湖北省随州市曾都区2024-2025学年九年级上学期10月多校联考数学试题

这是一份湖北省随州市曾都区2024-2025学年九年级上学期10月多校联考数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
（试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本部分共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
4．将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．通过观察下列表格，可知一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的对称轴为直线，记，，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．若二次函数在时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①②
③对任意实数m，均成立④若点，在抛物线上，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本部分共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若a是关于x的方程的一个根，则的值是______．
12．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为______．
13．定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为______．
14．若实数满足，则的结果为______．
15．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图象上，则a的值为______．
三、解答下列各题（本部分共9个大题，共75分）
16．（6分）用适当的方法解方程：
（1）；（2）．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围．
18．（6分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．
（1）方程的解是______；
（2）若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点；
（3）不等式的解集是______．
19．（8分）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接AD，点F为AD的中点，求出和线段EF的长．
20．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．
21．（9分）如图，用长为22m的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为14m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为______m；
（2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；
（3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？
22．（10分）材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：．
材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；
（1）由材料一：直接写出直线经过的定点坐标；
（2）由材料二：若二次函数经过，，，试求该二次函数的解析式；（结果写成一般式）
（3）若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标．
23．（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为______；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（）的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润-日支出费用）
24．（12分）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设的面积为S，求S的最大值；
（3）当时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．
参考答案
1．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．据此判断即可．
【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．该方程未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：A．
2．D 【分析】本题考查了二次函数图象的顶点坐标，解题关键是能将一般式化为顶点式，将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为；故选D．
3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则．根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，∴且．故选：B．
4．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的图象向下平移3个单位长度，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得平移后抛物线的解析式是，故选：A．
5．B 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个x的值，使的值为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，
∴当时，存在一个x的值，使，
∴一元二次方程的一个解x所在的范围是；故选B．
6．C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵
∴图象的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，∴关于对称轴的对称点为，
∵，∴．故选：C．
7．C 【分析】本题考查了抛物线的对称轴公式以及实数大小的比较，解题关键是利用作差法比较实数大小．由抛物线对称轴公式，计算得出，再利用作差法比较m和n的大小即可．
【详解】解：∵该抛物线的对称轴，
∴，∴，，
∴，
∵，∴，∴．故选：C．
8．C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而减小，由于时，y的值随x值的增大而减小，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，∴抛物线开口向上，
当时，y的值随x值的增大而减小，而时，y的值随x值的增大而减小，，故选：C．
9．C 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到p，q，再根据一次函数的性质判断即可得到答案；
【详解】解：方程配方得，，
∴，，∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限，故选：C．
10．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与x轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，①，②，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴，
∴，，，∴，∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，①，②，
由①+②得：，
∵，∴，∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共2个，故选：B．
11．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据题意把代入，得，再把代入化简计算即可．
【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根，
∴把代入，得：，∴，
∴，
故答案为：2024．
12．/
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
13．2 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解．
【详解】解：∵是“奇妙方程”，∴，
∵方程有两个相等的实数根，∴，
∴，解得：，∴．
故答案为：2
14．1 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
