四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间四边形中，（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（ ）

A. B. C. D.
4. 四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A. 与互斥B. ，
C. D. ，为对立事件
6. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.7D. 0.6
7. 一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）．
A 58或64B. 58C. 59或64D. 59
8. 如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若向量是空间的一个基底，向量那么可以与构成空间的一组基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的平均数为13
B. 数据的方差为12
C.
D.
11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1概率为
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件．已知甲、乙、丙3类产品数量之比为．现要用分层抽样的方法从中抽取件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为_______．
13. 在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则_____________．
14. 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
（1）累计负两场者被淘汰；
（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
（2）已知，与、的夹角都是60°，并且，，．计算：与夹角的余弦值
16. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩平均数和众数；
（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差．
17. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求乙队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队得分与乙队得分为的概率.
18. 如图，在三棱柱中，底面中角直角，，侧面底面.
（1）求证：；
（2）当，直线与平面所成角为时，
（i）求证：平面平面；
（ii）求二面角的正弦值.
19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求表达式；
（3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．