安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期返校开学测试数学试题

这是一份安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期返校开学测试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A.B.2或C.2D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ）
A.B.1C.D.2
3.在中，，，若该三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
4.下列命题中正确的个数是（ ）
（1）若平面平面，则平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线
（2）若平面平面，则平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线
（3）若平面平面且，过内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于
（4）如果平面平面，平面平面，，那么平面
A.3B.2C.1D.0
5.如图，，分别为平行四边形边的两个三等分点，分别连接，，并延长交于点连接，，则（ ）
A.B.
C.D.
6.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
①频率分布直方图中的值为0.005
②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78
④估计总体中成绩落在内的学生人数为150
A.①②③B.①②④C.①③④D.②④
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A.B.1C.2D.4
8.已知矩形，，，将沿折起到.若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B.若，则复平面内对应的点位于第二象限
C.若，则的最大值为
D.若是关于的方程（，）的一个根，则
10.下列结论正确的是（ ）
A.若，，，为锐角，则实数的取值范围是
B.已知，是单位向量，，若向量满足，则的最大值为
C.点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则
D.点在所在的平面内，满足且则点是的内心
11.如图，在正四面体中，，，，分别为侧棱，，上的点，且，为的中点，为四边形内（含边界）一动点，，则（ ）
A.B.五面体的体积为
C.点的轨迹长度为D.与平面所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，则为正整数的概率为______.
13.已知圆台的上、下底面面积分别为，，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为______.
14.在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量，，且.
（1）求向量与的夹角.
（2）若向量与互相垂直，求的值.
16.（15分）
某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.
（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲4:0领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.
17.（15分）
如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）若，，求的值.
18.（17分）
已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求二面角的平面角的余弦值.（备注：用空间向量解答不给分）
19.（17分）
一般地，元有序实数对（，，…，）称为维向量.对于两个维向量，，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（ⅰ）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1、2、3、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ⅱ）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1，2，3，4的推荐率分别为，，，（），试求小明的各项能力分值.
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数学试卷参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.）
12. 13. 14.
四、解答题
15.（1）由，得，
设向量与的夹角为，
由，，又，所以，
所以，解得，
所以向量与的夹角为.
（2）由向量与互相垂直，得，
所以，即，
解得或.
16.（1）设事件：单局比赛中甲4:0领先，则，
所以单局比赛中甲4:0领先的概率为.
（2）设事件：乙以3:1赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件，
则，
所以乙以3:1赢得比赛的概率是.
17.解：（1）由题意得，
在中，由余弦定理得，
得，由正弦定理知，
得，
故.
（2）在中，由余弦定理知，
得①，
在中，由正弦定理知，
得，所以，
代入①式得，得，
则，即.
18.（1）证明：∵，，∴为等边三角形，
∵为的中点，∴.
取的中点，连接，
∵，∴；
∵平面平面，平面平面，
平面，
∴平面，又平面，∴.
∵，，，平面，∴平面，
又平面，∴
∵，，，平面，∴平面.
（2）取的中点，连接，
∵为线段的中点，∴，
由（1）知：平面，∴平面，
∵平面，∴；
过点作，垂足为，连接，
∵，，平面，∴平面，
又平面，∴，
∴为二面角的平面角，
由（1）知：平面，又平面，∴，
又，∴，∴，
在中，，
由（1）知：为等边三角形，为线段的中点，
∴，
由（1）知：平面，平面，∴，
在中，；
在中，，
即，解得：.
∵平面，平面，∴.
在中，，
∴，
∴二面角的平面角的余弦值为.
19.（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12，13，15，17，
又，所以这组数据的第三四分位数为.
（2）（ⅰ）由图表知，会计岗位的样本点为，则
，
业务员岗位的样本点为，则，
后勤岗位的样本点为，则，
管理员岗位的样本点为，则，
所以，故小刚最适合业务员岗位.
（ⅱ）四种职业1、2、3、4的推荐率分别为，，，，
且，
所以，得到，
又（）均小于20，所以，
且（），
故可得到，，，，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，，，，且
，，，，
依题有①，
2，
③，
④，
由①－③得，
，整理得：，
故有三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有，不成立；
对于第二组解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2，4，3，5.岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员（4）
4
5
4
4
17
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
C
B
C
D
题号
9
10
11
答案
BCD
BCD
ABD