浙江省杭州市拱墅区朝晖中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区朝晖中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若，则
A．B．C．D．
2．（3分）“是实数，”这一事件是
A．不可能事件B．不确定事件C．随机事件D．必然事件
3．（3分）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是
A．B．
C．D．
4．（3分）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是
A．B．C．D．或
5．（3分）下列关于抛物线的说法正确的是
A．抛物线开口向上
B．在对称轴的右侧，随的增大而增大
C．顶点坐标为
D．当，有最大值是2
6．（3分）下列四个命题中不正确的是
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
7．（3分）如图在中，边，的垂直平分线交于点，连结，，若，则
A．B．C．D．
8．（3分）如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为，则与的关系为
A．B．C．D．
9．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点，，，，一定能使的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，是的直径，为上一点，为的中点，于并交于点，若，，则的半径长为
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共计24分）
11．（4分）已知圆弧的度数为，圆弧的半径为4，则弧长为 ．（结果用表示）
12．（4分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，长，则宽为 ．
13．（4分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
，两点都在该函数的图象上，若，则的值为 ．
14．（4分）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为 ．
15．（4分）如图，一块含的直角三角板的斜边与角器的直径重合，与点对应的刻度读数是，则的度数为 度．
16．（4分）如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画，分别交，于，，连接，则 ；的最小值为 ．
三、解答题（17题6分，18、19题各8分，20、21题各10分，22、23题各12分）
17．（6分）已知线段、满足，且．
（1）求、的值；
（2）若线段是线段、的比例中项，求的值．
18．（8分）某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入200个大小材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字，其余球上都无字，顾客从箱子中摸出一个球，若有字则能获得一份小礼品．
（1）获得小礼品的概率是 ．
（2）取出分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，求两次取出的球能组成“亚运”的概率．（请用列表或树状图分析）．
19．（8分）如图，已知
（1）用直尺和圆规作出，使经过、两点，且圆心在边上．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，的半径2，求的长．
20．（10分）已知二次函数的图象以为顶点，且过点
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，、两点随图象移至、，求△的面积．
21．（10分）如图，已知为的直径，是弦，于，于，连接，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值及阴影部分的面积．
22．（12分）某种鱼迁入一生态系统后．在无人为干预的条件下．这种鱼的种群在10个生长周期内的自然生长速率（数量增长的百分率）与时间的关系（部分）如下表（每周期约3个月）
这种鱼种群的数量增加到一定程度后，由于受生态制约，不再增加．
（1）在无人为干预条件下，根据所学的函数知识，应该选择哪一种函数模型（一次函数或反比例函数或二次函数）来描述该鱼种群的自然生长速率随生长周期变化的规律，并求出函数解析式；
（2）在无人为干预条件下，用函数图象描述该鱼种群生长速率与生长周期之间的关系，则下列，，三个图象中最合理的是哪一个图象？请说明理由．
（3）为了保证该鱼种群的可持续生长，考虑在适当时机进行捕获，问：最佳捕获时期是什么时期？请说明理由．
23．（12分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图，此时即是．
请回答：在图2中，的度数是 ．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度．
（2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区朝晖中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共计30分）
1．（3分）若，则
A．B．C．D．
【分析】根据比例的基本性质进行转化可求解．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
2．（3分）“是实数，”这一事件是
A．不可能事件B．不确定事件C．随机事件D．必然事件
【分析】直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．
【解答】解：是实数，这一事件是必然事件．
故选：．
【点评】此题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
3．（3分）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是
A．B．
C．D．
【分析】利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可．
【解答】解：、指针落在阴影区域内的概率为；
、指针落在阴影区域内的概率是；
、指针落在阴影区域内的概率为；
、指针落在阴影区域内的概率为，
，
指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是选项．
故选：．
【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．
4．（3分）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是
A．B．C．D．或
【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，或时，．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
5．（3分）下列关于抛物线的说法正确的是
A．抛物线开口向上
B．在对称轴的右侧，随的增大而增大
C．顶点坐标为
D．当，有最大值是2
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：，
抛物线的开口向下，故选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为轴，且抛物线的开口向下，
在对称轴的右侧，随的增大而减小，在对称轴的左侧，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，故选项错误，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向下，
