湖南师大附中2023届高三月考试卷(二)数学试卷及参考答案

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第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若以集合的四个元素为边长构成一个四边形, 则这个四边形可能是
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
2. 在复平面内, 复数所对应的点的坐标为(1,-1), 则
A. 2B. C. D.
3. 设点不共线, 则“与的夹角是锐角”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的图象大致形状为
5. 圆内接四边形中,是圆的直径, 则等于
A. 12B. -12C. 20D. -20
6. 在三棱锥中,底面, 底面是边长为的正三角形,为的中点, 球是三棱锥的外接球, 若是球上一点, 则三棱锥的体积的最大值是
A. 2B. C. D.
7. 函数, 已知为图象的一个对称中心, 直线 为图象的一条对称轴, 且在上单调递减. 记满足条件的所有的值的和为, 则的值为
A. B. C. D.
8.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义,只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年,到了3世纪,希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明.他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线;当时，轨迹为椭圆;当时,轨迹为抛物线;当时，轨迹为双曲线:现有方程表示的曲线是双曲线,则的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知数列满足, 则下列结论中正确的是
A. B. 为等比数列
C. D.
10. 已知是两个随机事件,, 下列命题正确的是
A. 若相互独立,
B. 若事件, 则
C. 若是对立事件, 则
D. 若是互斥事件, 则
11. 已知, 下列结论正确的是
A.
B. 当时, 设, 则
C. 当时,中最大的是
D. 当时,
12. 已知定义在上的函数满足: 当时,, 且当时, , 则下列说法正确的是
A.
B. 在上单调递减
C. 若, 则
D. 若是在区间(0,2)内的两个零点,且,则
第Ⅱ卷
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.
13. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3 个项目进行培训,每名志愿者只分配到 1 个项目,每个项目至少分配1名志愿者, 则不同的分配方案共有_____种.
14. 已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线相交于两点,分别过两点作的切线,且相交于点,则面积的最小值为_____.
15. 已知四面体的各条棱长都为 2 ,其顶点都在球的表面上,点满足,过点作平面,则平面截球所得截面面积的取值范围是_____.
16. 已知函数的图象关于点对称,且, 若在上没有最大值, 则实数的取值范围是 _____.
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)
的内角的对边分别为, 已知.
(1)求;
(2)若, 证明:是直角三角形.
18. (本小题满分 12 分)
己知数列中,是数列的前项和, 且.
(1) 求, 并求数列的通项公式;
(2) 设, 数列的前项和为, 若对任意的正整数都成立, 求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 12 分)
如图, 在四棱锥中, 底面为直角梯形, 其中,平面, 且, 点在棱上, 点为中点.
(1)证明: 若, 直线平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)是否存在点, 使与平面所成角的正弦值为? 若存在求出值; 若不存在,说明理由.
20. (本小题满分 12 分)
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果, 需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到 200 只小白鼠体内,一段时间后测量小白鼠的某项指标值,按分组,绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只,其中该项指标值不小于60 的有110只.
假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验,判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60 有关.
单位：只
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗,结果又有20只小白鼠产生抗体.
( i )用频率估计概率,求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率;
(ⅱ)以(i)中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验,记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量. 试验后统计数据显示, 当时,取最大值, 求参加人体接种试验的人数及.
参考公式: (其中为样本容量).
21. (本小题满分 12 分)
已知, 直线的斜率之积为, 记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2) 直线与曲线交于两点,为坐标原点, 若直线的斜率之积为, 证明: 的面积为定值.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数.
(1) 求证: 当时,;
(2) 已知函数有 3 个不同的零点.
(i) 求证:;
(ⅱ) 求证:(是自然对数的底数).
湖南师大附中2023届高三月考试卷(二)
数学参考答案
13. 150
14. 16
15.
16.
17．【解析】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
18．【解析】（1）在中，
，则，即，得，
由得：
当时，，
化简得，
即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，
所以.
又因为，所以，
所以，.
当时，，
对也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以
.
因为，
所以在上单调递增，
所以的最小值为.
因为对任意的正整数都成立，
所以，
即.
所以实数的取值范围是.
19．【解析】（1）
如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，
，
又，，
，四边形为平行四边形，
，
又，，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）
如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3）
存在，或
假设存在点，设，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
则，，
则，
，
解得或，
故存在点，此时或.
20．【解析】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有(只)；在内有(只)；
在内有(只)；在内有(只)；
在内有(只)．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只：而指标值小于60的小白鼠共有只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（2）
①令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率为0.9．
②由题意，知随机变量，,
因为最大，
所以由可得，
解得，因n是整数，故或，
所以接受接种试验的人数为109或110,
当接种人数为109时，；
当接种人数为110时，
21．【解析】（1）设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，
化简得 ；
（2）
直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立化简得，
设，
则，
，
所以
化简得
则，
又到的距离，
所以，为定值.
当直线的斜率不存在时，可设 ，
则，且，解得，此时，
综上，的面积为定值.
22．【解析】（1）
①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时，
（2）
，
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上:
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
A
B
C
A
C
AD
ABD
AD
ACD
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200