2024-2025学年人教版九年级上册期中测试数学模拟题

这是一份2024-2025学年人教版九年级上册期中测试数学模拟题，共17页。试卷主要包含了一元二次方程x2＝x的根是，平面直角坐标系中，抛物线y＝，已知点A，对某一个函数给出如下定义等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1
C．x1＝x2＝0D．x1＝x2＝1
3．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为（0，1），AC＝3，则这种变换可以是（ ）
A．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移4个单位长度
B．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
C．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
D．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移4个单位长度
4．平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度
5．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，则该商场这两个月销售额的平均增长率为（ ）
A．20%B．25%C．30%D．35%
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC．将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC．下列结论：①△ADE的旋转角为120° ②BD＝EC ③BE＝AD+AC ④DE⊥AC，其中正确的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
7．已知点A（a，b）是第二象限内的点（|a|≠|b|），设点A关于x轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
9．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（ ）
A．m≤13B．m＜13C．13＜m≤12D．m≤12
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为 ．
12．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则抛物线y＝x2+mx+n的顶点坐标为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则PE的长是 ．

（13题） （14题） （15题）
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点为A（﹣3，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
15．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）x2-2x-43=0； （2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根也都是整数，求m的值
18．（9分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，3），B（3，1），C（1，2），△A1B1C1与△ABC关于原点对称．
（1）写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出△A1B1C1；
（3）若点A（4，3）与点M（a﹣2，b﹣4）关于原点对称，求关于x的方程bx+32-2+ax3=x2的解．
19．（9分）如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：∠CBD＝∠CAE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求DE的长．
21．（10分）在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（x2-1x）2﹣2x2-1x+1＝0，令x2-1x=y，则有y2﹣2y+1＝0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明提出的问题：
（1）（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3＝0，则m2+n2＝
（2）求出方程（x2﹣1）2+（x2﹣1）＝0的根．
22．（10分）△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．（1）如图①所示，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是 ；∠EFD的度数为 ．
（2）如图②所示，在图①的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图②所示的位置，其中D，A，C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACE的周长最小时，求点E的坐标．
（3）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值；
（4）在（3）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
选：C．
2．解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1，
选：A．
3．解：∵点C的坐标为（0，1），AC＝OE＝3，
∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移4个单位长度可以得到△ODE．
选：A．
4．解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），
选：B．
5．解：设这两个月销售额的平均增长率是x，则可以得到方程
16（1+x）2＝25，
解得x1＝0.25；x2＝﹣2.25（不合理舍去）．
即商场这两个月销售额的平均增长率是25%，
选：B．
6．解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∴将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为180°﹣120°＝60°，①错误；
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴BD＝EC，②正确；
BE＝AE+AB＝AD+AC，③正确；
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝120°﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AD＝AE，
∴DE⊥AC，④正确；
选：B．
7．解：如图所示：
△ABC是直角三角形．
选：B．
8．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
选：B．
9．解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，
∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，
解得m≤12，
∵m＜n，
∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，综上，m＜13
选：B．
10．解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴-b2a=-1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，④正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2=-b-2a，x1•x2=c-2a，
∴x1+x2+x1x2=-b-2a+c-2a=-2a-2a+-3a-2a=-5，⑤错误，
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2021＝2024．
答案为：2024．
12．解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴y＝x2﹣3x+2，
抛物线y＝（x-32）2-14，即顶点坐标是（32，-14），
