2024--2025学年北师大版九年级数学上册期中综合复习题

这是一份2024--2025学年北师大版九年级数学上册期中综合复习题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间:120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1．下列方程中：①（x+1）（x﹣1）﹣x2＝0；②x2+1＝0；③y2﹣2y﹣1＝0；④1x+x2=1．一元二次方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列结论正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
3．某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：
根据上表，你估计该队员一次投篮命中的概率大约是（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.72
4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2024的值为（ ）
A．1B．0C．32024D．72024
5．如图，正方形ABCD的边长为4cm，将该正方形沿AC方向平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，A′B′交BC于点F，则A′E的长为（ ）
A．2cmB．2cmC．3cmD．22cm
6．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣7x+10＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．11B．14C．11或8D．11和14
7．分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为（ ）
A．2S1+2S2＝S3B．3S1+3S2＝S3
C．S1+S2＝S3D．2S1+2S2＝3S3
8．设M＝2a2﹣5a+1，N＝a2﹣6，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M≠ND．不能确定
9．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ）
A．0或2B．0或2C．2或2D．0或2或2
10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1）或（3，3）
B．（3，12）或（3，3）
C．（3，12）或（3，1）
D．（3，12）或（3，1）或（3，3）
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．在唐代，有很多河南诗人，如杜甫，白居易，韩愈，李商隐等，如图，现有四本唐代诗人诗集，若从中随机选两本，恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为 ．
12．若m是方程x2+3x﹣1＝0的解，则式子2m2+6m+2024的值为 ．
13．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接DE并延长到点F，使得EF＝DE，连接BF，则∠CBF的度数为 ．
14．某商品成本价为360元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，且不与A，C重合，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，①AC=42；②若AE=2，则DE＝2；③DE＝FG；④FG的最小值为22．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．解下列方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法解）
（2）2x2﹣2x+6＝5x．（用公式法解）
17．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，使BF=DE=2，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求四边形AECF的面积．
18．已知x1，x2是方程4x﹣x2＝2的两根，求：
（1）x1+x2，x1•x2的值；
（2）x1x2+x2x1的值．
19．某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）该班学生人数有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生3500名，请估计有多少人选修足球？
（4）该班班委5人中，1人选修 篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣4a＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD．
22．2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？
23．如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．点P停止运动时点Q也停止运动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
24．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，若∠ABE：∠CBE＝2：3，求∠OBE的度数．
25．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1
①证明：∠DAH＝∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1-5．BDDAC．
6-10．BAADD．
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．16．
12．2026．
13．45°．
14．33.3%．
15．①③④．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，
移项得：2x2﹣x＝1，
把二次项系数化为1：x2-12x=12，
配方得：x2-12x+(14)2=12+(14)2，
(x-14)2=916，
直接开平方得：x-14=±34，
∴x-14=34或x-14=-34．
∴x1＝1，x2=-12；
（2）2x2﹣2x+6＝5x，
移项，合并同类项得：2x2﹣7x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×6＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=7±12×2=7±14，
∴x1=7+14=2，x2=7-14=32．
17．（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO，
∵BF＝DE，
∴OD+DE＝OB+BF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，BF=DE=2，
∴AB＝AD＝1，
∴BD=AC=2，
∴EF=32，
∴四边形AECF的面积为12⋅AC⋅EF=12×2×32=3．
18．解：（1）方程4x﹣x2＝2化简成一般式得x2﹣4x+2＝0，
∵x1，x2是方程4x﹣x2＝2的两根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=--41=4，x1x2=21=2；
（2）∵x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=42-2×22=6．
19．解：（1）该班学生人数有8÷16%＝50（人），
故答案为：50；
（2）C项目人数为50×24%＝12（人），E项目的人数为50×8%＝4（人），
则A项目的人数为50﹣（8+12+6+4）＝20（人），
补全图象如下：
（3）3500×2050=1400（人），
答：估计有1400人选修足球；
（4）画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球占6种，
所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率=620=310
20．解：（1）△ABC为等腰三角形，理由：
将x＝2代入方程，整理得：4c﹣4b＝0，
∴c＝b，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）根据条件可知：a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx﹣4a＝0，
∴（b+b）x2﹣2bx﹣4b＝0，
∵b≠0，
∴x2﹣x﹣2＝0，即：（x+1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
21．（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴BE=12AB，BE2+AE2＝AB2，
∵AE＝3，
∴(12AB)2+32=AB2，
解得：AB=23，
∴菱形ABCD的周长=23×4=83；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD＝BC＝CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∠ABE=∠ADF∠AEB=∠AFDAB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠CEF=∠CBD=12(180°-∠C)，
∴EF∥BD．
22．解：（1）设月平均增长率是x，
由题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意，舍去），x2＝0.2＝20%，
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80﹣y﹣40））元，每天的销售量为（20+4y）件，
由题意得：（80﹣y﹣40）（20+4y）＝1400，
∴y2﹣35y+150＝0，
解得：y1＝5，y2＝30，
又∵要尽量减少库存，
∴y＝30，
答：售价应降低30元．
23．解：（1）依题意得
AP＝3t，
BP＝AB﹣AP＝16﹣3t，
CQ＝2t，
DQ＝DC﹣CQ＝16﹣2t，
故S梯形PBCQ=12（CQ+PB）•BC．
又∵S梯形PBCQ＝33，
∴12（2t+16﹣3t）×6＝33，
解得t＝5．
答：P、Q两点出发后5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点P做PE⊥CD交CD于E．
QE＝DQ﹣AP＝16﹣5t，
在Rt△PQE中，
PE2+QE2＝PQ2，
可得：（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8（舍去），t2=85．
答：P、Q两点从出发开始 85s时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
24．（1）证明：在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：∵∠ABE：∠CBE＝2：3，
∴设∠ABE＝2α，∠CBE＝3α，
∴∠ABE+∠CBE＝5α，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°，
∴5α＝90°，
解得：α＝18°，
∴∠ABE＝36，∠CBE＝54°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣54°＝36°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠BCE＝∠OBC＝36°，
∴∠OBE＝∠CBE﹣∠OBC＝54°﹣36°＝18°．
25．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
DA=DC∠ADH=∠CDHDH=DH，
∴△DAH≌△DCH，
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形．
（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝5，
在Rt△DCE中，CE=DE2-DC2=52-42=3，
∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可证GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE=DE2-DC2=52-42=3，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．
综上所述，BE的长为7或1。投篮次数/次
10
50
100
150
200
命中次数/次
9
40
70
108
144
命中率
0.9
0.8
0.7
0.72
0.72