黑龙江省哈尔滨松北区四校联考2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份黑龙江省哈尔滨松北区四校联考2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2、（4分）最早记载勾股定理的我国古代数学名著是（ ）
A．《九章算术》B．《周髀算经》C．《孙子算经》D．《海岛算经》
3、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（ ）
A．B．4C．4或D．以上都不对
4、（4分）如图,把一个矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′为（ ）。
A．70°B．65°C．50°D．25°
5、（4分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6、（4分）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①， ②， ③， ④
A．①②B．①②④C．①③④D．②④
7、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．8
8、（4分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．﹣3x＞﹣3yB．3x＞3yC．x﹣3＞y﹣3D．x+3＞y+3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为_____
10、（4分）已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．
11、（4分）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如.因此， ________；若，则________．
12、（4分）分式与的最简公分母是__________.
13、（4分）如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1_____S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在菱形中，.请根据下列条件，仅用无刻度的直尺过顶点作菱形的边上的高。
（1）在图1中，点为中点；
（2）在图2中，点为中点.
15、（8分）如图，李亮家在学校的北偏西方向上，距学校米，小明家在学校北偏东方向上，距学校米.
(1)写出学校相对于小明家的位置；
(2)求李亮家与小明家的距离.
16、（8分）如图1，已知AB⊥CD，C是AB上一动点，AB＝CD
（1）在图1中，将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE，若连接DE，则△DBE为等腰直角三角形；若连接AE，试判断AE与BC的数量和位置关系并证明；
（2）如图2，F是CD延长线上一点，且DF＝BC，直线AF，BD相交于点G，∠AGB的度数是一个固定值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
17、（10分）如图，在四边形中，，，，点是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．求当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
18、（10分）解下列方程：
（1）=.
（2）=1－.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是 8 和 6（AC＞BC），反比例函数 y （x＜0）的图象经过点 C，则 k 的值为_____.
20、（4分）如图，已知矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm。
21、（4分）八年级两个班一次数学考试的成绩如下：八（1）班46人，平均成绩为86分；八（2）班54人，平均成绩为80分，则这两个班的平均成绩为__分．
22、（4分）有一种细菌的直径约为0.000000054米，将0.000000054这个数用科学记数法表示为____.
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，则的值为_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在矩形中，，分别在，上.
（1）若，.
①如图1，求证：；
②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：；
（2）如图3，若为的中点，.则的值为 （结果用含的式子表示）
25、（10分）4月23日是世界读书日，总书记说：“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让人漱养浩然正气．”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．期末学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．
(1)本次调查的学生人数为______人；
(2)求本次所调查学生读书本数的众数，中位数；
(3)若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？
26、（12分）如图，平行四边形ABCD中，AE=CE，请仅用无刻度的直尺完成下列作图：
（1）在图1中，作出∠DAE的角平分线；
（2）在图2中，作出∠AEC的角平分线．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
试题分析：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
2、B
【解析】
由于《周髀算经》是我国最古老的一部天文学著作，不但记载了勾股定理，还详细的记载了有关“勾股定理”公式以及证明方法，所以是最早有记载的．
【详解】
最早记载勾股定理的我国古代数学名著是《周髀算经》，
故选：B．
考查了数学核心素养的知识，了解最早记载勾股定理的我国古代数学名著是解题的依据．
3、A
【解析】
解：∵∠C=90°，AC=5，BC=3，∴AB===．故选A．
4、C
【解析】
首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°-2∠FED=50°，
故选：C．
此题考查了长方形的性质与折叠的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5、D
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A.1²+2²≠3²，故不是直角三角形，故本选项错误；
B.2²+3²≠4²故不是直角三角形，故本选项错误；
C.2²+4²≠5²，故不是直角三角形，故本选项错误；
D.3²+4²=5 ²，故是直角三角形，故本选项正确．
故选D．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6、D
【解析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．结合题意进行分析即可得到答案.
【详解】
①，含有两个未知数，不是一元二次方程；②，是一元二次方程；③不是一元二次方程；④ ，是一元二次方程；由此知②④是一元二次方程，故选D.
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义.
7、C
【解析】
直接利用线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而结合已知角得出DC，BC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】
连接DC，
在Rt△BCA中，∵DE为AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴∠BDC＝60°，
在Rt△CBD中，BD=2，
，
解得：DC＝4，BC＝2，
在Rt△CBA中，BC＝2，AC＝2BC＝4
故选C．
此题主要考查了含30度角的直角三角形和线段垂直平分线的性质，正确得出DC的长是解题关键．
8、A
【解析】
根据不等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】
解：∵x>y，
∴A、﹣3x<﹣3y，故A错误，
B、3x>3y，正确，
C、x﹣3>y﹣3，正确，
D、x+3>y+3，正确，
故答案为：A．
本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟知当不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3.
