劳
德
（德，智）
（德，体）
（德，美）
（德，劳）
智
（智，德）
（智，体）
（智，美）
（智，劳）
体
（体，德）
（体，智）
（体，美）
（体，劳）
美
（美，德）
（美，智）
（美，体）
（美，劳）
劳
（劳，德）
（劳，智）
（劳，体）
（劳，美）