河北石家庄石门实验学校2024-2025学年数学九上开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份河北石家庄石门实验学校2024-2025学年数学九上开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于一组数据：1，5，6，3，5，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是4B．众数是5C．中位数是6D．方差是3.2
2、（4分）一次函数y＝ax＋1与y＝bx－2的图象交于x轴上同一个点，那么a∶b的值为( )
A．1∶2 B．－1∶2 C．3∶2 D．以上都不对
3、（4分）已知函数y=kx-k的图象如图所示，则k的取值为( )
A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0
4、（4分）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BC
C．点D是线段AC的中点D．AD＝BD＝BC
6、（4分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是（ ）
A．2：7：2：7B．2：2：7：7C．2：7：7：2D．2：3：4：5
7、（4分）下列各因式分解的结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,EF经过对角线的交点O,则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6B．12C．15D．24
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）平行四边形的对角线长分别是、，则它的边长的取值范围是__________．
10、（4分）已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．
11、（4分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的______________（填”平均数”“众数”或“中位数”）
12、（4分）使根式有意义的x的取值范围是___．
13、（4分）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．
（1）求出y与m之间的函数关系式；
（2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
15、（8分）如图，将一个三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点．
（1）当点在边上时，过点作分别交，于点，，证明：；
（2）当点在线段的延长线上时，设、两点间的距离为，的长为．
①直接写出与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围；
②能否为等腰三角形？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由．
16、（8分）计算：
（1）
（2）
（3）（3+）（3﹣）
（4）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0
17、（10分）我们给出如下定义，如果一个四边形有一条对角线能将其分成一个等边三角形和一个直角三角形，那么这个四边形叫做等垂四边形，这条对角线叫做这个四边形的等垂对角线.
（1）已知是四边形的等垂对角线，，均为钝角，且比大，那么________.
（2）如图，已知与关于直线对称，、两点分别在、边上，，，.求证：四边形是等垂四边形。
18、（10分）（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．
（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．
（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一根木杆在离地米处折断，木杆的顶端在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为__________米.
20、（4分）将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第_____象限．
21、（4分）若关于x的方程x2+mx-3=0有一根是1，则它的另一根为________.
22、（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
23、（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么的取值范围是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）用适当的方法解方程.
（1） （2）
25、（10分）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线（）上，且，
（1）若，求，的值；
（2）若该抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，试求出，的数量关系；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过，点的对应点，当时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
26、（12分）已知在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=2AO；(1)如图1,求∠BAC的度数；(2)如图2,P为菱形ABCD外一点,连接AP、BP、CP,若∠CPB=120°,求证:CP+BP=AP；(3)如图3,M为菱形ABCD外一点,连接AM、CM、DM,若∠AMD=150°,
CM=2，DM=2，求四边形ACDM的面积。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
解：A．这组数据的平均数是（1+5+6+3+5）÷5=4，故本选项正确；
B．5出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项正确；
C．把这组数据从小到大排列为：1，3，5，5，6，最中间的数是5，则中位数是5，故本选项错误；
D．这组数据的方差是： [（1﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2]=3.2，故本选项正确；
故选C．
考点：方差；算术平均数；中位数；众数．
2、B
【解析】
试题分析：先根据x轴上的点的横坐标相等表示出x的值，再根据相交于同一个点，则x值相等，列式整理即可得解．
解：∵两个函数图象相交于x轴上同一个点，
∴y=ax+1=bx﹣1=0，
解得x=﹣=，
所以=﹣，
即a：b=（﹣1）：1．
故选B．
3、A
【解析】
根据一次函数的性质：当k＜0时，函数y=kx-k中y随着x的增加而减小，可确定k的取值范围，再根据图像与y轴的交点即可得出答案．
【详解】
由图象知：函数y=kx-k中y随着x的增大而减小，
所以k＜0，
∵交与y轴的正半轴，
∴-k＞0，
∴k＜0，
故选：A．
考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解图象与系数的关系，难度不大．对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 当b＞0，图像与y轴的正半轴相交，当b<0，图像与y轴的负半轴相交.