【解析】
由直角三角形的性质得到AC=2OB=10，利用勾股定理求出AB=CD=6，再根据三角形的中位线得到OM的长度.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠D=90，AB=CD，
∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD= ，
∵O是 AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM= CD=3，
故填：3.
此题考查矩形的性质，矩形的一条对角线将矩形分为两个全等的直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得AC，根据勾股定理求出CD，在利用三角形的中位线求出OM.
10、1
【解析】
根据根与系数的关系可得：α+β＝2019，αβ＝1，将其代入（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+ 中即可求出结论．
【详解】
∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，
∴α+β＝2019，αβ＝1，
∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+＝1．
故答案为1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.
11、 2或-1．
【解析】
①∵－－,
∴min{－，－}=－;
②∵min{(x−1)2,x2}=1，
∴当x>0.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
12、
【解析】
先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出．
【详解】
解：第一个分母可化为（x-1）（x+1）
第二个分母可化为x（x+1）
∴最简公分母是x（x-1）（x+1）．
故答案为：x（x-1）（x+1）
此题的关键是利用最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作最简公分母．
13、=
【解析】
利用矩形的性质可得△ABD的面积＝△CDB的面积，△MBK的面积＝△QKB的面积，△PKD的面积＝△NDK的面积，进而求出答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，
∴△ABD的面积＝△CDB的面积，△MBK的面积＝△QKB的面积，△PKD的面积＝△NDK的面积，
∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积＝△CDB的面积﹣△QKB的面积＝△NDK的面积，
∴S1＝S1．
故答案为：＝．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）在菱形中，，可知△ACD是等边三角形，过顶点作菱形的边上的高，即找到AD的边中点即可.根据菱形是中心对称图形，连接AC、BD得到对称中心O，再作直线交于，连接，即可.
（2）在菱形中，，可知△ACD是等边三角形，过顶点作菱形的边上的高，即找到AD的边中点即可.根据菱形是轴对称图形，连接，交于点，作直线交于，线段即为所求．
【详解】
解：（1）如图1中，连接，交于点，作直线交于，连接，线段即为所求．
（2）如图2中，连接，交于点，作直线交于，线段即为所求．
本题考查菱形的性质，三角形的高的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、（1）学校在小明家的南偏西方向上，距小明家米；（2）米.
【解析】
(1) 观察图形，根据OB及图中各角度，即可得出结论．
(2)连接AB,利用勾股定理计算即可得AB的长度.
【详解】
(1)学校在小明家的南偏西方向上，距小明家米.
(2)连接AB
米，米，，
米.
本题考查坐标确定位置、勾股定理，掌握用方位角和距离表示位置及利用勾股定理求长度是解题的关键.
16、（1）AE＝BC，AE⊥BC，证明见解析；（2）∠AGB的度数是固定值，度数为45°．
【解析】
（1）结论：AE＝BC，AE⊥BC．根据角的和差关系可得∠ABE=∠BDC，利用SAS证明△ABE≌△BDC，再利用全等三角形的性质得出AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，即可解决问题；
（2）如图，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，连结DE，BE．利用SAS可证明△ABE≌△BDC，再利用全等三角形的性质得出BE＝BD，∠EBD＝90°，可得出∠EDB＝∠AGB＝45°．即可得答案．
【详解】
（1）结论：AE＝BC，AE⊥BC．理由如下：
∵AB⊥CD，将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE，
∴∠BCD＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠ABE＝∠BDC，
在△ABE和△CDB中，，
∴△ABE≌△CDB（SAS），
∴AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，
∴AE⊥BC，
∴AE与BC的数量和位置关系是AE＝BC，AE⊥BC．
（2）∠AGB的度数是固定值，∠AGB＝45°．理由如下：
如图，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，连结DE，BE．
∵AE⊥AB，∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD=90°，
在Rt△BAE和Rt△DCB中，，
∴△BAE≌△DCB（SAS），
∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，
∴∠EBD＝90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴∠EDB＝45°
∵∠BAE=∠ACD=90°，
∴AE∥DF，
∵AE=BC，BC=DF，
∴AE=DF，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴AF∥DE
∴∠AGB＝∠EDB＝45°．
∴∠AGB的度数是固定值，∠AGB＝45°．
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等腰三角形的性质，正确作出辅助线并熟练掌握全等三角形及平行四边形的判定定理是解题关键．
17、t为2或秒
【解析】
由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和C之间，（2）当Q运动到E和B之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
【详解】
解：由题意可知，AP=t，CQ=2t，CE=BC=8
∵AD∥BC，
∴当PD=EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
①当2t＜8，即t＜4时，点Q在C，E之间，如图甲．
此时，PD=AD-AP=6-t，EQ=CE-CQ=8-2t，
由6-t=8-2t，得t=2；
②当8<2t<16且t<6，即4此时，PD=AD-AP=6-t，EQ=CQ-CE=2t-8，
由6-t=2t-8，得t=
∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
此题主要考查了梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．
18、（1）无解；（2）x=-1.
