[数学]安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考试题(解析版)

这是一份[数学]安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考试题(解析版)，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以或，
所以.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由全称命题的否定为特称命题可得，
命题“”的否定是.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，
由能推出，但推不出，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 如果，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，且，所以或，
对于A，当时，故A错误；
对于B，若，则，此时，故B错误；
对于C，因为，所以，
又因为或，所以不为0，所以，故C错误；
对于D，因为，且，所以，，故D正确.
故选：D.
5. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，恒成立，
即恒成立，
又因为，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以的最大值为.
故选：A.
6. 已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，又，
所以解得：.
故选：D.
7. 若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】∵正实数x，y满足，，
∴，当且仅当取等，
设 ，∴，
∴，即，，∴，
故最小值为2.
故选：A．
8. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可变形为，
即，
化简可得恒成立，
所以恒成立，
化简可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，不妨令，，满足，，不满足，故A错误；
对于B，，由不等式的性质知，B正确；
对于C，由不等式的性质知，若则所以，故C正确；
对于D，由不等式的性质知，若，，则，故D正确.
故选：BCD.
10. 若，，，且，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】BD
【解析】对于A，由，则，
由，当且仅当时等号成立，
可得，解得，故A错误；
对于B，由，
当且仅当时，等号成立，则，故B正确；
对于C、D，由，
由题意以及选项B可知：，且，
故C错误，D正确.
故选：BD.
11. 设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（ ）
A. 数域中必含有0，1两个数
B. 集合是一个数域
C. 有理数集是一个数域
D. 数域中必含有
【答案】ACD
【解析】对于A，数域中必须有一个非零元素，令，则，
所以任何数域中均含有两个数，所以选项A正确；
对于B，由，而任何数域中均含有两个数，所以选项B错误；
对于C，由任何数域中均含有两个数，数域对加法封闭，所以，
所以所有的正整数都在数域中，再由数域对减法封闭，所以，
所以所有负整数都在数域中，即所有整数都在数域中；
再由数域对除法封闭，整数之间作除法，能得到所有有理数在数域中，
即有理数是最小的数域，任何数域都必须包含所有有理数，所以选项C正确；
对于D，由任何数域都必须包含所有有理数，而，所以数域中必含有，
所以选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，.若，则实数____________.
【答案】
【解析】由题意，，
若时，解得，则不成立；
若时，解得或，
当时，成立，
当时，不成立；
综上所述，.
13. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是______.
【答案】或
【解析】由题知，原命题“”为假命题，
所以命题的否定“”为真命题，
即判别式，
解得或.
14. 某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价）
【答案】30
【解析】设日利润为，则，
令，由，则，可得，
由二次函数的对称轴，当时，取得，
此时日利润最大，
故当，即时，日利润最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若，求；
（2）设集合，若的子集有8个，求的取值集合.
解：（1）当时，集合，，
由集合交集的概念及运算，可得.
（2）由（1）知，集合，
又由方程，解得或，
因为集合，若的子集有8个，可得集合有3个元素，即有3个元素，
当时，集合，符合题意；
当时，集合，符合题意；
当时，集合，符合题意；
当且且时，此时，集合，不符合题意，
所以实数的取值集合为.
16. 已知二次函数.
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，请描述函数值的变化趋势及最大值或最小值.
解：（1）因为，
所以函数的图象由函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
向下平移个单位长度可得.
（2）由（1）可得函数图象开口向上，其对称轴为，
当时，函数值随自变量的增大而减小；
当时，函数值随自变量的增大而增大；
当时，函数值取到最小值，为，无最大值.
17. 已知：关于的不等式的解集为，：不等式的解集为.
（1）若，求；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
解：（1）由题知：当时，，解得，所以，
又，所以，解得，所以，
所以.
（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，
由（1）知，，
时，集合，
所以，则，又时，，符合是的真子集，
时，，符合是的真子集，所以，
综上，实数的取值范围为.
18. （1）当时，求的最小值；
（2）已知，，都是正数，且，求证：.
解：（1），，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，函数的最小值为.
（2），且，
，
当且仅当，
即时，等号成立，
故.
19. 设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质.
（1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由；
（2）已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可）
（3）已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10.
解：（1）对于集合，
因为，所以集合不具有性质.
对于集合，
因为，
所以集合具有性质.
（2）以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)：
，
，
取其中3个，
证明：满足题意，因为，，，
，，，
则具有性质，同理可证明满足题意
（3）将集合分成如下的5个集合：
.
要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个.
以为例，该集合超过2个元素的子集有：
，
因为，则这些子集均不具有性质.
其余4个集合同理.
因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个.
综上，集合中的元素个数不大于10.