河南省开封市第十四中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）

这是一份河南省开封市第十四中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：100分钟满分：120分出题人：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（）
A. B. （其中为常数）
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
解∶ A．不是整式方程，故该选项错误；
B．（其中为常数），当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误；
C．化简后得，故该选项错误；
D．是一元二次方程，故该选项正确；
故选∶D．
2. 已知抛物线经过点，，，，那么的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. t
【答案】C
【解析】
【分析】抛物线经过点，，得到抛物线的对称轴为直线，得到对称点坐标为，即当时，，即可得到的值．
解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴对称点坐标为，
∴当时，，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数图象是轴对称图形是解题的关键．
3. 已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是（）
A. B. C. D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性得到结论．
解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减少，
∵点，是抛物线上两点，且，
∴与的大小关系是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
4. 一元二次方程配方后得到的方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先移项变形成x2+8x=9的形式，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．
解：∵x2+8x-9=0，
∴x2+8x=9，
∴x2+8x+16=9+16，
∴（x+4）2=25．
故选A．
5. 抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ）
A. （m，n）B. （-m，n）C. （m，-n）D. （-m，-n）
【答案】B
【解析】
试题分析：因为抛物线y=2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（-m，n）．
故选B．
考点：二次函数的性质．
6. 关于的一元二次方程无实数根，则可能是（）
A. 0B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之选择即可．
解：关于的一元二次方程无实数根，
且，
解得：且，
∴；
选项中只有3符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
7. 如图，在一幅长为60 cm，宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3 500 cm2，设纸边的宽为x cm，则根据题意可列方程为( )
A. (60＋x)(40＋x)＝3 500B. (60＋2x)(40＋2x)＝3 500
C(60－x)(40－x)＝3 500D. (60－2x)(40－2x)＝3 500
【答案】B
【解析】
【分析】如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程．
设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），
根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）=3500，
故选B．
【点睛】考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．
8. 将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A. y=（x+3）2﹣2B. y=（x+3）2+2
C. y=（x﹣1）2+2D. y=（x﹣1）2﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
解：∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2，
∴二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移．
9. 对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下
B. 与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C. x＜0时，y随x的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线x＝﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】先把解析式化为顶点式的二次函数解析式,再利用二次函数的性质求解即可.
A. ∵a=4>0,图象开口向上,故本选项错误,
B. 与x轴交点坐标是（-1,0）和（3,0）,故本选项错误,
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小,故本选项正确,
D.图象的对称轴是直线x=1,故本选项错误,
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是理解并灵活运用二次函数的性质.
10. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：；；；直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（）
A. 个B. 个C. 个D.个
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴，经过，可求出抛物线与轴另一交点，从而可得时，y的正负；求出抛物线与轴另一交点，从而可得时，y的正负，根据对称轴，可得，从而判定②；可证得a和c的关系，结合，即可证明③；两个函数的交点可转化成方程的两个根分别为，，即可证明④．
解：抛物线对称轴，经过，
和关于对称轴对称，抛物线与轴另一交点交于，
时，，故错误；
抛物线与轴交于，
时，，
抛物线对称轴，即
，
，即，故错误；
∵抛物线经过，，
∵，，
∴，
，故正确，
直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，
方程的两个根分别为，，
，
，故正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数之和为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把多项式化成一般式∶，然后求出二次项系数、一次项系数，即可求解．
解∶，
∴，
∴，
∴二次项系数为1、一次项系数，
∴二次项系数、一次项系数之和为，
故答案为∶．
12. 方程2x2－6x－1＝0的负数根为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．
△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，
x==，
所以x1=＞0，x2=＜0．
即方程的负数根为x=．
故答案为x=．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
13. 如图,小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线.铅球落在A点处，那么小明掷铅球的成绩是_____米.
