重庆市朝阳中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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1. 设空间向量，，若，则实数k的值为（ ）
A. 2B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由向量平行坐标表示求解．
【详解】由题意，解得．
故选：A．
2. 已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标.
【详解】空间向量，，则，
故以为单位正交基底时的坐标为.
故选：B.
3. 点关于轴的对称点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标关系直接列式求解即可.
【详解】因为点关于轴的对称点为,
所以由对称性知，解得，
故选：D
4. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由空间共面向量可得，代入解方程即可得出答案.
【详解】若空间向量共面，
则，所以，
所以，解得：.
故选：B.
5. 已知，则在方向上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用投影的概念，结合数量积和求模公式求解即可.
【详解】在方向上的投影数量为.
故选：C.
6. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出.
【详解】平行六面体中，，
因为，，，，
所以
，
所以，即的长为.
故选：A.
7. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可.
【详解】由，解得
当共线时，由，即解得，
所以当夹角为钝角时，
故选：B
8. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量在上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.
方法二：证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.
【详解】连接，记直线的交点为，
由已知平面，，
以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由已知，
所以，
则，
所以，，，
设，则
，
所以在上的投影向量的模为，
又，
所以动点M到直线BE的距离，
所以，
所以当时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为，
故选：D.
方法二：因为为等边三角形，为的中点，所以，
由已知，所以，
所以，
所以为异面直线，的公垂线段，
所以的长为动点M到直线BE的距离最小值，
所以动点M到直线BE的距离最小值为，
故选：D.
二、单项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题口要求．
9. 已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意；
B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意；
C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意；
D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意；
故选：BCD.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，当时，不存在，B错误；
对于C，共线，可以在同一条直线上，C错误；
对于D，当时，四点不共面，D错误.
故选：BCD
11. 如图，在棱长为6的正方体中，E，F分别是棱，BC的中点，则（ ）
A. 平面
B. 异面直线与EF所成的角是
C. 点到平面的距离是
D. 平面截正方体所得图形的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、点到面距离公式，结合正方体的性质逐一判断即可.
【详解】如图，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，
所以．
设平面的法向量为，
则令，得，所以．
因为，
所以与平面不垂直，则A错误．
设异面直线与EF所成的角为，
则，从而，故B正确．
连接，因为，
所以点到平面的距离是，则C正确．
分别在棱上取点M，N，使得，，
连接．
可知平面截正方体所得图形为五边形．
由题中数据可得，
则平面截正方体所得图形的周长为，故D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题关键是根据正方体的性质得到截面的形状.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. O为空间任意一点，若，若ABCP四点共面，则______________．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
故答案为：.
13. 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，，利用计算可得结论.
【详解】因为平面，平面，所以，，
所以，，

因为，所以，
因为，所以，
因为，
．
故答案为：.
14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】利用等和面定理求解即可.
【详解】如图，取的中点，连接AE交于点．

因为M，N分别是的中点，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面EMN，所以平面平面，
点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，．
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；
【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以
（2）由（1）可知，所以，所以
16. 在正方体中，设，，，，分别是，的中点．
（1）用向量，，表示，；
（2）若，求实数，，的值．
【答案】（1），
（2），，．
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；
（2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可．
【小问1详解】
连接，则交于点，
，
．
【小问2详解】
连接，
，
又，所以，，．
17. 如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.
（1）求的值；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.
【小问1详解】
中，，，，
根据余弦定理，.
小问2详解】
如图，以点原点，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
,，
设异面直线与所成角为，
则
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18. 如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，，通过底面，证明，然后推出平面，即可证明平面平面；
（2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可求出正弦值．
【小问1详解】
证明：在图中，，是的中点，，
而，，故为二面角的平面角，
又为直二面角，，
而平面，故平面，
而平面，，且，平面，
因此平面，又平面，平面平面.
【小问2详解】
以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，A1,0,0，，，，
因，所以，那么，
设平面的法向量，
由且，得，取，则，
设平面的一个法向量，，
则，即，令，则，所以，
于是，
所以二面角的正弦值为．
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
（3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）直线在平面内，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证；
（2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内；
（3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得.
【小问1详解】
因为⊥平面，平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
在底面中，过作，交于，
由题意可知，又平面，
则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系.
则，，，，
、、、.
，，，
若平面，则且，使得，
则有，解得，故.
所以直线平面.
小问3详解】
由（2）可知，.
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，有，故.
故
，
令，则
，
而，，
故.