人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品随堂练习题

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常见考法
考点一 判断是否为等差数列
【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．10，8，6，4，2
【答案】C
【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足 SKIPIF 1 < 0 （常数），所以是等差数列；
B中， SKIPIF 1 < 0 （常数），所以是等差数列；
C中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足 SKIPIF 1 < 0 （常数），所以是等差数列.故选：C.
根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可
【一隅三反】
1．（2019·山西应县一中期末（理））若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．
B: SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 与n有关系，因此不是等差数列.
C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；
D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C
2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ）
① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，…
③ 0，0，0，0，… ④ SKIPIF 1 < 0 …
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】第一个数列是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.第四个是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.故有 SKIPIF 1 < 0 个等差数列，所以选C.
3．（2020·全国课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，c为常数，那么下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列时，不一定是等差数列
B．若 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列时，一定不是等差数列
C．若是等差数列时， SKIPIF 1 < 0 一定是等差数列
D．若不是等差数列时， SKIPIF 1 < 0 一定不是等差数列
【答案】D
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；
对于数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；
当c为0时， 0，0，0，0是等差数列，但 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，C错．故选D．
考点二 求等差数列的项或通项
【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由 SKIPIF 1 < 0 =4， SKIPIF 1 < 0 确定的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，当an=28时，序号 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．9B．10C．11D．12
（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D． SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故选：A；（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：C
【一隅三反】
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．5
C．11D．13
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 =2， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．96B．98C．100D．102
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 =2， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：D
3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以5为首项，3为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
考点三 等差中项
【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则a,b的等差中项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
【答案】（1）A（2）16
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
（2）由题可得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
【一隅三反】
1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】60；
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：60
2．（2020·全国其他（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为6，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为6，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项为 SKIPIF 1 < 0 ，则此数列的首项 SKIPIF 1 < 0 =______ ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点四 证明数列为等差数列
【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}满足当n＞1时，an＝ SKIPIF 1 < 0 ，且a1＝ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见证明；(2) a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
【解析】(1)证明：根据题意a1＝ SKIPIF 1 < 0 及递推关系an≠0.因为an＝ SKIPIF 1 < 0 .取倒数得 SKIPIF 1 < 0 ＋4，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝4(n＞1)，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)解：由(1)，得 SKIPIF 1 < 0 ＝5＋4(n－1)＝4n＋1， SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，解得n＝11.
所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列。
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值。
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 。
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 。所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列。
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 。
2．（2019·全国课时练习）已知数列中，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项和最小项．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．
【解析】（1）因为，，
所以
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知，则．
设，则在区间和上为减函数．
所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．
故数列中的最小项为且，最大项为且．
3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝ SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1) 见证明；(2) an＝ SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即bn＋1－bn＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴{bn}是等差数列．
(2)∵b1＝1，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴an＝ SKIPIF 1 < 0 .
考点五 等差数列的单调性
【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，即充分性成立；若数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性成立，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的充分必要条件.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3B．d SKIPIF 1 < 0 C．3≤d SKIPIF 1 < 0 D．3【答案】D
【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
2．（2020·北京怀柔·高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则下面不一定成立的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】利用等差数列的单调性可得：若 SKIPIF 1 < 0 ，所以公差 SKIPIF 1 < 0 ，所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，∴A，B正确；则 SKIPIF 1 < 0 不一定成立，例如 SKIPIF 1 < 0 时不一定成立，∴D不一定成立；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立，∴C正确.故选：D
3．（2020·上海市实验学校高三月考）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】∵等差数列是递增数列，且，∴
又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.
4.2.1 等差数列的概念
题组一 判断数列是否为等差数列
1．（2020·河北运河·沧州市一中月考）下列说法正确是（ ）
A．常数列一定是等比数列B．常数列一定是等差数列
C．等比数列一定不是摆动数列D．等差数列可能是摆动数列
【答案】B
【解析】对于A选项，各项均为 SKIPIF 1 < 0 的常数列不是等比数列，A选项错误；
对于B选项，常数列每一项都相等，则常数列是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，B选项正确；
对于C选项，若等比数列的公比 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该等比数列为摆动数列，C选项错误；
对于D选项，若等差数列的公差 SKIPIF 1 < 0 ，则该等差数列为递增数列；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则该等差数列为常数列；若 SKIPIF 1 < 0 ，则该等差数列为递减数列.
所以，等差数列一定不是摆动数列，D选项错误.故选：B.
