2025届高三上学期10月大联考（新高考卷）数学试题（Word版附解析）

这是一份2025届高三上学期10月大联考（新高考卷）数学试题（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了 函数图象的对称中心为， 的展开式中项的系数为， 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. R
C. D.
2. 数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44上四分位数为（ ）
A. 30B. 32C. 40D. 42
3. 已知，为非零向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列前项和为，若，，则（ ）
A. B. 5C. D.
5. 函数图象的对称中心为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 10B. C. D.
7. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若，，其中，，，，且，，则
B. 若（）为纯虚数，则
C. 若关于方程，，的一个虚根为，则
D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限
10. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于两点，设Ax1,y1，Bx2,y2，的中点为，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若直线过焦点，则
B. 若直线过焦点，则的最小值为
C. 若直线的斜率存在，则其斜率与无关，与有关
D. 若为坐标原点，直线的方程为，则
11. 已知函数的定义域为，其导函数为f′x，，，且，则（ ）
A. B. f′x为奇函数
C. （）是函数的周期D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若定义在上的函数满足，且，则曲线在点处的切线方程为_____.
13. 已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为_____.
14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若是边上一点，且，，求.
16. 为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为，参加体能训练活动的男生人数为，不参加体能训练活动的男生人数为，参加体能训练活动的女生人数为.
（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；
（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
17. 如图，在正三棱锥中，，，的中点为，过点作底面的垂线，垂足为，是线段上的一个动点.

（1）证明：；
（2）若是正三棱锥外接球球心，且，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值.
19. 一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的.
（1）判断向量组，，是否线性相关.
（2）已知函数，，且恒成立.
①求的值；
②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，.
参加
不参加
合计
男生
女生
01
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
2025届高三10月大联考（新课标卷）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. R
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求集合A，进而根据并集运算求解.
【详解】由题意可知：，
且或，所以.
故选：C.
2. 数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（ ）
A. 30B. 32C. 40D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】从小到大排序后，位于位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位数的值.
【详解】，计算位置的序号.
由于不是整数，向上取整为，所以上四分位数是第个数，即42.
故选：D.
3. 已知，为非零向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由模长的坐标表示可得，再结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由题意可得：，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列性质可得，结合等差数列通项公式列式求，代入等差数列求和公式即可.
【详解】设等差数列an的公差为d，
因，可得，
且，则，解得，
所以.
故选：D.
5. 函数图象的对称中心为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案；
【详解】，
令，则，
所以对称中心为，，
故选：A.
6. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为，结合二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】因为，
且的展开式为，
令，解得，可得；
令，解得，不合题意；
所以项的系数为.
故选：B.
7. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，取的中点，连接，可求出为异面直线与所成的角，再由勾股定理计算即可；
【详解】
如图，取的中点，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
同理可得，所以为异面直线与所成的角或其补角，
，，即，
所以，即与所成角的大小为，
故选：A.公众号：高中试卷君
8. 已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用方程组法求出的解析式，结合的奇偶性将上的零点和转化为上的零点和问题，令，转化为，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.
【详解】由，可得，
解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称，
则函数y=fx在上的图象关于原点对称，
故函数y=fx在上的零点也关于原点对称，和为0，
在上的零点和即为上的零点和，
令，得，
，，作出和在同一坐标系中的图象，
可知y=fx在内的零点有和两个，
故.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若，，其中，，，，且，，则
B. 若（）为纯虚数，则
C. 若关于的方程，，的一个虚根为，则
D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误；
对于选项B：若（）为纯虚数，
则，解得，故B正确；
对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为，
则另一个虚根为，
可得，所以，故C错误；
对于选项D：若，，则，
复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确；
故选：BD.
10. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于两点，设Ax1,y1，Bx2,y2，的中点为，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若直线过焦点，则
B. 若直线过焦点，则的最小值为
C. 若直线的斜率存在，则其斜率与无关，与有关
D. 若为坐标原点，直线的方程为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：由条件，结合抛物线的定义判断A；
对于B：设直线，根据抛物线的定义结合韦达定理可得，，故，求其最值可得结论；
对于C：利用点差法分析判断；
对于D：利用韦达定理可得，结合方程可得，再根据向量垂直分析判断
【详解】由题意可知：F1,0，且，直线的斜率可以不存在，但不为.
对于A，因为，故A错误；
对于选项B：若直线过焦点，设直线，
联立方程x=my+1y2=4x，消去可得，
则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：因为Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线C上，
则，两式作差可得，
若直线的斜率存在，则，
所以直线的斜率与无关，与有关，故C正确；
对于选项D：联立方程，消去可得，
可得，且，
由选项C可知：，且，可得，
则，所以，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为f′x，，，且，则（ ）
A. B. f′x为奇函数
C. （）是函数的周期D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：利用赋值法令，代入运算即可；对于B：令，可得，进而可得，即可判断；对于C：令，可得，结合周期性分析判断；对于D：根据周期性运算求解即可.
【详解】因为，，，
对于选项A：令，可得，即，
显然，所以，故A正确；
对于选项B：因为数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
即，可得，且不为常函数，f′x不恒为0，
所以f′x为偶函数，故B错误；
对于选项C：令，可得，
即，可知为的一个周期，
所以（）是函数的周期，故C正确；
对于D：因为（）是函数的周期，
则，所以，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对于本题关键赋值有：令，和.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若定义在上的函数满足，且，则曲线在点处的切线方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.
【详解】，所以.且，曲线在点处的切线方程为.
已知，.
将这些值代入切线方程公式，得到.
化简这个方程，得到.
故答案为:.
13. 已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据长轴及离心率列式求出a,b,c得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可.
【详解】因为,
所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案为：.
14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意整理可得，构建，结合单调性可得，参变分离可得，再构建，利用导数求最值即可.
【详解】因为，且，
则，整理可得，
令，
则，即为，
因为在0,+∞内均为增函数，则在0,+∞内为增函数，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，
令，
因为在0,+∞内均为增函数，
则ℎx在0,+∞内为增函数，且ℎ1=0，
当时，则ℎx0，即；
可知在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，
则，可得，
所以实数的取值范围为0,+∞.
故答案为：0,+∞.
【点睛】关键点点睛：对原式同构可得，构建函数结合单调性分析可得恒成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若是边上一点，且，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理化简得出再结合两角和正弦公式化简得出计算得角即可；
（2）先根据边长关系得出向量关系，再应用向量数量积运算解得，最后余弦定理计算得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
，
所以,所以，
可得
【小问2详解】
因为，所以，所以，即得，
左右两侧平方得，
又因为，所以，
所以，，解得，
由余弦定理得，所以.
16. 为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为，参加体能训练活动的男生人数为，不参加体能训练活动的男生人数为，参加体能训练活动的女生人数为.
（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；
（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
公众号：高中试卷君
【答案】（1）答案见解析；
（2）分布列见解析；数学期望
【解析】
【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论；
（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可；
【小问1详解】
参加体能训练活动的男生人数为，即人，
不参加体能训练活动的男生人数为，即人，
参加体能训练活动的女生人数为，即人，
所以
，
所以根据小概率的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联，
【小问2详解】
按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，
则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，
由题意可得的可能取值为0,1,2
，，，
所以的分布列为：
，
期望为，
17. 如图，在正三棱锥中，，，的中点为，过点作底面的垂线，垂足为，是线段上的一个动点.

