湖北省武汉市青山区2024-2025学年九上数学开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份湖北省武汉市青山区2024-2025学年九上数学开学学业质量监测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，是的角平分线，，垂足分别为点 ，若和的面积分别为和，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图,四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形,连接BE交AD、AC分别于F、 N,CM平分∠ACB交BN于M,下列结论：(1)BE⊥ED;(2)AB=AF;(3)EM=EA;(4)AM平分∠BAC，其中正确的结论有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3、（4分）在矩形中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）已知平行四边形中，，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）把多项式分解因式，下列结果正确的是( )
A．B．C．D．
6、（4分）一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（ ）
A．6B．12C．7.5D．10
7、（4分） “厉害了，华为!”2019 年 1 月 7 日，华为宣布推出业界最高性能 ABM- based 处理器—鲲鹏 920.据了解，该处理器采用 7 纳米制造工艺，已知 1 纳米=0.000 000 001 米，则 7 纳米用科学记数法表示为 ( )
A．7×10-9 米B．7×10 -8 米C．7×10 8 米D．0.7×10 -8 米
8、（4分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分解因式：3a2﹣12=___．
10、（4分）如图，在矩形中，，，点E在边AB上，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在点处．若，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为__________．
11、（4分）化简：_________．
12、（4分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．
13、（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到……，第n次移动到，机器人移动第2018次即停止，则的面积是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）化简：.
15、（8分）如图，在中，，平分，垂直平分于点，若，求的长.
16、（8分）如图，菱形纸片的边长为翻折使点两点重合在对角线上一点分别是折痕．设．
（1）证明：；
（2）当时，六边形周长的值是否会发生改变，请说明理由；
（3）当时，六边形的面积可能等于吗?如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由．
17、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2求斜边AB的长.

