人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理精品练习题

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新知要点探究
知识点1 空间向量基本定理
1.空间向量基本定理内容：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3.理解
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．
(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
4.判断基底的思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)选模型：判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
5.用基底表示空间向量的步骤：
(1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底；
(2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律；
(3)列式：列出式子，用基底表示目标向量。
知识点2 空间向量基本定理的应用
1.证明平行、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)证明平行、共面问题的思路
①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
2.计算夹角、垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).(区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围．）
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
(3)求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
知识点3 空间向量的正交分解
1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
思路方法总结
1.判断基底的基本思路及方法
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底；
（2）方法： = 1 \* GB3 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； = 2 \* GB3 ②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
2.用基底表示向量的步骤
（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
（3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量．
典例·举一反三
题型一 空间向量基底的概念与理解
1．下列可使构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．两两垂直B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量共面、不共面以及基底等知识来确定正确答案.
【详解】由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得A正确；
若，则与共线，此时与必然共面，所以无法构成空间基底，B错误；
与都表示共面，C，D错误．
故选：A
2．若和都为基底，则不可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】假设不能构成一组基底，可知，依次验证各个选项，确定是否有取值即可.
【详解】若不是一组基底，则可设，
对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；
对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；
对于C，若，则，解得：，
不是一组基底，C正确；
对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.
故选：C.
3．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】ABD
【分析】根据空间向量基底的概念可得解.
【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设，即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设，即，解得： ，
即，所以，，共面，C选项错误；
设，显然三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD.
4．（多选）设，，，且是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，作出平行六面体，结合图形及基底的意义判断即可.
【详解】在平行六面体中，令，，，如图，
则，，，，
显然四点不共面，则向量也不共面，
同理和也不共面，
选项B，C，D都可以作为空间的一组基，
而点共面，则共面，选项A不能作为空间的一组基.
故选：BCD
题型二 用基底表示空间向量
5．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
【详解】
.
故选：B.
6．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，分别是，的中点，
所以，，
所以
.
故选：C
7．在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意可得
.
故选：C
8．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 .
【答案】1
【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出．
【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有，
是的重心，则G在CD上，且，
即，则有，
所以，
可得，则有.
故答案为：1
题型三空间向量的正交分解
9．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．
【答案】
【分析】设，然后整理解方程组即可.
【详解】设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
10．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
11．已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解.
【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底，
所以=，，
设与的夹角为，，
所以，故D项错误.
故选：D.
12．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 .
【答案】
【分析】化简得到，得到答案.
【详解】，
故在基底下的坐标为，
故答案为：.
题型四用空间向量基本定理求参数
13．如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】先根据空间向量的线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解.
【详解】由题意，
，
又因为，
所以，
所以.
故选：A.
14．平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意
，
又，所以，.
故选：C
15．已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 .
【答案】4
【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案.
【详解】，
又，所以，
故.
故答案为：4
16．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点．
(1)若，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，，
(2)3
【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）
，
又，
∴，，；
（2）由余弦定理得，
易知；
故
，
∴．
题型五 空间向量平行垂直问题
17．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．
(1)若为的中点，用向量法证明：；
(2)若，问是否存在点使得，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得.
（2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点.
【详解】（1）当为的中点时，
，
，
所以．
（2）设，则
，
由于，，
所以
，
即，故不存在点使得．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；
（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.
【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
19．在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中．
(1)若，且平面，求的值；
(2)若，且点平面，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解.
（3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解.
【详解】（1）且，
在正四棱锥中，
可得，
即，
又平面所以存在实数使得，
即，
又且不共面，
解的.
（2）由（2）可知
又且，
可得
又点平面，即四点共面
所以解得.
20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
【详解】（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
题型六 利用空间向量基本定理解决共线共面问题
21．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
22．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明；
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
23．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)若、、三点共线，求实数的取值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）首先表示出，即可得到，由、、三点共线，则，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】（1）依题意，
.
（2）因为，
点在对角线上，且，
所以，
则，
因为、、三点共线，所以，
即，
又、、不共面，所以、、可以作为空间中的一组基底，
所以，解得.
24．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论.
【详解】（1）∵
∴
（2）连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
【点睛】