答案为：（32，-14），
13．解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC=12∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OB=12AB＝1，
∴OA=3OB=3，
∴AC＝23，
由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝23-2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP＝∠EAG＝60°，
∴∠CEP+∠ACD＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴PE=12CE=3-1，
答案为：3-1．
14．解：方程ax2﹣bx﹣c＝0，即ax2＝bx+c的解即为方程组y=ax2y=bx+c中x的值，
由y＝ax2与y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1）知，
方程组y=ax2y=bx+c的解为x1=-3y1=4、x2=1y2=1，
∴关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，
答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
15．解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
点D的横坐标最大值为8；
答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）移项，得
x2﹣2x=43，
∴x2-2x+1=73，
∴(x-1)2=73，
∴x-1=±213，
解得：x1=1+213，x2=1-213；
（2）移项，得
∴2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1=1，x2=12．
17．（1）证明：Δ＝（3m+1）2﹣4×3m
＝9m2+6m+1﹣12m
＝9m2﹣6m+1
＝（3m﹣1）2，
∵（3m﹣1）2≥0，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0），
mx2+3mx+x+3＝0，
mx（x+3）+x+3＝0，
（mx+1）（x+3）＝0，
mx+1＝0或x+3＝0，
解得x=-1m或x＝﹣3，
∵m为正整数，且关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根也都是整数，
∴-1m是整数，
∴m＝1．
18．解：（1）根据题意，得
A1（﹣4，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（﹣1，﹣2），
答：A1，B1，C1的坐标为（﹣4，﹣3）、（﹣3，﹣1）、（﹣1，﹣2）
（2）如图：即为△A1B1C1．
（3）a﹣2＝﹣4，b﹣4＝﹣3，
解得a＝﹣2，b＝1．
所以方程为：x+32--2-2x3=x2
整理，得
6x2﹣7x﹣5＝0，
解得x1=-12，x2=53．
答：关于x的方程的解为-12或53．
19．解：（1）设AB的长为x米，
依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；
（2）不能．
理由：假设长方形ABCD的面积是110平方米，
依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x2﹣36x+110＝0，
∵Δ＝（﹣36）2﹣4×3×110＝﹣24＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴假设不成立，
∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．
20．（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE；
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝5，
∵∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，DE=AE2-AD2=25-9=4．
21．解：（1）设m2+n2＝t，则原方程变形为t2﹣2t﹣3＝0，
解得t1＝3，t2＝﹣1，
∵m2+n2≥0，
∴t＝m2+n2＝3，
答案为3；
（2）设x2﹣1＝y，原方程变形为y2+y＝0，
解得y＝0或y＝﹣1，
当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝±1，
当y＝﹣1时，x2﹣1＝﹣1，解得x＝0．
22．解：（1）∵△ABC、△AED为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，∠ECA＝90°，
∴∠ECB＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴BE＝EC，
∵F为BD中点，
∴EF⊥BC，
∴EF＝FC，∠EFD＝90°，
答案为：EF＝FC；90°；
（2）EF＝FC，EF⊥FC；理由如下：
延长CF到M，使使FM＝CF，连接DM、ME、EC，
∵FC＝FM，∠BFC＝∠DFM，DF＝FB，
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM＝BC，∠MDB＝∠FBC，
∴MD＝AC，MD∥BC，
∵ED＝EA，∠MDE＝∠EAC＝135°，
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME＝EC，∠DEM＝∠CEA，
∴∠MEC＝90°，
∴EF＝FC，EF⊥FC．
23．解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+6，
得4a-2b+6=016a+4b+6=0，
解得a=-34b=32，
∴抛物线的解析式为y=-34x2+32x+6．
（2）如图1，连接BC交抛物线的对称轴于点F，连接AF、BE，
∵点A（﹣2，0）、B（4，0）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且直线x＝1垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，AF＝BF，
∵BE+CE≥BC，
∴当点E与点F重合时，BE+CE＝BF+CF＝BC，
此时AE+CE＝AF+CF＝BF+CF＝BC，可知AE+CE的值最小，
在△ACE中，AC的边为定值，
∴当AE+CE的值最小时，则△ACE的周长最小，
抛物线y=-34x2+32x+6，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+6，则4k+6＝0，
解得k=-32，
∴直线BC的函数表达式为y=-32x+6，
当x＝1时，y=92，
∴E（1，92）．
（3）如图2，作DH⊥x轴于点H，交BC于点G，
∵D（m，-34m2+32m+6），G（m，-32m+6），
∴DG＝（-34m2+32m+6）﹣（-32m+6）=-34m2+3m，
∵S△BCD=12DG•OH+12DG•BH=12DG•OB，且S△BCD=34S△AOC，
∴12×4（-34m2+3m）=34×12×2×6，
整理得m2﹣4m+3＝0，
解得m1＝1（不符合题意，舍去），m2＝3，
∴m的值为3．
（4）存在，设N（x，-34x2+32x+6），
当m＝3时，D（3，154），
如图3，四边形BDNM、四边形BM′DN都是平行四边形，点N的纵坐标y=154，
∵点N与点D（3，154）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴N（﹣1，154），
∵BM＝BM′＝DN＝3﹣（﹣1）＝4，
∴M（0，0），M′（8，0）；
如图4，四边形BDMN、四边形BDM′N′都是平行四边形，点N的纵坐标y=-154，
∴-34x2+32x+6=-154，
整理得x2﹣2x﹣13＝0，
解得x1=1-14，x2=1+14，
∴N（1-14，-154），N′（1+14，-154），
作DH⊥x轴于点H，NK⊥x轴于点K，N′L⊥x轴于点L，
则H（3，0），K（1-14，0），L（1+14，0），
∵∠NKM＝∠DHB＝90°，∠NMK＝∠DBH，MN＝BD，
∴△NMK≌△DBH（AAS），
∴MK＝BH＝4﹣3＝1，
同理M′L＝1
∴M（-14，0），M′（14，0）．
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（8，0）或（-14，0）或（14，0）．