四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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命题： 审题：
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3.考试结束后将答题卡收回．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个是符合要求的）
1. 已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的加减法法则，通过对空间四边形的边向量进行转化和运算来求解.
【详解】因为在空间四边形中，，这是根据向量加法的三角形法则得到的.
，所以，而，即，
所以.代入已知向量进行计算得到,.则.
故选：B.
2. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A. 甲､乙恰有一人中奖B. 甲､乙都没中奖
C. 甲､乙至少有一人中奖D. 甲､乙至多有一人中奖
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可.
【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；
“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；
“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；
“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．
故选：D.
3. 某公司有员工30名，其中包含经理一名、保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，拟采用以下两种方案：方案一，调查公司全部30名员工的工资情况；方案二，收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围，只调查其他28名员工的工资情况．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 极差D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.
【详解】由题意，公司30名员工的工资情况组成30个数据，按大小顺序排列，排在中间的两个数的平均数是中位数，去掉收入最高的经理和收入最低的保洁的工资，即去掉一个最大值和一个最小值，剩余28个数据按大小顺序排列，排在中间的两个数还是原来的两个数，所以这两个数的平均数不变，即中位数不变；
平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；
极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化.
故选：A.
4. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率.
【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有，
即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为．
故选：D．
5. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.
【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.
6. 甲中学的女排和乙中学的女排两队进行比赛，在一局比赛中甲中学女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲中学的女排获胜的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件以及独立事件的概率公式求解，即可求得答案.
【详解】甲中学的女排要获胜，必须赢得其中两局，可以是第一、二局，
也可以是第一、三局，也可以是第二、三局．
故甲中学的女排获胜的概率,
故选：D
7. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20％
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】D
【解析】
【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．
【详解】选项A；由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56％，故A正确；
选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a，而90后总人数的20％为56％×20％a，故B正确；
选项C：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56％a×17％=9.52％a，超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确；
选项D：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人数38％a，但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故D错误．
故选：D．
8. 四名数学老师相约到定点医院接种新冠疫苗，若他们一起登记后，等待电脑系统随机叫号进入接种室，则甲不被第一个叫到，且乙、丙被相邻叫到的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】4人总顺序有24种，然后按甲第二个、第三个、第四个被叫到号求出相应的顺序数，得出符合条件的顺序数后可得概率．
【详解】四名教师总的进入注射室的顺序有种，则：①甲第二个被叫到，且乙、丙被相邻叫到的方法数有种；②甲第三个被叫到，且乙、丙被相邻叫到的方法数有种；③甲第四个被叫到，且乙、丙被相邻叫到的方法数有种，所以“甲不被第一个叫到，且乙、丙被相邻叫到”的概率为.
故选：D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个符合要求的选项，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9. 已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据，的平均数为6
B. 数据，的方差为9
C. 数据的方差为1
D. 数据的平均数为5
【答案】BD
【解析】
【分析】对于AB：根据平均数、方差的性质分析求解；对于CD：根据平均数、方差公式运算求解.
【详解】因为样本数据的平均数为2，方差为1，
对于选项A：所以数据，的平均数为，故A错误；
对于选项B：数据，的方差为，故B正确；
对于选项C：因为，，
则数据的平均数为，
所以方差为，故C错误；
对于选项D：由，，
得，可得，
所以数据的平均数为，故D正确；
故选：BD.
10. 下列命题中为真命题的有（ ）
A. 若，都是直线l的方向向量，则必有
B. O为空间任意一点，若，且A，B，C，P四点共面，则
C. 若为不共线的非零向量，则
D. 若向量是三个不共面的向量，且满足等式则
【答案】CD
【解析】
【分析】本题主要涉及向量的基本概念和性质，包括直线方向向量、四点共面的向量关系、向量平行以及向量不共面时的线性组合等知识.通过逐一分析每个选项，根据相应的向量知识来判断其真假性.
【详解】对于A选项，若都是直线的方向向量，则与是平行向量，平行向量不一定相等，它们可能方向相同但模长不同.所以A选项错误.
对于B选项，因为，，，四点共面，则，且.
