杭州市重点中学2025届数学九上开学预测试题【含答案】

这是一份杭州市重点中学2025届数学九上开学预测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下表是某校合唱团成员的年龄分布.
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．众数、中位数B．平均数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差
2、（4分）下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）已知不等式ax+b＞0的解集是x＜-2，则函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．3
5、（4分）已知一次函数y＝kx﹣1，若y随x的增大而减小，则它的图象经过( )
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
6、（4分）方程x（x﹣1）=x的解是（ ）
A．x=0B．x=2C．x1=0，x2=1D．x1=0，x2=2
7、（4分）下列各图象中，不是y关于x的函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至每盒48.6元，则平均每次降价的百分比是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，中，，平分，点为的中点，连接，若的周长为24，则的长为______.
10、（4分）如图，已知一块直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点，的坐标分别为，，现将该三角板向右平移使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为__________．
11、（4分）将直线y=﹣2x+4向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为_____．
12、（4分）甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表：
某同学根据上表分析得出如下结论：（l）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀（每分钟输入汉字超过150个为优秀）的人数多于甲班优秀的人数；（3）甲班的成绩波动比乙班的成绩波动小、上述结论中正确的是______.（填序号）
13、（4分）若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c=______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某校为了解全校学生上学期参加“生涯规划”社区活动的情况，学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：
参加社区活动次数的频数、频率
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中a= ， b= ， m= ， n= .
（2）请把频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的数据）；
15、（8分）已知关于的一元二次方程: ;
(1)求证:无论为何值，方程总有实数根;
(2)若方程的一个根是2，求另一个根及的值.
16、（8分）在中，，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点.
若点在上（如图①），此时，可得结论：.
请应用上述信息解决下列问题：
当点分别在内（如图②），外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，，，，与之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
17、（10分）求证：菱形的两条对角线互相垂直．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
18、（10分）（1）化简 ：；
（2）先化简，再求值：；其中 a  2 ，b 
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，函数与的图象交于点，那么不等式的解集是______．
20、（4分）若式子有意义，则x的取值范围是________．
21、（4分）已知：如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是：__________.(只需填一个你认为正确的条件即可)
22、（4分）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____．
23、（4分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，CD⊥AB于D，求CD的长及三角形的面积．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，，是中线，点是的中点，连接，且，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，直接写出四边形的面积．
25、（10分）如图，某项研究表明，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．如表是测得的指距与身高的一组数据：
（1）你能确定身高h与指距d之间的函数关系式吗？
（2）若某人的身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？
26、（12分）解方程：请选择恰当的方法解方程
（1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（2）3x2+5（2x+1）＝1．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【详解】
由题中表格可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，则总人数为，故该组数据的众数为14岁，中位数为（岁），所以对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选A.
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
2、C
【解析】
试题解析：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
点睛：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、A
【解析】
根据一次函数与一元一次不等式的关系，得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴上方，然后对各选项分别进行判断．
【详解】
解：∵不等式ax+b＞0的解集是x＜-2，
∴当x＜-2时，函数y=ax+b的函数值为正数，即直线y=ax+b的图象在x轴上方．
故选：A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4、B
【解析】
【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B.
【点睛】此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理.解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程.
5、D
【解析】
先根据一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴此函数图象必过二、四象限；
∵b＝﹣1＜0，
∴此函数图象与y轴相交于负半轴，
∴此函数图象经过二、三、四象限．
故选：D．
本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
6、D
【解析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
x（x−1）＝x，
x（x−1）−x＝0，
x（x−1−1）＝0，
x＝0，x−1−1＝0，
x1＝0，x1＝1．
故选：D．
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
7、B
【解析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】
解:由函数的定义可知，
每一个给定的x，都有唯一确定的y值与其对应的才是函数，
故选项A、C、D中的函数图象都是y关于x的函数，B中的不是，
故选：B．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
8、B
【解析】
设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1-x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1-x）×（1-x）元，从而列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设平均每次降价的百分比是，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是10%；
故选：B.