4、A
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
A、它的分母中含有字母，是分式，故本选项正确．
B、它的分母不中含有字母，不是分式，故本选项错误．
C、它的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误．
D、它的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误．
故选：A．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
5、C
【解析】
分析：由△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=BD，继而可求得∠ABD，∠DBC的度数，则可得BD平分∠ABC；又可求得∠BDC的度数，则可证得AD=BD=BC；可求得△BDC的周长等于AB+BC．
详解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=(180°－36°)÷2=72°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC；故A正确；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC=AD，故D正确；
△BDC的周长等于BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=AB+BC；故B正确；
∵AD=BD＞CD，∴D不是AC的中点，故C错误．故选C．
点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
6、A
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是2：1：2：1．
故选：A．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用．
7、C
【解析】
将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．
【详解】
=a（a+1）（a-1），故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
不能分解因式，故D错误，
故选：C．
此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．
8、B
【解析】
试题解析：在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为=1．
故选B．
考点：矩形的性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．得两条对角线的一半分别是5，8；再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．进行求解．
【详解】
根据平行四边形的性质，得对角线的一半分别是5和8.
再根据三角形的三边关系，得.
故答案为.
本题考查了三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键.
10、x≥1．
【解析】
试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．
故答案为x≥1．
考点： 一次函数与一元一次不等式．
11、中位数
【解析】
七名选手的成绩，如果知道中位数是多少，与自己的成绩相比较，就能知道自己是否能进入前四名，因为中位数是七个数据中的第四个数，
【详解】
解：因为七个数据从小到大排列后的第四个数是这七个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前四，即能否参加决赛．
故答案为：中位数．
考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提．
12、
【解析】
解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须
解得：
故答案为：．
13、
【解析】
连接AW，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
,
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=
又AD=AB′=1，
在RT△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°=WD
解得：WD=
∴,
则公共部分的面积为：，
故答案为.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）＝﹣200+15000（20≤m＜30）；（2） 购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元．
【解析】
（1）利润=一辆A型电动自行车的利润×A型电动自行车的数量+一辆B型电动自行车的利润×B型电动自行车的数量，依此列式化简即可；
（2）根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解；
【详解】
解：（1）计划购进A型电动自行车辆，B型电动自行车（30-）辆，
＝（2800-2500）m+（3500﹣3000）（30﹣m），
＝﹣200+15000（20≤m＜30），
（2）∵20≤＜30，且随的增大而减小可得，＝20时，有最大值，
＝﹣200×20+15000＝11000，
购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出y与m之间的函数关系式．
15、（1）见解析；（2）①．②能为等腰三角形，．
【解析】
（1）根据正方形的性质证明，即可求解；
（2）①根据题意作图，由正方形的性质可知当时，点在线段的延长线上，同理可得，得到MP=NQ，利用等腰直角三角形的性质可知MP=x，NC=CD-DN=1-x，CQ=y，代入MP=NQ化简即可求解；
②由是等腰三角形，∠PCQ=135°，CP=CQ成立，代入解方程即可求解 ，
【详解】
（1）证明：∵在正方形中，为对角线，
∴，，∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
∵，∴．
又∵，∴，
∴，
在中，
∵
∴，∴．
（2）①如图，点在线段的延长线上，
同（1）可证，
∴MP=NQ，
在等腰直角三角形AMP中，AP==x
∴MP=x=AM,
∴NC=BM=AB-AM=1-x
故NQ=NC+CQ=1-x+y
∴x=1-x+y
化简得
当P点位于AC中点时，Q点恰好在C点，又AP＜AC=
∴
∴与之间的函数关系是（）
②当时，能为等腰三角形，
理由：当点在的延长线上，CQ=，CQ=AC-AP=，
由是等腰三角形，∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=45°+90°=135°，
∴CP=CQ成立，
即时，解得．
此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定．
16、（1）-；（2）5；（3）4；（5）.
【解析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
（3）利用平方差公式计算；
（4）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义计算．
【详解】
解：（1）原式＝2﹣2+﹣3
＝；
（2）原式＝2﹣2+3+6
＝5﹣2+2
＝5；
（3）原式＝9﹣5
＝4；
（4）原式＝+2+1﹣2﹣1
＝．
本题考查了二次根式的四则混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键.
17、（1）110°或150°；（2）见解析.
【解析】
（1）由题意分∠D=90°与∠DCA=90°两种情况，并利用四边形内角和定理求解即可；
（2）连接，先利用SAS证明，再证明是等边三角形，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可.
【详解】
解：（1）或.
如图1，当∠D=90°时，设=x°，则=(x－10)°，根据四边形内角和定理可得：
x+x－10+90+60=360，解得x=110，即110°；
如图2，当∠DCA=90°时，60°+90°=150°；
故答案为或.

（2）证明：如图3，连接.
∵和关于对称，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴四边形是等垂四边形.
本题考查了轴对称的性质、四边形的内角和、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理和对新定义问题中等垂四边形的理解，弄清等垂四边形的定义、熟练掌握等边三角形的判定和性质与勾股定理的逆定理是解题的关键.