【答案】7
【解析】
【分析】当y=0时代入解析式y=-15（x+1）（x-7）．求出x的值即可．
由题意，得
当y=0时，0=-15（x+1）（x-7），
解得：x1=-1（舍去），x2=7．
故答案7．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数与实际问题的运用，解答时运用二次函数的解析式解实际问题是关键．
14. 某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%，列出关于的一元二次方程即可得到答案．
解：设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
15. 已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可．
解：由图象可知，
当时，函数值的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题（共75分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶
（1）根据公式法求解即可；
（2）移项后，根据因式分解法求解即可．
【小问1】
解：，
∴，
∴，
∴，；
【小问2】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
17. 根据下列条件，分别确定二次函数的解析式：
（1）抛物线过点；
（2）抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是，与y轴交点的纵坐标是．
【答案】（1）y＝x2+2x+；（2）y＝x2－x－5．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式设为交点式y＝a(x＋)(x－)，然后把(0，－5)代入求解即可．
（1）分别把(－3，2)，(－1，－1)，(1，3)代入y＝ax2＋bx＋c得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）设二次函数的解析式为y＝a(x＋)(x－)，
把(0，－5)代入得，
解得a＝，
∴二次函数的解析式为y＝＝x2－x－5．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
解：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．
19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出随的增大而减小时自变量的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
【答案】（1）
（2）或
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数图象在x轴上方的部分对应的x范围，即可作答；
（3）根据二次函数增减性，即可作答；
（4）根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答．
【小问1】
解∶∵二次函数图象的顶点为，
∴设函数解析式为，
把1,0代入，得，
解得，
∴；
【小问2】
解：∵或时，二次函数的值大于0，
∴不等式的解集为或；
【小问3】
解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，
即y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为；
【小问4】
解：由函数图象可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴直线与二次函数有两个交点，
∴k的取值范围为，
故答案为：．
20. 在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用28m长的篱笆围成一个矩形花园．设m．
（1）若围成花园的面积为192，求x的值；
（2）已知在点O处一棵树，且与墙体的距离为6m，与墙体的距离为15m．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？
【答案】（1）x的值是12或16
（2）能围成的花园的最大面积是195
【解析】
【分析】对于（1），根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可；
对于（2），根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积．
【小问1】
由题意可得，
，
解得，，
即x的值是12或16；
【小问2】
设矩形花园的面积为S，
，
∵，
∴当时，S随x的增大而增大，当时，S随x的增大而减小，
又∵，
得，
∴当时，S取得最大值，此时，
即能围成的花园的最大面积是195．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数图象的性质，解不等式组等，解题的关键是应用二次函数的性质讨论极值．
21. 如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，的面积等于
（2）的面积能否等于？说明理由．
【答案】（1）1（2）不能，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用：
（1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．
（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
【小问1】
解：设秒后，的面积等于，
由题意，得：，
∴，
∴的面积，
解得：或，
当时，，不合题意，舍去，
∴；
【小问2】
解：不能，理由如下：
设秒后，的面积等于，
同（1）得：的面积，
整理，得：，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能等于．
22. 某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元．经过市场调查，该商品每天的销售量（千克）与售价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求与之间的函数表达式．
（2）设该商品每天的总利润为（元），则当售价定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价的取值范围是多少？请说明理由．
【答案】（1）；（2）售价定为80元/千克时，超市每天能获得自大利润，最大利润是1800元；（3）的取值范围是
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
（3）求得W=1600时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1600时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于85元”得出答案．
解：（1）设，将代入，
得
解得
．
（2）
，
当时，取得最大值1800，
故售价定为80元/千克时，超市每天能获得自大利润，最大利润是1800元．
（3）的取值范围是．
理由：当时，得，
解得或．
抛物线的开口向下，
当时，．
又，
该商品的售价的取值范围是．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
23如图，已知抛物线经过点和点，与y轴相交于点C．
（1）求此抛物线的解析式
（2）若点P是直线下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D．设点P的横坐标为m
①用含有m的代数式表示线段的长；
②连接，求的面积最大时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据已知抛物线经过点和点代入求解即可；
（2）①求出C坐标及直线解析式，根据点之间的特性求出线段的长；②根据图可得的面积是由和组合成的，以为底，两个三角形的和刚好为，由此可得到关于的二次函数，即可求解．
【小问1】
解：∵抛物线经过点和点，与y轴相交于点C，
∴，
∴，即，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2】
解：①由可知，对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将点，代入直线直线解析式，
则，
解得，
∴直线解析式为：，
设点，
∵过点作轴的平行线交于点，
∴，
∴；
②连接，如图所示：
由图可得
，
∴当时，的面积最大，
此时，
∴，
∴的面积最大时点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题．售价（元/千克）
50
60
70
销售量（千克）
120
100
80