【详解】解：设，则原式等于，
整理得，解得（舍弃），，即．
故答案为：1．
15． 【分析】连接OB，过B作轴于D，若OA与x轴负半轴的夹角为15°，那么；
在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．
【详解】解：如图，连接OB，过B作轴于D；
∵四边形是正方形，∴．
∵OA与x轴负半轴的夹角为15°，∴
∵正方形的边长为6，∴；
中，，，则，；
故，
代入抛物线的解析式中，得：，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键．
16．（1），
（2），
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴，∴，；
（2）解：
∴，．
17．（1）见解析；（2）．
【分析】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）直接利用根的判别式进行证明即可；
（2）利用根与系数的关系可得，根据方程的根，列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
．
该方程总有实数根．
（2）解：∵关于x的一元二次方程，∴，
∵，，∴，解得，
∴a的取值范围为．
方法二：因式分解法可得方程的两根分别为1，，可解
18．（1）， （2）2，两 （3）
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与x轴的另一个交点为，故方程的解是，，
（2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答．
（3）运用图象性质以及二次函数与x轴的交点，开口方向，即可作答．
【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与x轴的另一个交点为，
∵对称轴为直线，二次函数与x轴的一个交点为，
∴，∴，
∴二次函数与x轴的一个交点为，
∴方程的解是，；
故答案为：，；
（2）解：如图所示：
直线与有两个交点，
∴方程的解有2个；
∴抛物线与直线有两个公共点；
故答案为：2，两；
（3）解：由（1）得二次函数与x轴的交点坐标为和
∵二次函数的开口方向向下，
∴结合图象，得不等式的解集是．
19．（1） （2）4；
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法和定理是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据解析式，确定顶点坐标，利用勾股定理计算AD，结合点F为AD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算线段EF的长．
【详解】（1）解：由抛物线经过，两点，
∴，∴，
∴抛物线的解析式．
（2）解：抛物线的解析式，∴．
对称轴所在的直线交x轴于点E，∴轴，且，
∴，，∴；
∵，点F为AD的中点，∴．
20．（1）售价应定为每个40元．
（2）这两周的平均增长率为10%．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个x元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为8000元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，再结合增长率的含义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为每个x元，则，
整理得：，解得：，；
∵更大优惠让利消费者，∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个40元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个40元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为y，则，解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为10%．
21．（1）
（2）此时花圃的长为9米，宽为5米
（3）这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：
（1）用篱笆的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；
（3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：设花圃的宽AB为x米，则（米），
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，∴，解得：，，
当时，，不符合题意，故舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：当时，则，
∴，∴此时原方程无解，
∴这个花圃的面积不能达到
，
∵，∴，
∴这个花圃面积最大可以做到．
22．（1） （2） （3）
【分析】（1）根据材料一求解即可；
（2）根据材料二求解即可；
（3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）由材料一得，直线
∴直线经过的定点坐标为；
（2）由材料二得，
∵二次函数与直线交于点和
∴该二次函数的解析式为
∴；
（3）联立一次函数和得
∴，整理得，
∵一次函数与（2）中的抛物线交于点，
∴设另一交点的横坐标为x，∴，∴
∴另一交点的横坐标为．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
23．（1）
（2）这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大
（3）2
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键．
（1）先判断n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解；
（3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少150kg，
∴n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为，
将，代入，得：，解得：，
∴；
（2）解：设日销售利润为w元，由题意得：
，
∵，抛物线开口向下，∴当时，w有最大值3000．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为W元，由题意得：
，
对称轴为，
当时，，则当时，W有最大值，将代入，得：
，
当时，，解得，（舍去）；
当，，则当时，W有最大值，将代入，得：
当时，，解得：（舍去）；
综上所述，a的值为2．
24．（1） （2）
（3）直线AP的函数表达式为，点P的坐标为
【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入解析式中，解二元一次方程组即可求解；
（2）连接BC，设，由，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作AP关于直线AC的对称线段AH，连接PH，设PH中点为G，则易得：，；从而，即轴；设，，则可得点G的坐标；再求出直线AC的解析式，把点G的坐标代入直线AC解析式中，求得h；根据，得到关于t的方程，求得t，从而可求得点P的坐标，用待定系数法求得直线AP的函数表达式．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴
（2）解：对于，令，则，∴；
∵，∴；
连接BC，设，
∵点P在第四象限，∴，，
∴
，
当时，S有最大值；
（3）解：如图，作AP关于直线AC的对称线段AH，连接PH，设PH中点为G，
则，；
∵，∴，∴，
∵轴，∴轴；
设，，则点G的坐标为；
设直线AC的解析式为，其中，
把点A、C的坐标代入解析式中，得：，解得：；
即直线AC的解析式为；
把点G的坐标代入直线AC解析式中，得，
∴；∴；
∵
∵，∴，解得：或（舍去），
则，即点P的坐标为；
设直线AP的函数表达式为，，
把A、P坐标分别代入得：，解得：，
即直线AP的函数表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，对称的性质，割补法求图形面积，勾股定理等知识，掌握相关知识，善于转化是解题的关键．
方法二：
设，因为PM平行于y轴，故角MPA=角ODA，
从而可知，
在RT三角形AOD中利用勾股定理可求得m的值，从而可解x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
-0.89
-0.76
-0.61
-0.44
-0.25
-0.04
0.19
0.44
0.71
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量n（千克）
600
450
300
150
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
B
C
C
C
C
B