[数学]浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考试题(解析版)

这是一份[数学]浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，.
故选：D.
2. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为，
所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个.
故选：D.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可得或；
由可得且，
所以由不能推出，但由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知，那么的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，所以.
故选：A.
5. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题“”的否定是“”.
故选：B.
6. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】因为，即，
又因为，当且仅当时，等号成立，
若，，即，
所以实数a可取的最小整数值是.
故选：A.
7. 已知关于不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于不等式的解集为
【答案】D
【解析】原不等式等价于，
因为解集为，
所以和分别是和的实数根，
故且，，故A错误；
因为，，所以点在第三象限，故B错误；
，由于开口向下，
故最大值为，故C错误，
由得即解集为，故D正确．
故选：D．
8. 若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（ ）
A. “权集”中一定有1B. 为“权集”
C. 为“权集”D. 为“权集”
【答案】B
【解析】因为，，都属于数集，是“权集”，
所以“权集”中不一定有1，所以A错误；
因为都属于数集，为“权集”，所以B正确；
因为与均不属于数集，不为“权集”，
所以C错误；
因为与均不属于数集，不为“权集”，所以D错误.
故选：B.
二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．
9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】对A，，满足的描述，所以，符合；
对B，，不满足的描述，则，不符合；
对C，，满足的描述，，符合；
对D，，不满足的描述，则，不符合.
故选：AC.
10. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.
B. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.
C. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于.
D. 金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为，则.
【答案】AD
【解析】对于选项A：设周长为，则圆的面积为，
正方形的面积为，
因为，可得，即，故A正确；
对于选项B：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购，
第二次购物时的价格为元/kg，购，两次购物的平均价格为；
若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，
第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为.
比较两次购的平均价格：
，
当且仅当时，等号成立，
所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，
故B错误；
对于选项C：设这两年的平均增长率为，
则，可得，
因为，即，
当且仅当，即时，等号成立，
即这两年的平均增长率不大于，故C错误；
对于选项D：设天平左臂长为，右臂长为，且，
左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克，，解得，
，当且仅当时，取到等号，
由于，所以，故D正确.
故选：AD.
11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】对于A：因为，则，当且仅当，
即时取等号，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C：因为，则，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误.
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人．
【答案】
【解析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示：
由韦恩图可的，解得.
因此，同时参加田赛和径赛的有人.
13. 甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时．
【答案】50
【解析】设汽车速度为千米/时，运输成本为
，
∴当且仅当，即时，运输成本最小．
14. 若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题意，
由，则时取等，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
解：设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，
则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为
，
当且仅当，即，时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
16. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由题意可知，
若故，
或．
（2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17. 如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.
试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
解：因为是梯形的中位线，所以；
因为梯形与梯形相似，所以，
所以；
因为，所以，
所以，所以，
所以，
设梯形， 的面积分别为 ，高分别为，
则，，
所以，
所以，所以；
由图可知，，
即；
证明：显然，，
因为，所以，
所以，所以.
18. 已知二次函数
（1）若的解集为，解关于的不等式；
（2）若且，求的最小值；
（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
解：（1）由已知的解集为，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式解集为.
（2）因为，所以，
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
（3）因为对任意，不等式恒成立，
所以，，所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知集合非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
（1）若集合，直接写出集合S、T；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
解：（1）因为集合，，，
所以由，可得，
，可得．
（2）由于集合，，
则T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．