四川省眉山育英实验学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

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1．C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2．B
【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为，，且，所以，解得，
故选：B.
3．B
【分析】利用互斥事件与对立事件的关系即可求解.
【详解】对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，
则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；
对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；
对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；
对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．
故选：B.
【点睛】本题考查了事件之间的关系，掌握互斥事件与对立事件的关系是解题的关键，属于基础题.
4．B
【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案.
【详解】因为不重合，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确；
对②，平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确；
对③，若，故③错误；
对④，或，故④错误．
故选：B．
5．D
【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．
【详解】.
故选：D．
6．C
【分析】由题知X的取值范围为，再计算即得.
【详解】由题意知，X的取值范围为，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，，
即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以．
故选：C．
7．A
【分析】根据投影向量公式计算可得答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为
.
故选：A.
8．C
【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．
【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
9．CD
【分析】根据概率的性质、不放回抽样的性质，结合抽签法的性质、并事件的概率性质逐一判断即可.
【详解】A选项，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，A对，
B选项，根据系统抽样的定义得，分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，B对，
C选项，甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，C错，
D选项，对于任意两个事件和，，
只有当事件和是互斥事件时，才有，D错，
故选：CD.
10．CD
【分析】根据点的坐标，分别表示出，根据共线向量与方向向量的定义即可判断AB，C选项，代入两向量夹角的余弦公式即可求得，D选项，设法向量，列方程组即可计算.
【详解】A选项，，，所以与不是是共线向量,故A选项错误；
B选项，由所以是直线的一个方向向量，但不是单位方向向量，故B选项错误；
C选项，因为，所以，
故C选项正确；
D选项，设平面的法向量为，则，即，
令，则，故D选项正确.
故选：CD
11．ACD
【分析】证明平面即可判断A；根据，与不垂直判断B；由为二面角的平面角计算判断C；利用长方体的体积减去4个三棱锥的体积即可得答案.
【详解】解：因为在长方体中，，
所以，四边形为正方形，平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
由长方体的性质易知，因为，所以与不垂直，故与不垂直，所以B不正确；
设与交于，连接，由长方体性质知，故为等腰三角形，
所以，由于，
所以为二面角的平面角，
在中，，所以，
所以，故C正确：
四面体的体积为，所以D正确，
故选：ACD．
12．18
【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解.
【详解】，
，
所以存在实数，使得，
则，解得，，.
.
故答案为：18.
13．
【分析】记事件第一次取出红球，记事件第二次取出黄球，则事件、相互独立，求出、的值，利用独立事件的概率乘法公式可求得的值.
【详解】记事件第一次取出红球，记事件第二次取出黄球，则事件、相互独立，
且，，
故所求概率为.
故答案为：.
14．/
【分析】结合图形，将向量分解转化，利用题设条件和向量数量积的定义即可求得.
【详解】
如图，因，，，
则
故答案为：.
15．(1)9；
(2).
【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可；
（2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以；
（2）解：，
，
，
设向量与夹角为，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合随机事件概率求解；
（2）根据题意利用列举法结合古典概率计算公式求解.
【详解】（1）由题意可知，该班60名同学中共有6名同学参加心理社团，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社团的概率．
（2）设A，B，C，D表示参加心理社团的男同学，a，b表示参加心理社团的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
，
其中至少有1名女同学的结果有9种：，
根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．
17．(1)25（人），，；
(2)平均数为71.4，中位数约为；
(3).
【分析】（1）根据茎叶图，结合频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的定义进行求解即可；
（3）利用对立事件概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】（1）分数在的频率为，
由茎叶图知，分数在之间的频数为，∴全班人数为（人），
分数在之间的频数为，则，
由解得；
（2）平均数为，
∵，∴中位数在内，
设中位数为，则，解得，
∴中位数约为；
（3）得分在内的人数为人，记为、、，
得分在内的人数为人，记为、，
从这人中随机抽取两人的所有基本事件为：
、、、、、、、、、，共个，
其中所抽取的两人都在的基本事件为：、、共个，
则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3).
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可.
【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则.
又，可得，因为平面，所以平面.
（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.
易知，则点A到平面的距离为.
（3）易知，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设平面与平面的夹角为，
则
故平面与平面的夹角的余弦值为.
19．（1）证明见解析；（2）存在，点为的中点.
【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得平面，得出，从而说明平面，即可得证；
（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可说明.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
∵为正三角形，∴，
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，
又平面，∴，
又∵，，且，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
在直角中，，，∴
∴，
设，则，
则，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，可得得，
而平面的法向量，
由题意知：，解得（舍）或，
∴当点为的中点时，二面角的余弦值为．
【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
D
C
A
C
CD
CD
题号
11
答案
ACD