长郡中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（答案解析）

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得分：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第 Ⅰ 卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象大致为（ ）
A B C D
4．点A的坐标为（1，3），将点A绕原点逆时针旋转后到达C点位置，则C的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8B．10C．12D．14
6．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间（，1）上，是增函数B．当x=2时，取到极小值
C．在区间（1，3）上，是减函数D．在区间（4，5）上，是增函数
7．已知函数，．若存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数（）在（，）上单调，且在（0，）上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A．复数z的虚部为iB．复数为纯虚数
C．复数z的共轭复数对应的点在第四象限D．复数z的模为
10．如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，，．设在上的投影向量为，则下列命题正确的是（ ）
A．的值为B．的值为C．D．
11．已知定义在R上的函数满足，，且当，时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线x=1对称
B．当时，
C．当时，单调递增
D．
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值B．函数有且只有1个零点
C．在（0，1）上单调递减D．设，则
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中的系数为________．
14．已知随机变量X服从正态分布，且，则________．
15．若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是________．
16．费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120°．已知△ABC的三个内角均小于120°，P为△ABC的费马点，且PA+PB+PC=3，则△ABC面积的最大值为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设函数．
（1）画出的图象；
（2）当时，，求的最小值．
18．（12分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角C；
（2）CD是∠ACB的角平分线，若CD=，△ABC的面积为，求c的值．
20．（12分）设平面向量a=（，），b=（，），函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若锐角满足，求的值．
21．（12分）某靶场有A、B两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A、B两种型号的步枪的命中率分别为，．
（1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用B型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
（2）现在A、B两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用A、B两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记X为射击的次数，求X的分布列与数学期望．
22．（12分）已知函数，且当时，的最大值为．
（1）当时，求的图象在点（1，）处的切线方程；
（2）当时，证明：的极大值小于．