湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学试题及参考答案

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有--项是符合题目要求的.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.
三、填空题:本题共4小题, 每小题5分,共20分.
13、 16
14、
15、
16、
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分)【解析】 (1) 当时,,
当时, 由, 可得,
两式相减可得,,
即有,即为数列为第二项起为等比数列,
则，
即有
(2) , 可得,
则
即有前项和为,,
两式相减可得,,
化简可得. 由于各项大于 0 , 可得
由不等式的性质可得. 故.
18. (12 分)【解析】(1) 设, 在中, 由余弦定理得: , 即而, 解得,
所以, 则的面积, 梯形中,与等高,且, 所以的面积, 则梯形的面积.
(2) 在梯形中, 设, 而,
则,
在中, 由正弦定理得:,
在中, 由正弦定理得: ,
两式相除得: ,
整理得,
即,
解得或,
因为, 则, 即.
19. (12 分)【解析】(1) 在三棱柱中, , 则由平面, 知平面, 故 , 从而,
由四边形与四边形面积相等知，
又，所以，所以，，
因为，所以四边形为平行四边形，
因为平面且平面，所以，
故四边形是矩形；
（2）
取的中点G，连结，由（1）可知，，
因为平面且平面，所以平面平面，
因为平面平面，且平面，所以平面，
取的中点H，
以G为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，
在中，因为且，所以为等边三角形，所以，
则，，所以，，
设平面的一个法向量为
则有，即，令，则，所以，
因为平面的一个法向量为所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
故二面角的正弦值为.
20. (12 分)【解析】(1) ,
$
.
(2) (i) 设池塘乙中鱼数为, 则, 解得, 故池塘乙中的鱼数为 200 .
(ii)设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法, 即求最大时的值, 其中,
当时，
当时，当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
21.（12分）【解析】
（1）所以椭圆的方程为
（2）①当斜率为 0 或不存在时, 对角线;
(2) 当斜率存在且不为 0 时, 设, 则,
设过且与椭圆相切的直线方程为,
则
是该方程的两个根
点在定圆上, 即均在该圆上, 其对角线为直径, 即,
综上, 矩形对角线的长度为定值.
22. (12 分)【解析】(1), 则,
显然不是的零点,
令, 则,
在单调递减, 在(0,1)单调递减, 在单调递增.
时, 时,时,时,,时, 有 1 个极值点,
时, 有 0 个极值点,时, 有 2 个极值点.
(2) 由 (1) 知,, 且在(0,1)单调递减, 在 单调递增,
先证: ,即证: ，即证: .
即证: .令,
即证:,
令则
令, 则, 则在单调递减
,, 即在单调递减,
, 证毕. 再证:,
, 且 .
在单调递增, 在单调递减, 在单调递增,
.
即证: ,
又,即证: .
令,
.
令,
,
,
令,
,
在单调递减, 在单调递增.
,
, 当时,单调递增; 当时,单调递减.
,
在单调递减, 在单调递增.
,
在单调递增, 在单调递减.
,,
,在单调递增,
,
所以原命题得证.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
C
B
C
B
D
题号
9
10
11
12
答案
AB
ABD
AC
AD
0
1
2