四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期10月诊断性评价数学试题

这是一份四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期10月诊断性评价数学试题，共11页。试卷主要包含了请将答案正确填写作答题卡上，设，则“”是“”的，已知函数，则函数的零点个数为，若，则的大小关系为，下列说法正确的是，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前在答题卡上填写好自已的姓名､班级考号等信息；
2.请将答案正确填写作答题卡上.
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线在点处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.1
3.设，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.命题“”的否定是“”
B.的最小值是2
C.若，则
D.的最小正周期是
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的值域是
B.图象的对称中心为
C.
D.的值域是
11.已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.直线是函数图象的一条对称轴
C.函数在上有个零点
D.函数在上为减函数
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.__________.
13.已知函数的定义域是，当时，，则__________.
14.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）如图，在三棱柱中，平面是棱的中点，在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积等于，求二面角的余弦值.
16.（15分）2022年暑假，某社区8名大学生（其中男生5人，女生3人），任选3人参加志愿服务.
（1）设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求；
（2）设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
17.（15分）椭圆过点且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的左､右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积.
18.（17分）设函数.
（1）若在处的切线方程为，求实数的取值；
（2）试讨论的单调性；
（3）对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围.
19.（17分）利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
（1）判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
（3）设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.
成都市玉林中学高2022级10月诊断性评价试题解析
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息：
2.请将答案正确填写在答题卡上一二､选择题
三､填空题
12.6 13.2 14.
四､解答题
15.【分析】（1）先利用线面垂直的判定个性质定理证得，再利用平行线分线段成比例的推论证得，从而利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用四棱锥的体积求出，建系并写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
如图，连接交于，连接交于，连接，
平面平面，
又因平面，
故平面，又平面，则，
又平面，
则平面又平面，
在巾，由知，
即.
又因，可得，
即在中，.
平面平面
平面；
（2）设.
四棱锥的体积为，解得，
由（1）知，所以.
又，
则，所以为棱的中点.
以分別为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，设平面的法向量为，
由，得，令，得，
因平面，故可取平面的法向量，
，
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
16.【分析】（1）分別求，利用条件概率的计算公式，求.
（2）写出的可能取值，求出对应的概率，可得的分布列，再求数学期望.
【详解】（1）依题意，
.
所以.
（2）依题意，的所有可能取值为，
所以，
，
所以的分布列为
所以
17.【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再由弦长公式计算可得结果.
【详解】（1）将代入椭圆方程可得，即，
又因为，所以.代入上式可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可得，
设直线的方程为，如下图所示：
联立，得，
所以，
则；
所以
，
解得，即，
所以，
则的面积.
18.【分析】（3）分，三类讨论，分离出参数，右边设，分别求出其在：和时的最值，最后得到的范围.
【详解】（1），
令，
又切线方程为.
（2），
因为.所以单调递减区间是，单调递增区间是；
（3）若任意的，恒有成立，
即，在上恒成立，即，其中
当时，成立，
当时，，则恒成立，令，
令，即，解得，故在上单调递减，其图像如图所示
故，所以此时，又因为，故，
当时，，则恒成立，令，即，解得，
而时，，故时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，故在时取得最小值，，又因为，故，
综上，对任意的，恒有成立，此时.
19.【答案】（1）函数在上是，函数在上不是
（2）1
（3）
【分析】（1）根据定义，令，作差，与0比较大小即可.
（2）根据定义，转化为恒成立即可.
（3）先求出的范围，再根据二次函数的性质可求的取值范围.
【详解】（1）由题知，函数，定义域为，
所以，
所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”.
函数，所以，
当时，则，
函数在上不是“1-利普希兹条件函数”.
（2）若函数是“利普希兹条件函数”
则对于定义域上任意两个，均有成立，
则恒成立
因为，，所以，得，
所以的最小值为1.
（3）解：因为函数是“2024-利普希兹条件函数”，
所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得
原方程在上有两个不相等实根等价于
①，在上有两个不相等实根
令，，
则①式等价于关于的方程在上有两个不相等实根，
即，令，
所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图.
则，所以
又，所以使得以上不等式成立，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
A
D
B
C
D
C
C
A
ACD
BCD
ABD
0
1
2
3