当，有最大值是2，故选项正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
6．（3分）下列四个命题中不正确的是
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
【分析】根据直径、弦的定义，三角形的外心，圆周角以及等弧的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：．直径是弦，直径是圆中最长的弦，因此选项不符合题意；
．三角形的外心是三角形三条边中垂线的交点，因此三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，因此选项不符合题意；
．顶点在圆上，两边与圆还有另一个交点的角是圆周角，因此选项符合题意；
．半径相等的两个半圆，放在一起能完全重合，因此是等弧，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查圆的认识，圆周角，三角形的外心，理解直径与弦的关系，圆周角的定义，三角形外心的性质是正确判断的关键．
7．（3分）如图在中，边，的垂直平分线交于点，连结，，若，则
A．B．C．D．
【分析】连接，延长交于，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出．
【解答】解：连接，延长交于，
，
点是，的垂直平分线的交点，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为，则与的关系为
A．B．C．D．
【分析】由等边三角形的面积求出正六边形的面积，求出扇形的面积，即可判断．
【解答】解：正六边形的半径把它的面积分成6个全等的等边三角形，
，
扇形的弧的长，
，
．
故选：．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，关键是由等边三角形的面积求出正六边形的面积，掌握扇形面积的计算公式：（其中为扇形的弧长，是扇形的半径）．
9．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点，，，，一定能使的是
A．B．
C．D．
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【解答】解：、中，，则当时，随的增大而增大，
即当时，必有，
此时，故本选项不成立；
、的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时随的增大而增大，
当时，当时，必有，
此时，故本选项不成立；
、的对称轴为直线，
当时，随的增大而减少，
当时，当时，必有，
此时，故本选项成立；
、中，，
随的增大而增大，即当时，必有，
此时，故本选项不成立；
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．
10．（3分）如图，是的直径，为上一点，为的中点，于并交于点，若，，则的半径长为
A．B．C．D．
【分析】连接、，如图，根据垂径定理得到，，则，根据圆周角定理得到，所以，再证明得到，设，则，，，所以，利用双勾股得到，解方程可得，，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【解答】解：连接、，如图，
为的中点，
，
直径，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即的半径为．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
二、填空题（每题4分，共计24分）
11．（4分）已知圆弧的度数为，圆弧的半径为4，则弧长为 ．（结果用表示）
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解答】解：这条弧长为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．
12．（4分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，长，则宽为 ．
【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案．
【解答】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型．
13．（4分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
，两点都在该函数的图象上，若，则的值为 1 ．
【分析】根据表中的对应值得到和时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线，由于，所以，是抛物线上的对称点，则，然后解方程即可．
【解答】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
，两点都在该函数的图象上，，
，
解得．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14．（4分）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为 6 ．
【分析】根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令，即可求得点的坐标，从而可求出的长．
【解答】解：长为4，是半圆的直径，
点坐标为，点坐标为，
将点坐标代入抛物线的解析式为，
得，，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
点坐标为，
，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标．
15．（4分）如图，一块含的直角三角板的斜边与角器的直径重合，与点对应的刻度读数是，则的度数为 63 度．
【分析】先利用圆周角定理的推论判断点、在同一个圆上，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：，
点在量角器所在的圆上
点对应的刻度读数是，即，
，
．
故答案为63．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
16．（4分）如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画，分别交，于，，连接，则 ；的最小值为 ．
【分析】根据三角形内角和定理求得，连接、，作于，作于，如图，根据圆周角定理得到，再计算出，则最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到的长度最小值为的长，接着计算出，从而得到的最小值，然后确定长度的最小值．
【解答】解：中，，，
，
连接、，作于，作于，如图，
，
而，，
，，
在中，，
当最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，即的长最小，
的长度最小值为的长，
，
的最小值为，
长度的最小值为，
故答案为：，．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出是解题的关键．
三、解答题（17题6分，18、19题各8分，20、21题各10分，22、23题各12分）
17．（6分）已知线段、满足，且．
（1）求、的值；
（2）若线段是线段、的比例中项，求的值．
【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【解答】解：（1），，，，
解得，
则．
（2）线段是线段、的比例中项，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则的值为．
【点评】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
