四川省成都市新津中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟，总分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：A.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由可得或，不一定是；
当时，必有成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：D
4. 已知命题,，则
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】取特殊值，可知A错误；利用作差法即可判断比较出选项BCD的大小，得出结论.
【详解】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误；
对于B，若，则，所以B正确；
对于C，若，则，所以C错误；
对于D，若，则，所以D错误.
故选：B
6. 若正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B
7. 命题，若为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立有，即可求范围.
【详解】由为真命题，根据一元二次不等式恒成立知：.
故选：D
8 对于集合，定义，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知集合，，则（ ）
A. 0不可能属于BB. 集合可能是
C. 集合不可能D. 集合
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．
【详解】∵，∴，故D正确．
∵集合，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵，∴集合不可能是，故C正确；
∵，∴0可能属于集合，故A错误.
故选：BCD.
10. 下列命题是真命题的为（ ）
A.
B.
C. 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D. 存在实数，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，依次分析各选项即可得答案.
【详解】对于A，，所以，故A选项是真命题；
对于B，当时，恒成立，故B选项是真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是真命题.
对于D，因为，所以.故D选项是假命题.
故选：ABC.
11. 下列命题中，错误的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. ，
C. 命题“，”否定为假命题
D. “三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断AD选项；利用特殊值法可判断B选项；利用一元二次方程的判别式、存在量词命题的否定可判断C选项.
【详解】对于A选项，解方程可得或，
所以，“”是“”的充分不必要条件，A错；
对于B选项，当时，，B错；
对于C选项，对于方程，，即方程无实解，
故命题“，”为假命题，其否定为真命题，C错；
对于D选项，“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”，
但“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”，
所以，“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，D对.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出一个使“”成立的充分条件为_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据充分条件定义进行求解即可.
【详解】由一定能推出，
所以使“”成立的充分条件为，
故答案为：
13. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人．
【答案】135
【解析】
【详解】利用文恩图的辅助求解即可.
【分析】
由文恩图可得；参加培优的人数为，
又不参加其中任何一科培优的有15人，
所以接受调查的高一强基班学生共有.
故答案为：.
14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为不等式恒成立，则,
因为,所以，当且仅当x=0取等号，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）设集合，求实数a的值；
（2）设集合．如果，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据得到，然后分、和三种情况讨论即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，，
当时，，，，，不成立；
当时，，，，，成立；
不成立；
综上可得，.
（2）因为，所以，
当，，解得；
当，，解得，
综上可得，的取值范围为.
16. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，再由交运算求.
（2）根据包含关系，讨论、求参数范围即可.
【小问1详解】
由题设，
所以.
【小问2详解】
由，
当，则；
当，则；
综上，
17. 已知命题：，恒成立，命题为真命题时实数的取值集合为．
（1）求集合；
（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，，求得结果即可.
（2）根据充分不必要条件得出是的真子集，根据集合的包含关系列不等式求得结果.
【小问1详解】
命题为真命题时,，恒成立，
所以，解得，
所以集合.
【小问2详解】
若是的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
当时，，解得，
所以，解得，
所以实数的取值范围．
18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．

（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【答案】（1）长为，宽为
（2）长为，宽为
【解析】
【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值.
（2）先求得钢筋网总长的表达式，然后利用基本不等式求得最小值.
【小问1详解】
设长为，宽为，则，
所以，
当且仅当时等号成立，
即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大.
【小问2详解】
设长为，宽为，则，
所以，
当且仅当时等号成立，
即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
19. 设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】（1）证明见解析；
（2）不是，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【小问1详解】
由题意得若，则；
又因为，所以；
即集合中还有另外两个元素和.
小问2详解】
由题意，若（且），则，则，若则；
所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
【小问3详解】
由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.