18、见解析
【解析】
试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE=DG；
应用：由AD∥BC，BE=DG，可得S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，又由AE=3ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．
试题解析：
探究：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG．
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG．
在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG．
应用：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE=DG，
∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，
∵AE=3ED，
∴S△CDE= ,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=10
∴S菱形CEFG=2S△ECG=20.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
首先根据勾股定理计算出木杆折断出到顶端的距离，在加上木杆折断出距离底面的长度，即可计算出木杆折断之前的高度.
【详解】
解：木杆折断出到顶端的距离为：
木杆折断之前的高度为：
故答案为：9
本题主要考查勾股定理的应用，关键在于确定数字表示的距离.
20、四
【解析】
根据一次函数图象的平移规律，可得答案．
【详解】
将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，得
y=5x+2，
直线y=5x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四。
此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于利用一次函数图象平移的性质
21、-1
【解析】
设方程x2+mx-1=0的两根为x1、x2，根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣1，结合x1=1即可求出x2，此题得解．
【详解】
解：设方程x2+mx-1=0的两根为x1、x2，则：x1•x2=﹣1．
∵x1=1，∴x2=﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积等于是解题的关键．
22、x≥
【解析】
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．
【详解】
∵二次根式有意义，∴2x﹣1≥0，解得：x≥．
故答案为x≥．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
23、3＜x＜1
【解析】
根据平行四边形的性质易知OA＝7，OB＝4，根据三角形三边关系确定范围．
【详解】
∵ABCD是平行四边形，AC＝14，BD＝8，
∴OA＝AC＝7，OB＝BD＝4，
∴7−4＜x＜7＋4，即3＜x＜1．
故答案为：3＜x＜1．
此题考查了平行四边形的性质及三角形三边关系定理，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2），
【解析】
（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）.
∴.
∴.
（2）
∴
，.
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
25、（1）b=1，c=3；（2）；（3）（，）
【解析】
（1）把代入得，与构成方程组，解方程组即可求得；
（2）求得，，，即可得到，，即可求得；
（3）把化成顶点式，得到，根据平移的规律得到，把代入，进一步得到，即，分类求得，由，得到，即，从而得到平移后的解析式为，得到顶点为，，设，即，即可得到取最大值为，从而得到最高点的坐标．
【详解】
解：（1）把代入，可得，
解，可得，；
（2）由，得．
对于，
当时，．
抛物线的对称轴为直线．
所以，，．
因为，
所以，，
；
（3）由平移前的抛物线，可得
，即．
因为平移后的对应点为
可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为，
即．
把代入，得．
．
，
所以．
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，
因为，所以．
所以，
所以平移后的抛物线解析式为．
即顶点为，，
设，即．
因为，所以当时，随的增大而增大．
因为，
所以当时，取最大值为，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为，．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质．
26、（1）∠BAC=60°；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）如图1中，证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
（2）在PA上截取PH，使得PH=PC，连接CH．证明△PCB≌△HCA（SAS）即可；
（3）如图3中，作AH⊥DM交DM的延长线于H，延长AC到N，使得CN=AC，连接DN．证明A，N，D，M四点共圆，外接圆的圆心是点C，推出AD=CM= ，解直角三角形求出AH即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，
∴∠AOB=90°，
∵AB=2OA，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°；
（2）证明：如图2中，
在PA上截取PH，使得PH=PC，连接CH．
∵∠BPC=120°，∠BAC=60°，
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴A，B，P，C四点共圆，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∵PH=PC，
∴△PCH是等边三角形，
∴PC=CH，∠PCH=∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠HCA，
∵CB=CA，CP=CH，
∴△PCB≌△HCA（SAS），
∴PB=AH，
∴PA=PH+AH=PC+PB；
（3）解：如图3中，作AH⊥DM交DM的延长线于H，延长AC到N，使得CN=AC，连接DN．
∵CA=CD=CN，
∴∠ADN=90°，
∵CD=CN，
∴∠N=∠CDN，
∵∠ACD=60°=∠N+∠CDN，
∴∠N=30°，
∵∠AMD=150°，
∴∠N+∠AMD=180°，
∴A，N，D，M四点共圆，外接圆的圆心是点C，
∴CA=CD=AD=CM=，
在Rt△AHM中，∵∠AMH=30°，
∴MH=AH，设AH=x，则HM=x，
在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，
∴28=x2+（x+2）2，
解得x=或-2（舍弃），
∴AH=，
∴S四边形ACDM=S△ACD+S△ADM=×+×2×=．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人