重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数满足（为虚数单位），则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知，是两个不同平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
3. “直线与平行”是“”（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
4. 已知两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
5. 圆关于直线对称，则实数（ ）
A. 1B. -3C. 1或-3D. -1或3
6. 直线与圆交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆及直线，下列说法正确的是（ ）
A. 圆被轴截得的弦长为2
B. 直线过定点
C. 直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为
D. 直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的选项中，有多项
9. 在边长为2的正方形中，分别为，的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
10. 如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（ ）
A. 平面
B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C. 在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为
D. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3
11. 已知圆和圆，．点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，圆和圆没有公切线
B. 当圆和圆有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值
C. 圆与轴交于，，若圆上存在点，使得，则
D. 圆和外离时，若存在点，使四边形面积为，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答題卡相应位置上．
12. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则____．
13. 已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为______________．（写出一条即可）
14. 台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大，_________小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵．
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点．
（1）若为的中点，且，求；
（2）若平分，且的面积为，求的长．
16. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点，为边上靠近的三等分点，且．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 圆心为的圆经过A0,3，B2,1两点，且圆心在直线上．
（1）求圆标准方程；
（2）过点作圆的相互重直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值．
18. 如图、三棱锥中，平面，为中点，，，．
（1）证明：面面；
（2）若点到面的距离为，证明：；
（3）求与面所成角的正弦值的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中，已知圆C：，，是圆上的动点，且，的中点为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点A是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值；
（3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合），求证：直线过定点．