18、（10分）我市遗爱湖公园内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积.经技术人员测量，，米，米，米，米.
（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度；
（2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AO+BO=5，则AC+BD的长是________．
20、（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为____________。
21、（4分）如图，三个正方形中，其中两个正方形的面积分别是100，36，则字母A所代表的正方形的边长是_____．
22、（4分）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，若△AOB是等腰三角形，则平行四边形ABCD的面积等于_______________________.
23、（4分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+B．4+C．4D．-1+
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在中，延长到，使得．连结，．
（1）求证：；
（2）请在所给的图中，用直尺和圆规作点（不同于图中已给的任何点），使以，，，为顶点的四边形是平行四边形（只作一个，保留痕迹，不写作法）．
25、（10分）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，右边数位上的数总比左边数位上的数大1，则我们称这样的自然数叫“美数”，例如：123，3456，67，…都是“美数”．
（1）若某个三位“美数”恰好等于其个位的76倍，这个“美数”为 ．
（2）证明：任意一个四位“美数”减去任意一个两位“美数”之差再减去1得到的结果定能被11整除；
（3）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，则我们称这样的自然数叫“妙数”，若任意一个十位为为整数）的两位“妙数”和任意一个个位为为整数）的两位“美数”之和为55，则称两位数为“美妙数”，并把这个“美妙数”记为，则求的最大值．
26、（12分）某公司计划从本地向甲、乙两地运送海产品共30吨进行销售.本地与甲、乙两地都有铁路和公路相连（如图所示），铁路的单位运价为2元/（吨•千米），公路的单位运价为3元/（吨•千米）.
（1）公司计划从本地向甲地运输海产品吨，求总费用（元）与的函数关系式；
（2）公司要求运到甲地的海产品的重量不少于得到乙地的海产品重量的2倍，当为多少时，总运费最低？最低总运费是多少元？(参考公式：货运运费单位运价运输里程货物重量）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
【详解】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL)，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=50−39=11，
S△DNM=S△EDF= S△MDG=×11=5.5.
故选C.
此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线
2、B
【解析】
连接DE，由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME，即①正确；再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即②正确；由②得到∠ABF=∠AFB=45°，求出∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，即③正确；根据等腰三角形性质求出∠EAM=∠AME，推出∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=45°+∠BAM，即可判断（4）．
【详解】
连接DE.
∵四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴点A. B. C. D. E都在以AC为直径的圆上，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，
∴BE⊥ED,故(1)正确；
∵点A. B. C. D. E都在以AC为直径的圆上，
∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，
又∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
在△AEF和∉CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
而CD=AB，
∴AB=AF,即(2)正确；
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC=∠ECM，
∴EC=EM，
∴EM=EA,即(3)正确；
∵AB=AF,∠BAD=90°，EM=EA，
∴∠ABF=∠CBF=45°，∠EAM=∠AME，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
∴∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAM=∠NAM,∴(4)正确；
故选D.
此题考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形，解题关键在于作辅助线
3、C
【解析】
根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可．
【详解】
相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．
A. ，故该选项错误；
B. ，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确；
D. ，故该选项错误；
故选：C．
本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
4、C
【解析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】
由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故选：C．
本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
5、A
【解析】
利用因式分解即可解答本题．（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq
【详解】
解：x2＋x−2＝（x−1）（x＋2）
故选：A．
本题主要靠着因式分解的相关知识，要熟练应用十字相乘法．
6、A
【解析】
由于32+42＝52，易证此三角形是直角三角形，从而易求此三角形的面积．
【详解】
∵32+42＝52，∴此三角形是直角三角形，
∴S△＝×3×4＝1．
故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是先证明此三角形是直角三角形．
7、A
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．
故选A．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8、D
【解析】
根据平行线的性质求出∠3=∠1=40°，根据三角形的外角性质求出∠2=∠3+∠A，代入求出即可．
【详解】
∵EF∥MN，∠1=40°，∴∠1=∠3=40°．
∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠3=70°．
故选D．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解答此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3（a+2）（a﹣2）
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．
10、16或2
【解析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=1．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝，AG=DH=8，
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′＝，
∴B'H=GH×GB'=1-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D＝
综上，DB'的长为16或2．
故答案为： 16或2
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论 ．
11、
【解析】
分子分母同时约去公因式5xy即可．
【详解】
解：．
故答案为．
此题主要考查了分式的约分，关键是找出分子分母的公因式．
12、3或﹣3
【解析】
试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2．
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
13、504m2
【解析】
由OA =2n知OA = +1=1009，据此得出A A =1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】
由题意知OA =2n，
∵2018÷4=504…2，
∴OA = +1=1009，
∴A A =1009-1=1008，
则△O A A的面积是×1×1008=504m2
此题考查规律型：数字变换，解题关键在于找到规律
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、
【解析】
先对原式中能因式分解的分子和分母进行因式分解，然后再对括号内进行运算，最后将除变为乘进行运算即可.
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝
本题考查了分式的四则混合运算.其关键在于：①：先对能因式分解的分子和分母因式分解；②是灵活应用除以一个数就等于乘以它的倒数.
15、的长为.
【解析】
根据角平分线的性质可得DE=CE，根据垂直平分线可得AE=BE，进而得到，设，则，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到关于x的方程，然后求解方程即可.
【详解】
解：设，则，
平分，，，
，
又垂直平分，
，
，
在中，，
，
，即，
解得.
即的长为.
本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16、（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，或
【解析】
（1）由折叠的性质得到BE=EP，BF=PF，得到BE=BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；
（2）由菱形的性质得到BE=BF，AE=FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；
（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，BO=，求得S四边形ABCD=2，当六边形AEFCHG的面积等于时，得到S△BEF+S△DGH=，设GH与BD交于点M，求得GM=x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】
解:折叠后落在上，
平分
，
四边形为菱形，同理四边形为菱形，
四边形为平行四边形，
.
不变.
理由如下:由得
四边形为菱形，
为等边三角
，
为定值.
记与交于点.