【解析】
（1）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可得答案；（2）方程两边同时乘以（2x-1）可得一元一次方程，解方程即可求出x的值，再检验即可得答案.
【详解】
（1）=
两边同时乘以（x-1）得：3x+2=5，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x-1=0，
∴x=1不是原方程的解，
∴原方程无解.
（2）=1－
两边同时乘以（2x-1）得：x=2x-1+2，
解得：x=-1.
检验：当x=-1时，2x-1=-3≠0，
∴x=-1是原方程的解.
本题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是把分式方程转化成整式方程，其具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母.熟练掌握分式方程的解法是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、−12
【解析】
先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
【详解】
设菱形的两条对角线相交于点D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
又∵菱形的两条对角线的长分别是8和6，
∴OB⊥AC，BD=OD=3，CD=AD=4，
∵菱形ABCD的对角线OB在y轴上，
∴AC∥x轴，
∴C(−4,3)，
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴3=，解得k=−12.
故答案为：−12.
本题考查反比例函数和菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质.
20、20
【解析】
连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可.
【详解】
如图，连接AC、BD，
四边形ABCD是矩形，
AC＝BD＝8cm，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
HG＝EF＝AC＝4cm，EH＝FG＝BD＝4cm，
四边形EFGH的周长等于
4＋4＋4＋4＝16cm.
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
21、82.1
【解析】
根据加权平均数公式，用(1)、(2)班的成绩和除以两班的总人数即可得.
【详解】
(分，
故答案为：82.1．
本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
22、
【解析】
绝对值<1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.000000054这个数用科学记数法表示为.
故答案为：
考查科学记数法，掌握绝对值小于1的数的表示方法是解题的关键.
23、3或6
【解析】
先表示出A、B坐标，分①当∠ABD=90°时，②当∠ADB=90°时，③当∠DAB=90°时，建立等式解出b即可.
【详解】
解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°，,
∴∠DBC=∠BAO，
由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=b，
∵点C（0，6），
∴OC=6，
∴BC=6-b，
在△DBC和△BAO中，
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即6-b=b，
∴b=3；
②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F，
同理证得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=6，BC=DF，
∵OB=b，OA=b，
∴BC=DF=b-6，
∵BC=6-b，
∴6-b=b-6，
∴b=6；
③当∠DAB=90°时，如图3，
作DF⊥OA于F，
同理证得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴b=6；
综上，b的值为3或6，
故答案为3或6.
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作辅助线构建求得三角形上解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】
（1）①由“ASA”可证△ADE≌△BAF可得AE=BF；
②过点A作AF⊥HD交BC于点F，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠HAF=∠AFG=∠DAF，可得AG=FG，即可得结论；
（2）过点E作EH⊥DF于H，连接EF，由角平分线的性质可得AE=EH=BE，由“HL”可证Rt△BEF≌Rt△HEF，可得BF=FH，由勾股定理可求解．
【详解】
证明（1）①∵四边形ABCD是矩形，AD=AB,
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠ABC，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，且AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE=BF；
②如图，过点A作AF⊥HD交BC于点F，
由（1）可知AE=BF，
∵AH=AD，AF⊥HD，
∴∠HAF=∠DAF.
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFG，
∴∠HAF=∠AFG，
∴AG=GF，
∴AG=GB+BF=GB+AE；
（3）如图，过点E作EH⊥DF于H，连接EF，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=AB，
∵∠ADE=∠EDF，EA⊥AD，EH⊥DF，
∴AE=EH，AD=DH=nAB，
∴BE=EH，EF=EF，
∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），
∴BF=FH，
设BF=x=FH，则FC=BC-BF=nAB-x，
∵DF2=FC2+CD2，
∴（nAB+x）2=（nAB-x）2+AB2，
∴x==BF，
∴FC=AB，
∴=4n2-1.
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25、（1）20；（2）4,4；（3）估计该校学生这学期读书总数约3600本
【解析】
将条形图中的数据相加即可；
根据众数和中位数的概念解答即可；
先求出平均数，再解答即可．
【详解】
，
故答案为20；
由条形统计图知，调查学生读书本数最多的是4本，
故众数是4本
在调查的20人读书本数中，从小到大排列中第9个和第10个学生读的本数都是4本，
故中位数是4本；
故答案为4；4；
每个人读书本数的平均数是：
（本），
总数是：(本)
答：估计该校学生这学期读书总数约3600本．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26、（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【解析】
试题分析：（1）连接AC，由AE=CE得到∠EAC=∠ECA，由AD∥BC得∠DAC=∠ECA，则∠CAE=∠CAD，即AC平分∠DAE；
（2）连接AC、BD交于点O，连接EO，由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可知EO为∠AEC的角平分线．
试题解析：
（1）连接AC，AC即为∠DAE的平分线；
如图1所示：
（2）①连接AC、BD交于点O，
②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
如图2所示．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分