初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学设计，共7页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，设计意图等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
1.知识与技能：
（1）通过观察试验,理解圆的轴对称性.
（2）掌握垂径定理及其推论.
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.
2.过程与方法：
（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观
察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.
（2）经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几
何图形的各种方法.
3.情感态度与价值观：
（1）通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴
趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学
习活动中获得成功的体验.
教材分析：
与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型——三角形、四边形等图形的基础上,进一步研究一个基本的曲线图形——圆,对圆的概念和性质进行系统梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力.
在已经对圆进行初步认识的基础上，进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、由特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力,
学情分析：
学生已经通过对三角形、四边形的学习具备了一定的逻辑思维能力，能够较好的用数学符号语言进行推理证明。前一课时让学生对圆已经有了巩固认识，也能够熟悉圆的一些基本概念，对深入学习圆奠定了基础。但是通过对图形的探究过程理解垂径定理以及推论，并熟练应用于实际问题计算和证明仍然存在一定难度。
教学重难点：
【重点】 垂径定理及其应用.
【难点】 探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题
教学准备：
【教师准备】 多媒体课件、自制圆形卡纸
【学生准备】 预习教材P81—83和导学案、圆形纸片、作图工具
教学过程：
一：探究活动
活动1:将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？
圆是 图形，
都是圆的对称轴．
【师生活动】 教师拿出自制的圆形卡纸，引导学生自己试验操作，思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的原因.
【设计意图】 通过所有学生自己动手操作，吸引学生对本节数学课的学习兴趣，让学生不知不觉参与投入课堂.

活动2: 在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
观察发现：
点A与 重合，AE与 重合,
弧AC与 重合，弧AD与 重合.
相等的线段: ，
相等的弧: .
如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？
你能证明结论AE=BE吗？
【师生活动】 引导学生自己作图试验操作，仔细观察思考后小组合作交流,学生回答并展示自己的证明过程后教师点评,补充完善.
【设计意图】 通过对AE=BE的证明过程，让学生回忆前面在三角形、四边形中的逻辑思维和证明思路的书写，为圆中的计算和证明问题做好铺垫.
二：获得新知
垂径定理： ，
.
数学符号语言：
∵ , ,
∴ , , .
【设计意图】 教师鼓励学生自己组织文字语言说出探究出的结论，也就是今天要学习的垂径定理，让学生体验到学习的成就感。通过让学生找出条件和结论，并用数学符号语言表述，锻炼学生的逻辑思维能力.
垂径定理基本图形的变形：
下列图形可以使用垂径定理吗？为什么？
【设计意图】 把直径延伸为半径、过圆心的直线，同样适用于垂径定理.但是如果垂直、直径缺少一个都无法适用.通过图形的变形和反例强化学生对垂径定理的理解.
三：逆向思考
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）弧AD与弧BD相等吗？ 弧AC与弧BC相等吗？为什么？
【师生活动】 让学生独立思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,教师适时点评.
如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？
【设计意图】 把垂径定理的条件和结论对换位置，培养学生逆向思考能力，给出反例AB是⊙O的一条直径，培养学生分类讨论，全面思考的良好习惯.
垂径定理推论： ，
.
数学符号语言：
∵ , ,
∴ , , .
四：牛刀小试
练习1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【师生活动】 让学生独立思考、尝试计算,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,教师适时点评.
【设计意图】 通过一个简单的计算问题，检验学生对垂径定理的理解和掌握如何，能否熟练用于解决相关问题.为后面赵州桥的问题做好铺垫.
设半径OA为r，圆心到弦的距离OE（弦心距）为d，弦长AB为a, 设弓形的高DE为h.
则半径r、弦长a、弦心距d、弓形高h，这四个量满足哪些关系式：
, .
归纳小结：


【师生活动】 教师从牛刀小试的一个简单问题中提炼出一个直角三角形和一个弓形，引导学生思考并找出四个量之间的数量关系，便于以后更加熟练的解决相关问题.
【设计意图】 培养学生从特殊到一般，抽象出基本图形，并找出内在关系，加强学生归纳概括的能力.
五：问题解决
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
【师生活动】 教师先让学生观看视频，导出赵州桥的计算问题，加以分析指导，学生思考并完成计算过程，然后小组讨论，派出代表演板，教师点评不足之处.
【设计意图】 利用大家熟悉的生活实际问题，吸引学生对数学的学习兴趣，体验数学对实际生活的广泛运用，促进学生的学习欲望.
六：课堂小结
1.你学习了关于圆的哪些数学知识？

2.你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？
【师生活动】 教师请同学畅所欲言，谈一谈自己这一堂课所学到的数学知识，常用的辅助线作法和解题方法，大家互相完善.
【设计意图】 通过对这堂课的总结归纳，让学生巩固本堂课的数学知识和解题方法，建构完整的知识体系，使学生的能力更加得到升华.
七：分层作业
必做题：1、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，
求直径CD的长。

2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆
于C，D两点。求证：AC＝BD。
选做题：1、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油
面的宽AB=160cm,求油的最大深度.
2、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间距离
是多少？

【师生活动】 教师展示作业布置，学生课后思考并且完成.
【设计意图】 分层作业让不同层次的学生都能够得到锻炼，让所有学生能通过习题的完成更加深对垂径定理的理解和应用.更能充分挖掘部分学有余力的学生的潜能，达到培优磨尖的目的.
八：板书设计
一、垂径定理:
数学符号语言：
二、垂径定理的推论:
数学符号语言：
三、赵州桥（学生演板）：
九：课后反思
本节课让学生拿出自己手中的圆形纸片对折圆,观察对称性,学生很容易得到圆的对称轴,为后边的学习做好铺垫.探究活动让学生在自己的纸片上画出与直径垂直的弦,并把圆形纸片沿直径对折,问学生会发现什么结论,通过这一探究过程,大部分学生参与到课堂中去,并培养了学生动手操作和创新能力,也激发了学生探究问题的兴趣,学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理,实现了教学的有效性,这是这节课中最成功的地方.先通过一个简单的例题，加深对垂径定理的理解和运用，抽象概括出解决问题的一般方法。这样可以使学生体会到成功的喜悦,之后再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情.
不足之处在于应该给更多的时间让学生独立思考，不要先急于引导学生分析.