当六边形的面积为时，
由得

记与交于点
，
同理
即
化简得
解得，
∴当或时，六边形的面积为.
此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目．
17、．
【解析】
设BC=x,则AB=2x,再根据勾股定理求出x的值,进而得出结论.
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2，
∴设BC=x，则AB=2x，
∵AC2+BC2=AB2，即22+x2=（2x）2，
解得x=，
∴AB=2x=．
本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
18、（1）25米；（2）234米2
【解析】
（1）连接，利用勾股定理求出AC即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，计算两个直角三角形面积即可解决问题
【详解】
（1）连接．在中，由勾股定理得：
（米）.
（2）在中，∵，
∴.
∴ （米2）．
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1；
【解析】
根据平行四边形的性质可知：AO=OC，BO=OD，从而求得AC+BC的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OC=AO，OB=OD
∵AO=BO=2
∴OC+OD=2
∴AC+BD=AO+BO+CO+DO=1
故答案为：1．
本题考查平行四边形的性质，解题关键是得出OC+OD=2．
20、1
【解析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2）•180°=5×360°，
解得n=1．
故答案为：1．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
21、1
【解析】
根据正方形的性质可得出面积为100、36的正方形的边长，再利用勾股定理即可求出字母A所代表的正方形的边长，此题得解．
【详解】
面积是100的正方形的边长为10，面积是36的正方形的边长为6，∴字母A所代表的正方形的边长==1．
故答案为：1．
本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．
22、1或2
【解析】
分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
情形1：如图当OA=OB时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD的面积=1．
情形2：当AB=AO=OC=6时，作AH⊥BC于H．设HC=x．
∵AH2=AB2-BH2=AC2-CH2，
∴62-（x-8）2=122-x2，
∴x=，
∴AH=，
∴四边形ABCD的面积=8×=2．
情形3：当AB=OB时，四边形ABCD的面积与情形2相同．
综上所述，四边形ABCD的面积为1或2．
故答案为1或2．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
23、A
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】
如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-|=，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选A．
本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD,AB∥CD，易得BE∥CD，由于BE=AB可得BE=CD，推出四边形BECD是平行四边形，再运用平行四边形的性质解答即可；
（2）分别以C,E为圆心，以BE,BC的长为半径画弧，两弧交于一点F，则点F即为所求．
【详解】
（1）证明：∵中，
∴，．
又，
，，
四边形是平行四边形，
．
（2）如图：
本题考查了平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
25、 (1)456 （2）见解析 （3）42
【解析】
（1）设这个“美数”的个位数为x，则根据题意可得方程，解方程求出x的值即可得出答案.
（2）设四位“美数”的个位为x、两位“美数””的个位为y,分别表示出四位“美数”和两位“美数”,再将四位“美数”减去任意一个两位“美数””之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可;
（3）根据题意两个数之和为55得出二元一次方程，化简方程，再根据x与y的取值范围，即可求出最大值.
【详解】
（1）设其个位数为x，则
解得：x=6
则这个“美数”为：
（2）设四位“美数”的个位为x、两位“美数””的个位为y，
根据题意得：

=
=
即：式子结果是11的倍数
（3）根据题意：



，
由10x+y可得x越大越大，即y为最小值时的值最大
则x=4，y=2时的值最大
的最大值为
本题主要考查二元一次方程的应用，解题关键是设个位数的数为x得出方程并解答.
26、（1）；（2）当为1时，总运费最低，最低总运费为2元.
【解析】
（1）由公司计划从本地向甲地运输海产品x吨，可知公司从本地向乙地运输海产品（30−x）吨，根据总运费＝运往甲地海产品的运费＋运往乙地海产品的运费，即可得出W关于x的函数关系式；
（2）由运到甲地的海产品的重量不少于运到乙地的海产品重量的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）∵公司计划从本地向甲地运输海产品x吨，
∴公司从本地向乙地运输海产品（30−x）吨．
根据题意得：W＝10×2x＋30×3x＋160×2（30−x）＋1×3（30−x）＝110x＋11400（0＜x＜30）；
（2）根据题意得：x≥2（30−x），
解得：x≥1．
在W＝110x＋11400中，110＞0，
∴W值随x值的增大而增大，
∴当x＝1时，W取最小值，最小值为2．
答：当x为1时，总运费W最低，最低总运费是2元．
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出W关于x的函数关系式；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人