本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、18
【解析】
利用等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，又因E为AC中点，根据三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质可得CE=AC=7.5，DE=AB=7.5，再由△CDE的周长为24 ，求得CD=9，即可求得BC的长.
【详解】
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵E为AC中点，
∴CE=AC==7.5，DE=AB==7.5，
∵CD+DE+CE=24，
∴CD=24-7.5-7.5=9，
∴BC=18，
故答案为18 .
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理及直角三角形斜边的性质，求得CE=AC=7.5，DE=AB=7.5是解决问题的关键.
10、
【解析】
根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.
【详解】
∵A（-1,0），
∴OA=1,
∵一个直角三角板的直角顶点与原点重合,现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′,
∴平移的距离为1个单位长度，
∵点B的坐标为
∴点B的对应点B′的坐标是，
故答案为：.
此题主要考查根据平移的性质求点坐标，熟练掌握，即可解题.
11、y=-2x-1．
【解析】
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】
直线y=-2x+4向下平移5个单位长度后：y=-2x+4-5，即y=-2x-1．
故答案为：y=-2x-1．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
12、（1），（2）.
【解析】
平均水平的判断主要分析平均数；优秀人数的判断从中位数不同可以得到；波动大小比较方差的大小．
【详解】
解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，则说明乙班的波动小，所以（3）错误．
（1）（2）正确．
故答案为：（1）(2).
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
13、5
【解析】
根据绝对值的性质和二次根式的性质，求出a,b的值，再利用勾股定理即可解答.
【详解】
∵
∴a-3=0,b-4=0
解得a=3,b=4,
∵a，b是直角三角形的两个直角边，
∴c= =5.
故答案为：5.
此题考查绝对值的性质和二次根式的性质，勾股定理，解题关键在于求出ab的值.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）12，4，0.08， 0.04；（2）补图见解析．
【解析】
分析：（1）直接利用已知表格中3＜x≤6范围的频率求出频数a即可，再求出m的值，即可得出b、n的值；
（2）利用（1）中所求补全条形统计图即可．
详解：（1）由题意可得：10÷0.2=50，a=50×0.24=12（人）．
∵m=50-10-12-16-6-2=4，
∴b==0.08，，解得：n=0.04；
故答案为：12，4，0.08， 0.04 ；
（2）如图所示：
．
点睛：本题主要考查了频数分布直方图，正确将条形统计图和表格中数据相联系是解题的关键．
15、（1）详见解析；（2），
【解析】
（1）根据根的判别式得出△＝（k﹣3）2≥0，从而证出无论k取任何值，方程总有实数根．
（2）先把x＝2代入原方程，求出k的值，再解这个方程求出方程的另一个根．
【详解】
(1)证明:(方法一).
∴无论为何值时，方程总有实数根.
(方法二)将代人方程，等式成立，即是原方程的解，
因此，无论为何值时，方程总有实数根，
(2)把代人方程解得，
解方程得
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16、当点在内时，成立，证明见解析；当点在外时，不成立，数量关系为.
【解析】
当点在内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；
当点在外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD,所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.
【详解】
解：当点在内时，上述结论成立.
证明：∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，即，
又∵，，
∴；
当点在外时，上述结论不成立，此时数量关系为.
证明：∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，即，
又∵，，
∴.
本题解题关键：运用平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，结合多次等量代换，综合推理证明，特别注意的是点P在不同位置时，图形中线段的关系变化情况.