（1）证明：；
（2）若是正三棱锥外接球的球心，且，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，可得，，可证平面，结合线面的性质即可得结果；
（2）根据外接球的性质可得，求相关长度，做辅助线，可得二面角的平面角，结合余弦定理运算求解.
【小问1详解】
连接，
因为为正三棱锥，则为等边三角形的中心，且平面，
由平面，则
又因为为的中点，则，
且，平面，可得平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
由题意可知：，则，
设正三棱锥外接球的半径为，
则，解得，即，
则，可得，
因为平面，平面，则，
取的中点，连接，则，且，，
可知，

过作，垂足为，连接，则，
可知二面角的平面角，
由的面积可得，解得，
可知，
在中，由余弦定理可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作三条不同直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得，结合双曲线的定义分析求解；
（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得，，再求，坐标，代入化简整理即可得结果.
【小问1详解】
设内切圆的圆心为，且与三边切于点，
则，
可得，
且A−2,0，，，即，
可得，
可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支（顶点E除外），
则，
所以动点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：，双曲线渐近线为，
设，，且，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，整理可得，
同理可得，
则直线，
令，可得
，
则，
同理可得，
则
，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的.
（1）判断向量组，，是否线性相关.
（2）已知函数，，且恒成立.
①求的值；
②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，.
【答案】（1），，是线性无关的
（2）①；②证明见详解
【解析】
【分析】（1）假设，，线性相关，根据题意列方程解得，即可得出矛盾；
（2）①令，分析可知原题意等价于对任意恒成立，结合定点法求得；②利用放缩法结合裂项相消法可得，，进而可得，结合数列单调性可得.
【小问1详解】
若，，线性相关，则存在不全为零的3个实数，使得，
因为，，，则，
可得，解得，
故假设不成立，所以，，是线性无关的.
【小问2详解】公众号：高中试卷君
①令，则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，可得，解得；
若，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，符合题意；
综上所述：；
②由①可知：，则，，
则，
可得，
又因为，
则，
即，，则，
可得，
因为，且为递增数列，则，
可得为递增数列，则，
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得，，进而分析证明.
参加
不参加
合计
男生
女生
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参加
不参加
合计
男生
400
300
700
女生
300
200
500
0
1
2