重庆市万州第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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满分：150分，时间：120分钟
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得.
【详解】对于①，显然正确；
对于②，是无理数，故②正确；
对于③，是自然数，故③正确；
对于④，是无理数，故④错误.
故正确个数为3.
故选：C.
2. 高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】设两项都合格的人数为，然后根据题意列方程求解即可.
【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得
，解得，
即这两项成绩都合格的人数是4.
故选：B
3. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
4. 下列各组函数相等的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
5. 满足⫋的集合A的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可知集合中必有，集合还可以有元素，写出集合的所有情况即可求解.
【详解】因为集合满足⫋，
则集合中必有，集合还可以有元素，
满足条件的集合有，共7个.
故选：B
6. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可.
【详解】解：由题设，，
当且仅当时等号成立，
∴要使恒成立，只需，
∴，
∴.
故选：B.
7. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A. 1B. C. D. 与的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．
【详解】由题意，若，，
，
，
，
综上，集合.
所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.
【详解】由题意可知：均为正实数，
设，则，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，所以的最小值为2.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”充分不必要条件
C. 若，则“”的充要条件是“”
D. 若，则“”是“”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误;
对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确;
对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误；
对于D 选项，且，故D正确，
故选：BD .
10. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【详解】对A，若，则，两边同时除以，
所以，A错误；
对B，由可得，B正确；
对C，因为，
所以，
即，C正确；
对D，由可得，，
所以，D正确．
故选：BCD.
11. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于B，令，
若，，，，当时取等号，
所以，则，则的最大值为，故B错误；
对于C，函数，
令，当时，解得，不满足题意，故C错误；
对于D，若，，且，
所以，
当时，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABC.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合抽象函数与具体函数定义域的求法，解不等式组即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
要使有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
13. 已知，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式性质求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以.
故答案为：.
14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】对方程的两个根进行分类讨论，求出不等式的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求的取值范围.
【详解】令，解得或.
当，即时，不等式解得，
则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式解得，
则不等式中的两个整数解为0和-1，有，解得.
综上，的取值范围是或.
故答案为：或.
【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若、有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，若为真，即即可求解；
（2） 由、一真一假，分别讨论两种情况即可.
【小问1详解】
对于命题，因关于的方程无实数根，
所以，即.
因为真，故实数的取值范围为.
【小问2详解】
若命题为真，因关于的方程有两个不相等的实数根，
所以，即或.
、有且仅有一个为真命题，所以、一真一假，
当真假时， ，即或；
当假真时， ，即.
综上所述：实数的取值范围为.
16. 已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17. 已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；
（2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.
小问1详解】
将的替换为得，
联立
解得
【小问2详解】
不等式为，化简得，
要使其在上恒成立，则，
，
当且仅当取等，所以．
18. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为.
（3）
【解析】
【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式；
（2）通过分类讨论的范围即可解出不等式；
（3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
由题意，
当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意;
当, 即 时, 的解集为 ,
，即
故 时, .
综上，.
【小问2详解】
由题意得,
在, 即 ,
当 , 即 时, 解集为 ;
当 , 即 时, ,
即 解集为 ；
当 , 即 时, ,
解集为 .
综上，当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集.
【小问3详解】
由题意，
, 即 ,
恒成立,
∴,
设 , 则
,
, 当且仅当 时取等号,
, 当且仅当 时取等号,
当 时, ,
，
∴的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式。考查学生分析问题的能力，分类讨论的能力，具有很强的综合性.
19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：． 证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）若，解关于的方程．
（3）若正数，满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解；
（2）将代入方程后化简计算即可得解；
（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值．
【小问1详解】
由题意得；
【小问2详解】
由，
故原方程可化为：，
即：，
，即，解得：；
【小问3详解】
由，则有
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，即有最小值．