2．（2020·吉林南关·长春市实验中学高一期末（理））设a，b，c分别是 SKIPIF 1 < 0 内角A，B，C的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成公差不为0的等差数列，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等比数列D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等比数列
【答案】B
【解析】∵a，b，c分别是 SKIPIF 1 < 0 内角A，B，C的对边，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成公差不为0的等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列.故选：B.
3．（2019·佛山市南海区桂城中学月考）下列叙述正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相同的数列B． SKIPIF 1 < 0 是常数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项 SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
【答案】D
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 各项顺序不同，不是相同的数列，故 SKIPIF 1 < 0 错误；数列 SKIPIF 1 < 0 是摆动数列，故 SKIPIF 1 < 0 错误；数列 SKIPIF 1 < 0 ，通项 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误； SKIPIF 1 < 0 单调递增，则数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故 SKIPIF 1 < 0 正确.本题正确选项： SKIPIF 1 < 0
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，对一切 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列.故选：B.
5．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则此数列是（ ）
A．公差为-1的等差数列B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴{a n}是公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列． 故选：A
题组二 求等差数列的通项或项
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在等差数列{an}中，若 SKIPIF 1 < 0 ，公差d=2，则a7=（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】A
【解析】因为等差数列{an}中，且 SKIPIF 1 < 0 ，公差d=2，所以a7=a3+4d=7.故选：A
2．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中一定为零的项是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
3．（2020·北京平谷·期末）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．17B．9C．10D．24
【答案】B
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
4．（2019·全国高一课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则公差 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】等差数列中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5（2019·全国高二课时练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题,等差数列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选A
6．（2020·陕西商洛·期末（文））若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题组三 等差中项
1．（2020·上海高二课时练习）已知一等差数列 SKIPIF 1 < 0 中依次的三项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】2
【解析】由等差中项定义得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故答案为：2.
2．（2020·全国高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】0或1
【解析】由题, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或0故答案为：0或1
3．（2020·甘肃武威十八中高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
4．（2020·全国高一课时练习）已知（1，3），（3，-1）是等差数列 SKIPIF 1 < 0 图像上的两点，若5是p，q的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设等差数列通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点的坐标得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【解析】由等差中项的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
6.（2020·全国月考）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
题组四 证明数列为等差数列
1．（2020·全国高三课时练习（理））数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +1，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =1，所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 =1为首项，1为公差的等差数列.
2．（2020·上海高二课时练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求出其公差；
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是否是数列 SKIPIF 1 < 0 中的项，如果是，是第几项？
【答案】（1）证明见解析，公差为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 是该数列的第 SKIPIF 1 < 0 项， SKIPIF 1 < 0 不是该数列中的项.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且公差为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 是该数列的第 SKIPIF 1 < 0 项， SKIPIF 1 < 0 不是该数列中的项.
3．（2019·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）0.98是不是这个数列中的一项？
（2）判断此数列的单调性，并求最小项.
【答案】（1）是第7项（2）递增数列， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,可解得 SKIPIF 1 < 0 ,故为第7项
（2）由题, SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是递增数列, SKIPIF 1 < 0 的最小项为 SKIPIF 1 < 0
4．（2019·全国课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)证明：∵an＝4－ (n≥2)，∴an＋1－2＝2－＝ (n≥1)．
∴＝＝＋ (n≥1)，即bn＋1－bn＝ (n≥1)．∴{bn}为等差数列．
(2)解：∵为等差数列，∴＝＋(n－1)·＝.
∴an＝2＋.∴{an}的通项公式为an＝2＋
5．（2020·全国高一课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列。
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式。
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）证明：由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又易知 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列。
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 。
题组五 数列的单调性
1．（2020·河南高二期中（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 为整数，首项为13，从第五项开始为负，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．-4B．-3C．-2D．-1
【答案】A
【解析】在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵公差 SKIPIF 1 < 0 为整数， SKIPIF 1 < 0 ．故选A．
2．（2020·四川广安·高一期末（理））已知数列{an}的通项公式an＝n＋ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)，则数列{an}的最小项是 ( )
A．a12B．a13C．a12或a13D．不存在
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数的性质可得：当 SKIPIF 1 < 0 时,函数f(x)单调递增;当 SKIPIF 1 < 0 时,函数f(x)单调递减。∴数列{an}的最小项是a12=25与a13=25中的最小值，因此数列{an}的最小项是a12或a13.本题选择C选项.
3．（2020·全国高一课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 不大于 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，选B.
4.（2020·全国高二课时练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，公差 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，下列关系式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.