17、见详解
【解析】
根据等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【详解】
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．
求证：AC⊥BD．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD，OA=OC
∴OD⊥AC （三线合一）
即AC⊥BD．
本题考查菱形的性质、等腰三角形的三线合一．线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18、（1）﹣7a2b﹣6ab2﹣3c；（2），1．
【解析】
（1）先去括号，然后合并同类项即可得出答案．
（2）本题的关键根据去括号与合并同类项的法则将代数式化简，然后把给定的值代入求值．
【详解】
（1）原式=5a2b﹣10ab2+5c﹣8c﹣1a2b+4ab2=﹣7a2b﹣6ab2﹣3c；
（2）原式a﹣2ab2a+2b2=﹣3ab2
当a=﹣2，b时，原式=－3×（－2）6+6=1．
（1）本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
（2）本题考查了整式的混合运算，主要考查了单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．关键是去括号，去括号要特别注意符号的处理．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
函数与的图象的交点由图象可直接得到答案，以交点为分界，交点左边，结合图象可得答案．
【详解】
解：由图象可得：函数与的图象交于点，
关于x的不等式的解集是.
故答案为：.
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从图象中得到信息，掌握数形结合思想的应用．
20、
【解析】
分析：根据被开方数为非负数列不等式求解即可.
详解：由题意得，
x-2≥0,
∴x≥2.
故答案为x≥2.
点睛：本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
21、.(答案不唯一)
【解析】
由AO=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得添加BO=OD即可．
【详解】
添加的BO=OD．
理由：∵在四边形ABCD中，BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
此题考查了平行四边形的判定．此题难度不大，注意掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
22、x≠1
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得答案.
【详解】由题意得：1-x≠0，
解得：x≠1，
故答案为x≠1.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.
23、S△ABC=6cm2，CD=cm．
【解析】
利用勾股定理求得BC=3cm，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半即可求得△ABC的面积，再利用直角三角形的面积等于斜边乘以斜边上高的一半可得AB•CD=6，由此即可求得CD的长.
【详解】
∵∠ACB=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC==3cm，
则S△ABC=×AC×BC=×4×3=6（cm2）．
根据三角形的面积公式得：AB•CD=6，
即×5×CD=6，
∴CD=cm．
本题考查了勾股定理、直角三角形面积的两种表示法，根据勾股定理求得BC=3cm是解决问题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）先证明四边形BDEF是平行四边形，由等腰三角形三线合一得，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形BDEF是菱形；
（2）由勾股定理得出，得出的面积，由题意得出的面积的面积的面积，菱形BDEF的面积的面积，得出四边形BDEF的面积的面积．
【详解】
（1）证明：，，
四边形BDEF是平行四边形，
，AE是中线，
，
，
点D是AB的中点，
，
四边形BDEF是菱形；
（2）解：，，，
，
的面积，
点D是AB的中点，
的面积的面积的面积，
菱形BDEF的面积的面积，
四边形BDEF的面积的面积．
本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25、（1）身高h与指距d之间的函数关系式为h=9d-20；（2）一般情况下他的指距应是1cm
【解析】
（1）根据题意设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b，从表格中取两组数据，利用待定系数法，求得函数关系式即可；
（2）把h=196代入函数解析式即可求得．
【详解】
解：（1）设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b．
把d=20，h=160；d=21，h=169，分别代入得，
解得，
∴h=9d-20，
当d=19时，h=9×19-20=151，符合题意，
∴身高h与指距d之间的函数关系式为：h=9d-20；
（2）当h=196时，196=9d-20，解得d=1．
故一般情况下他的指距应是1cm．
主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的设出解析式，再把对应值代入求解．
26、（1）（2）
【解析】
（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝1，
（x﹣5）[3（x﹣5）+2]＝1，
x﹣5＝1，3（x﹣5）+2＝1，
x1＝5，x2＝﹣；
（2）3x2+5（2x+1）＝1，
整理得：3x2+11x+5＝1，
b2﹣4ac＝112﹣4×3×5＝41，
x＝，
x1＝，x2＝．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
活动次数x
频数
频率
0＜x≤3
10
0.20
3＜x≤6
a
0.24
6＜x≤9
16
0.32
9＜x≤12
6
0.12
12＜x≤15
b
m
15＜x≤18
2
n
指距d（cm）
19
20
21
身高h（cm）
151
160
169