已知，则.计算，，，.所以B选项错误.
对于C选项，已知.对于和，设，
则.可得方程组，由得，
代入，，成立.所以，C选项正确.
对于D选项，因为向量是三个不共面的向量，若，根据空间向量基本定理，只有.所以D选项正确.
故选：CD.
11. 如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 平面
B.
C.
D. 若分别为的中点，则为的中点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A；对于B，将与的位置关系转化为与的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C；通过分析得到，即可判断D.
【详解】对于A，因为分别是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
由A可得，，因为分别是的中点，所以.
由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，故B错误；
对于C，
,故C正确；
对于D，因为是的中点，所以.
又因为是的中点，所以，
所以
所以为的中点，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是______．
【答案】31
【解析】
【分析】先排序，再计算，然后可得.
【详解】把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，
计算8×25%＝2，所以这8人年龄的25%分位数是．
故答案为：31
13. 如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，，则向量___________.（用，，表示）
【答案】
【解析】
【分析】由已知，，根据向量线性运算法则，结合图形运算可得结论.
【详解】因为，故，
所以，
因为，分别是边，的中点，
所以，，
所以，
因为，，，
所以.
故答案为：.
14. 某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为300，300，400.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，估计该武警大队队员的平均射击水平为_____________环.
【答案】8.43
【解析】
【分析】求出三支中队分别抽取的人数，利用平均数的公式求解即可.
【详解】第一、第二、第三三支中队的人数之比为，
故抽取的30人中，第一、第二、第三三支中队的人数分别为，
，，
故估计该武警大队队员的平均射击水平为.
故答案为：8.43
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）
15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为；再由乙猜甲刚才所想的数字，记为，其中.
（1）试列举出由样本点组成的样本空间，并指出样本空间所含样本点的个数；
（2）若，则称甲、乙“心有灵犀”，求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.
【答案】（1）答案见解析，25
（2）
【解析】
【分析】（1）用列举法列出样本空间，即可得解；
（2）记甲、乙二人“心有灵犀”为事件，得到满足事件的样本点数，再由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
由题意得，
，共个样本点.
【小问2详解】
记甲、乙二人“心有灵犀”的为事件，
则，共个样本点，
，故甲、乙二人“心有灵犀”的概率为.
16. 某工厂生产一种汽车元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不进入市场．
（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（2）从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，即可求得答案；
（2）求出生产一个元件为一等品的概率， 至少有2个元件是一等品分为2减为一等品和三件为一等品两种情况，即可得解.
【详解】解：（1）不妨设一个元件经A、B、C三道工序加工合格的事件分别为A、B、C，
则，
设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”，
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，
所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为．
（2）生产一个元件，该元件为一等品的概率．
设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，
则．
所以至少有2个元件是一等品的概率为．
17. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证:；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，计算即可;
（2）求出,，借助向量夹角余弦值公式计算即可.
【小问1详解】
建立如图示的空间直角坐标系：
由题意，，，，，，.
所以，.
则，故，则.
【小问2详解】
,
设EF与CG所成角为，则.
即EF与CG所成角的余弦值是.
18. 某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：
，，40,50，50,60，60,70，，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；
（2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；
（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.
【答案】（1）30 （2）众数为55；第80百分位数为66
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；
（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数；
（3）计算抽取的人中，位于的有2人，记为，数学成绩位于的有4人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为：
所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：
【小问2详解】
由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；
年龄在区间上的频率为：
年龄在区间上的频率为：，
故第80百分位数位于60,70之间，设为，
所以，解得，
所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66.
【小问3详解】
由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，
分别记为，年龄在区间上的读书者有人，分别记为，
从上述6人中选出2人，则有，共15种情况；
其中恰有1人在的情况有，共8种情况；
所以恰有1人在的概率为.
19. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的频率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?（一年按365天计算，同一组中数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【答案】（1）频率直方图见详解；
（2）0.48 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.
【小问1详解】
频率分布直方图如下图所示：
【小问2详解】
根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为0.48；
【小问3详解】
该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为：
，
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为：
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
[06，0.7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5