贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县贯洞中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县贯洞中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1．下列关于的函数一定为二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2B．1C．D．4
3．若是一元二次方程的根，则（ ）
A．B．C．2D．4
4．三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．10或12
5．如表是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（ ）
A．1.1~1.2 B．1~1.1C．1.2~1.3D．1.3~1.4
6．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
8．已知，是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
9．如图①是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分以抛物线为模型设计而成，从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线的一部分，且是轴对称图形．若，，以顶点为原点建立如图②所示的平面直角坐标系，则抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线经过，和两点，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
11．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．二次函数的部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．其中错误的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．③④
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．已知函数是关于的二次函数，则的值为________．
14．把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为________．
15．如图，若被击打的小球距离地面的高度（单位：m）与被击打后经过的时间（单位：s）的关系为，则小球从被击打到落地所用的时间为________．
16．已知抛物线如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是________．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知抛物线经过点和点，求这条抛物线的解析式．
18．（本题满分10分）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：．
小明同学的做法如下：
（1）上面的运算过程中从第________步开始出现了错误；
（2）请写出正确的解题过程．
19．（本题满分10分）已知抛物线（是常数，且）．
（1）若抛物线有最低点，求的取值范围；
（2）若抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，求的值．
20．（本题满分10分）已知二次函数．求证：无论取何值，二次函数的图象总与轴有两个交点．
21．（本题满分10分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式
（2）一艘宽为4m，高出水面3m的货船，能否从桥下通过？
22．（本题满分12分）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线的解析式．
23．（本题满分12分）某商场购进一批新型玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：
（1）求关于的函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？
24．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为（）（），则称点为点的亲密点，例如：点（1，2）的亲密点为（2，），若存在互为亲密点的两个点都在一个函数图象上，则称该函数为亲密函数．
（1）函数________（填“是”或“不是”）亲密函数．
（2）若二次函数的图象上有一点（2，4），其亲密点也在二次函数图象上，求二次函数的解析式．
25．（本题满分12分）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交轴于两点，与直线交于两点，直线与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在直线上方的抛物线上运动，若△的面积最大，求此时点的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标．
答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．B 8．A 9．A 10．B 11．D 12．D
13． 14． 15． 16．
17．解：将代入，
得解得
所以这条抛物线的解析式为．
18．（1）一
（2）解：移项，得．
因式分解，得．
于是得，或，，．
19．解：（1）因为抛物线有最低点，所以．所以．
（2）因为抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，所以．所以．
20．证明：令，即，
所以．
因为，所以，即，
所以无论取何值，二次函数的图象总与轴有两个交点．
21． 解：（1）由图象可知，抛物线的顶点坐标为．设抛物线的解析式为．
将代入，得，解得．
所以这条抛物线的解析式为．
（2）当时，，
所以货船能从桥下通过．
22．解：因为，所以．
把代入，
得，解得．
所以抛物线的解析式为，即．
（2）当时，可得，则点的坐标为．
设直线的解析式为．
把代入，得，解得．
所以直线的解析式为．
23．解（1）设关于的函数解析式为．
由题意，得 解得
所以关于的函数解析式为．
（2）设月销售利润为元，
则．
因为，所以当时，最大，最大值为32400．
答：当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元．
24．（1） 是
解：因为点的亲密点为，
所以根据题意，得 解得
（2）所以二次函数的解析式为．
25．解：（1）对于，令，得，解得．
所以点的坐标为（1，0）．
因为抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称轴对称，
所以点的坐标为（）．
所以 解得
所以抛物线的解析式为
（2）因为抛物线与直线交于两点，
所以 解得 或
所以点的坐标为（）．
因为点在直线上方的抛物线上运动，
所以设点的坐标为（，），其中．
如图，过点作∥轴交直线于点，点的坐标为（）．
所以．
所以
．
因为，
所以当时，最大，此时．
所以点的坐标为．
（3）符合条件的点的坐标为．…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
…
0.04
0.59
1.16
…
解：两边同时除以，得．……………………………………………………………第一步
去括号，得………………………………………………………………………………… 第二步
移项，得…………………………………………………………………………………… 第三步
合并同类项，得………………………………………………………………………………… 第四步
销售单价/（元/件）
20
25
30
35
月销售量/件
3300
2800
2300
1800