初中数学华东师大版（2024）九年级上册24.4 解直角三角形复习练习题

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册24.4 解直角三角形复习练习题，共16页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
“双直角三角形”模型：“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形，
其位置关系有两种：

叠合式 背靠式
典例精讲
例1 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.
例2 如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从A地到B 地经过C 地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶. 已知 AC = 10 千米，∠A = 30°，∠B = 45°. 则隧道开通后，汽车从 A地到B 地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
分层练习
1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A．50B．51C．50+1D．101

2．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离为 ．
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为 ．
4．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．
5．如图，在高度是21米的小山A处没得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为何45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）
6．如图：007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若007渔船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在东北方向上．问：007渔船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？
7．如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
8．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
9．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．
备用数据：，．
10．如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝1：，若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
11．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
参考答案与试题解析
例1．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．
【分析】易得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，利用相应的正切值可得AO，BO的长，相减即可得到AB的长．
【解答】解：由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，
∴∠ACO＝30°，
∵OA＝1500×tan30°＝1500×＝500（m），OB＝OC＝1500（m），
∴AB＝（1500﹣500）（m）．
答：隧道AB的长为（1500﹣500）m．
例2．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC＝10，∠A＝30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，∠A＝30°，
∴DC＝ACsin30°＝5（千米），
AD＝ACcs30°＝5（千米），
在Rt△BCD中，
∵∠B＝45°，
∴BD＝CD＝5（千米），BC＝5（千米），
则用AC+BC﹣（AD+BD）＝10+5﹣（5+5）＝（5+5﹣5）（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．
分层练习
1.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A．50B．51C．50+1D．101
【分析】设AG＝x米，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF＝100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．
【解答】解：设AG＝x米，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG＝，
∴EG＝＝x（m），
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x（m），
∴x﹣x＝100，
解得：x＝50．
则AB＝（50+1）米．
故选：C．
2．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【解答】解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝90米，
EF∥AB，CD⊥AB于点D．
∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°．
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝＝90×＝90（米）．
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝，
∴DB＝＝30（米）．
∴AB＝AD+BD＝90+30＝120（米）．
答：建筑物A、B间的距离为120米．
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为 3+ ．
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+．
故答案为：3+．
4．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750 米．
【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×25＝750（米），
∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750（米）．
故答案为：750．
5．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝ （21+7） 米（结果可保留根号）
【分析】作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．
【解答】解：作AE⊥CD于点E．
在直角△ABD中，∠ADB＝45°，
∴DE＝AE＝BD＝AB＝21（米），
在直角△AEC中，CE＝AE•tan∠CAE＝21×＝7（米）．
则CD＝（21+7）米．
故答案为：（21+7）．
6．如图：007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若007渔船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在东北方向上．问：007渔船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，CD的长即为所求解，设CD长为x，根据已知方向角，利用三角函数，求出BD和AB与x的关系，再利用速度＝路程÷时间，列式计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，
设CD长为x，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝60°，tan∠ACD＝，
∴AD＝，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
∴AB＝AD﹣BD＝，
设渔政船从B航行到D需要t小时，则，
∴，
∴解得：t＝，
答：007渔船再按原航向航行小时后，离渔船C的距离最近．
7．如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
【分析】作AE⊥BC于E，设BE＝x，利用正切的定义用x表示出EC，结合题意列方程求出x，计算即可．
【解答】解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AD＝CE，
设BE＝x，
在Rt△ABE中，tanBAE＝，
则AE＝＝x，
∵∠EAC＝45°，
∴EC＝AE＝x，
由题意得，BE+CE＝120，即x+x＝120，
解得，x＝60（﹣1），
∴AD＝CE＝x＝180﹣60，
∴DC＝180﹣60，
答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60）米．
8．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
9．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．
备用数据：，．
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则x﹣x＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
10．如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝1：，若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．
【解答】解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝1：，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD＝＝10米，
∴AD＝BD﹣AB＝（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32＝10.32＞10，
∴需要拆除．
11．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
【分析】（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（2）由题意得：QN＝7m，在Rt△△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF＝53°，然后利用线段的和差关系求出QG＝3m，从而在Rt△PQG中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠QPG的值，进而求出∠QPG的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，
由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，
在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5m，
∴PF＝PM•sin37°≈5×＝3（m），
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4（m），
∴点P到地面的高度约为4m；
（2）由题意得：QN＝7m，
在Rt△△PFM中，∠PMF＝37°，PF＝3m，
∴∠MPF＝90°﹣∠PMF＝53°，FM＝≈＝4（m），
∴FM＝GN＝4m，
∴QG＝QN﹣GN＝7﹣4＝3（m），
在Rt△PQG中，tan∠QPG＝＝，
∴∠QPG≈37°，
∴∠QPM＝∠QPG+∠MPG＝90°，
∴∠QPM的度数约为90°．