18．（8分）某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入200个大小材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字，其余球上都无字，顾客从箱子中摸出一个球，若有字则能获得一份小礼品．
（1）获得小礼品的概率是 ．
（2）取出分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，求两次取出的球能组成“亚运”的概率．（请用列表或树状图分析）．
【分析】（1）依据概率公式求解即可；
（2）列出表格，根据表格中所列的结果，结合概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从箱子中摸出一个球共有200种可能结果，
抽到带字小球的可能有4种，
获得小礼品的概率是：，
故答案为：；
（2）列表如下：
两次取出的小球组成的结果共12种，能组成“亚运”的有2种，
能组成“亚运”的概率为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键掌握概率公式、列出相应的表格．
19．（8分）如图，已知
（1）用直尺和圆规作出，使经过、两点，且圆心在边上．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，的半径2，求的长．
【分析】（1）作中垂线交于点，以点为圆心，长为半径作圆，即是所求作的圆．
（2）证明是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）作中垂线交于点，以点为圆心，长为半径作圆，即是所求作的圆．
（2）连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（10分）已知二次函数的图象以为顶点，且过点
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，、两点随图象移至、，求△的面积．
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．
（2）根据的函数解析式，令，可求得抛物线与轴的交点坐标；令，可求得抛物线与轴交点坐标．
（3）由（2）可知：抛物线与轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出、的坐标．由于△不规则，可用面积割补法求出△的面积．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式
将代入得：
该函数的解析式为：
（2）令，得，因此抛物线与轴的交点为：
令，，解得：，，即抛物线与轴的交点为：，
（3）设抛物线与轴的交点为、在的左侧），由（2）知：，
当函数图象向右平移经过原点时，与重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故，
．
【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
21．（10分）如图，已知为的直径，是弦，于，于，连接，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值及阴影部分的面积．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角等于，得到，再利用即可证明；
（2）利用，得到，进一步得到，再根据即可证明三角形全等；
（3）连接，由全等三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，再推，，即可求出，，再根据阴影部分面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可．
【解答】（1）证明：为的直径，
，
又，
．
（2）证明：，为的直径，
，
，
在和中，
，
．
（3）解：连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，．
，，
，，
扇形的面积是：，
的面积是，
阴影部分的面积是：．
【点评】本题主要考查了平行线的判定定理，全等三角形的判定及性质，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，圆周角定理等等，解题的关键是熟练掌握以上相关知识．
22．（12分）某种鱼迁入一生态系统后．在无人为干预的条件下．这种鱼的种群在10个生长周期内的自然生长速率（数量增长的百分率）与时间的关系（部分）如下表（每周期约3个月）
这种鱼种群的数量增加到一定程度后，由于受生态制约，不再增加．
（1）在无人为干预条件下，根据所学的函数知识，应该选择哪一种函数模型（一次函数或反比例函数或二次函数）来描述该鱼种群的自然生长速率随生长周期变化的规律，并求出函数解析式；
（2）在无人为干预条件下，用函数图象描述该鱼种群生长速率与生长周期之间的关系，则下列，，三个图象中最合理的是哪一个图象？请说明理由．
（3）为了保证该鱼种群的可持续生长，考虑在适当时机进行捕获，问：最佳捕获时期是什么时期？请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由二次函数的图象是抛物线可求解；
（3）由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设自然生长速率随生长周期变化的规律为：，
由题意可得：，
解得：，
，
当时，，当时，，
点，点都在函数图象上；
应该选择二次函数来描述该鱼种群的自然生长速率随生长周期变化的规律；函数解析式为；
（2）的图象是抛物线，
图象最合理；
（3）最佳捕获时期是第5周期，
理由如下：，
当时，有最大值为50，
最佳捕获时期是第5周期．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意是本题的关键．
23．（12分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图，此时即是．
请回答：在图2中，的度数是 ．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度．
（2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
【分析】阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解；
（1）过点作 交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（2）过点作，取，连接，，由勾股定理可求的长，由“ “可证，可得，由三角形的三边关系可得．
【解答】解：阅读材料：
根据旋转，
，，
，，
，即；
（1）过点作 交的延长线于点，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
根据上面结论，可知，
设，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故；
（3）过点作，取，
连接，，
，
，
，
又，，
，
，
线段有最大值时，只需最大即可，
在中，，
当、、三点共线时，
取最大值，此时，
在等腰直角三角形中，，
，
，
最大为：，即最大值为，此时．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是解决问题的关键．0
1
2
3
4
10
5
2
1
2
5
第0周期
第1周期
第2周期
第3周期
第4周期
生长速率
0
18
32
42
48
0
1
2
3
4
10
5
2
1
2
5
喜
迎
亚
运
喜
（喜，迎）
（喜，亚）
（喜，运）
迎
（迎，喜）
（迎，亚）
（迎，运）
亚
（亚，喜）
（亚，迎）
（亚，运）
运
（运，喜）
（运，迎）
（运，亚）
第0周期
第1周期
第2周期
第3周期
第4周期
生长速率
0
18
32
42
48