四川省成都市列五中学2024-2025学年高一上学期阶段性考试（一）数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案.
【详解】由，可得，
又，可得.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题“，”的否定是“”
故选：D
3. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
4. 已知，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故选：D
5. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或x>12
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】的解集为
且方程的两根为：和
，解得：
即，解得：
的解集为
故选:
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题.
6. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A. 1≤a≤3B. －1≤a≤3
C. 1【答案】B
【解析】
【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.
【详解】由题意:命题是假命题,
其否定: 为真命题,
即，解得，
故选：B
7. 下列结论中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C. “且”是“”的既不充分也不必要条件
D. “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的包含关系可判断A项错误；利用充分条件，必要条件的定义可判断B项错误；利用互为逆否的命题同真假的性质即可判断C项正确；运用取特殊值法即可判断D项错误.
【详解】对于A，因是真子集，故“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，在中，由可得，即为直角三角形；
而由为直角三角形时，则或或,必要性不成立，故B错误；
对于C，首先判断“”是“或”的既不充分又不必要条件.
因时满足“”，但得不到“或”；
反过来，时，若取，满足“或”但得不到“”，
同理时，若取，满足“或”，但得不到“”，
即“”是“或”的既不充分又不必要条件，
则其逆否命题“且”是“”的既不充分也不必要条件也是正确的，故C正确；
对于D，因时无理数，但时有理数，即“为无理数”不是“为无理数”必要条件，故D错误.
故选：C.
8. 若，下列结论错误的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最大值为2
【答案】C
【解析】
【分析】根据均值不等式，重要不等式及其变形，逐项分析即可求解.
【详解】因为，所以，
当且时，的最大值为1，当且时，的最小值为，故A、B正确；
由，可得，当且仅当时取等号，C错误；
因，当且仅当时取等号，D正确，
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 由组成的集合可表示为或
B. 与是同一个集合
C. 集合与集合是同一个集合
D. 集合与集合是同一个集合
【答案】AD
【解析】
【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10. 已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．
【详解】解：因为集合或，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，若，则，解得，
又，则，
则的充要条件为，
所以的必要不充分条件可能是，，
故选：AB．
11. 已知，，且，下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为1
C. xy的最大值为4D. 的最小值为8
【答案】BCD
【解析】
【分析】由平均值不等式转化后求解不等式判断．
【详解】由平均值不等式，
对A：，则，所以A错误；
对B：，当且仅当时等号成立，所以B正确；
对C：因为,
所以，
当且仅当时等号成立，所以C正确；
对D：，
令，所以，得到，所以，
当且仅当时等号成立，所以D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 满足的集合A的个数为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据条件可知一定含元素1，可能含元素2，3，从而可求出满足条件的的个数．
详解】解：，
是的元素，2，3可能是的元素，但不能同时存在.
集合的个数有个．
故答案为：3．
13. 已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
14. 已知，为正实数，且，则不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】将变形为，利用基本不等式求得的最小值，则可将不等式恒成立，转化为，即可求得答案.
【详解】因为
，
又因为，则，
则 ，
所以，当且仅当时取等号，
由不等式恒成立，则，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若，求实数的取值集合；
（2）若，求实数的取值集合.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题设易知是的两解，应用根与系数关系求参数，即可得集合；
（2）由题设，讨论或依次求出对应参数a的范围，即可得集合.
【小问1详解】
因或，则，
则是的两解，则且，解得；
综上，.
【小问2详解】
由（1），而，则，
所以或满足条件，
①当时，则方程无解，
因此，解得；
②当时，则方程有两个相等的解0，
因此且，解得.
③当时，则方程有两个相等的解8，
因此且，无解.
④当时，则方程有两解0和8，
因此且，解得；
综上，或，
故实数的取值集合或.
16. 若，，且，求：
（1）的取值范围；
（2）的取值范围.
【答案】（1）的取值范围为；
（2）的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）由条件，结合结合基本不等式可得，解不等式可得结论；
（2）由条件可得，，结合基本不等式求结论.
【小问1详解】
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
又，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，当且仅当等号成立，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
因为，
所以，因为，，所以，同理可得，
又可化为，
所以，
当且仅当，时等号成立；
所以的取值范围为.
17. 若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方
（1）若命题，中均为假命题，求的取值范围？
（2）对任意的，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方便求出命题，为真命题时的取值范围，进而可求均为假命题时的取值范围；（2）把不等式看成关于的一次不等式，结合图像即可求解.
【小问1详解】
若命题为真命题，则命题可转化为，
即，令，得函数y在上单调递增，
所以，则，
若命题为假命题，则；
若命题为真命题，则命题可转化为在上恒成立，
即，则，当且仅当时，
即时等号成立，则，
若命题，则，
则命题，均为假命题，则
【小问2详解】
任意的，使得不等式成立，
即在上恒成立，
令，
当时，，不合题意；
当时，有，解得；
所以的取值范围是.
18. 第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）50 （2）至少应达到万件，商品的每件定价为20元
【解析】
【分析】（1）由已知得出调价后的销售量，进而列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据已知列出不等式，分离参数可得.然后即可根据基本不等式，得出答案.
【小问1详解】
设定价为元，则销售量为万件，
由已知可得，，
整理可得，，解得，
所以，该商品每件定价最多为50元.
【小问2详解】
由已知可得，，.
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，.
所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元.
19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
（1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
【答案】（1），集合A是的恰当子集；
（2），或，.
（3）10
【解析】
【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验；
（3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集，
【小问1详解】
若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；
【小问2详解】
是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.
【小问3详解】
若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样的满足；
当时，设，经检验没有这样的满足；，
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10.