浙江省杭州市拱墅区上海世界外国语中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区上海世界外国语中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
2．（3分）把一枚均匀的骰子抛掷一次，朝上面的点数为6的概率是
A．0B．C．D．1
3．（3分）关于二次函数的最值，下列叙述正确的是
A．当时，有最小值0B．当时，有最大值0
C．当时，有最小值1D．当时，有最大值1
4．（3分）如图，直线，则
A．B．C．D．
5．（3分）如图，将绕点按顺时针方向旋转到，点恰好落在上，若，则旋转的角度为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，是的直径，弦于点，若，，则下列说法正确的是
A．的长为B．的长为3C．的长为12D．的长为10
7．（3分）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高统计如下：
根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于的人数是
A．28500B．17100C．10800D．1500
8．（3分）已知二次函数，它的图象可能是
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，已知，，，四边形的面积为12，若经过的重心，则的面积为
A．25B．26C．27D．28
10．（3分）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点．设，，则
A．B．C．D．
二、填空题（共6题，每题4分，24分）
11．（4分）有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是 ．
12．（4分）已知，那么的值为 ．
13．（4分）已知抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．
14．（4分）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ．
15．（4分）如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点、、三个点，则不等式的解是 ．
16．（4分）如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点．
（1）当时，则的长为 ；
（2）当，时，则的长为 ．
三、解答题（共8题，66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图所示，已知二次函数的图象经过点，，．当时，求函数值．
18．游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次．
（1）求两次数字之和为4的概率；
（2）若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请求出游戏者获胜的概率．
19．如图，某零件的截面为弓形．
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心；
（2）若，弓形的高为1．求弓形的半径．
20．如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，在中，点，分别在边，上且，连接，．
（1）求证：．
（2）若点为中点，，的面积为50，求的面积．
22．如图，是的直径，弦于点，连接，，
（1）求证：．
（2）作于点，若的半径为5，，求的长．
23．已知函数，在同一平面直角坐标系中．
（1）若经过点，求的函数表达式．
（2）若经过点，判断与图象交点的个数，说明理由．
（3）若经过点，，且对任意，都有，请利用图象求的取值范围．
24．已知钝角三角形内接于，、分别为、的中点，连接．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，求证：．
（2）如图2，当、、不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时．
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接．求证：．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区上海世界外国语中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题3分，30分）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：、不是二次函数，故此选项不合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、不是二次函数，故此选项不合题意；
、不是二次函数，是一次函数，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．（3分）把一枚均匀的骰子抛掷一次，朝上面的点数为6的概率是
A．0B．C．D．1
【分析】根据概率公式即可得．
【解答】解：任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上面的点数恰为6的只有1种，
朝上面的点数恰为6的概率是，
故选：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
3．（3分）关于二次函数的最值，下列叙述正确的是
A．当时，有最小值0B．当时，有最大值0
C．当时，有最小值1D．当时，有最大值1
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【解答】解：，
抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
当时，有最大值1；
正确，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
4．（3分）如图，直线，则
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理得到或，然后利用比例的性质得到，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：，
或，
．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5．（3分）如图，将绕点按顺时针方向旋转到，点恰好落在上，若，则旋转的角度为
A．B．C．D．
【分析】根据旋转的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解．
【解答】解：将绕点按顺时针方向旋转到，
，
，
，，
，
，
即旋转的角度为，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，是的直径，弦于点，若，，则下列说法正确的是
A．的长为B．的长为3C．的长为12D．的长为10
【分析】连接，根据勾股定理求出，求出和，再根据勾股定理求出，再得出答案即可．
【解答】解：连接，
，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，，
，
即只有选项正确，选项、选项、选项都错误；
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记勾股定理是解此题的关键．
7．（3分）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高统计如下：
根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于的人数是
A．28500B．17100C．10800D．1500
【分析】用总人数乘以样本中男生的身高不高于的人数所占比例即可．
【解答】解：估计全市男生的身高不高于的人数是（名，
故选：．
【点评】本题主要考查频数（率分布表和用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
8．（3分）已知二次函数，它的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．
【解答】解：二次函数，
当时，，
即该函数的图象过点，故选项错误；
该函数的顶点的横坐标为，
当时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项正确，选项错误；
当时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项错误；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（3分）如图，已知，，，四边形的面积为12，若经过的重心，则的面积为
A．25B．26C．27D．28
【分析】设重心为，则，根据三角形相似的判定与性质可得，，，列出方程组并求解即可．
【解答】解：经过的重心，
，，
，，
，
，
，，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键．
10．（3分）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点．设，，则
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，关键是用表示．
二、填空题（共6题，每题4分，24分）
11．（4分）有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是 ．
【分析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中朝上面的点数为3的结果有1种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中朝上面的点数为3的结果有1种，
任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
12．（4分）已知，那么的值为 ．
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13．（4分）已知抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：因为抛物线的解析式为，
则将此抛物线向右平移2个单位所得抛物线的表达式为，
再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
14．（4分）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ．
【分析】根据平行线的性质和已知条件求出，根据圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：弦，，
，
对的圆周角是，圆心角是，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，平行线的性质等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
15．（4分）如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点、、三个点，则不等式的解是 或 ．
【分析】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解．
16．（4分）如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点．
（1）当时，则的长为 ；
（2）当，时，则的长为 ．
【分析】（1）连接、，由圆周角定理得，则，，再由直角三角形的性质得，则，然后由勾股定理求解即可；
（2）连接、，由圆周角定理得，则，过点作于，则，再证，求出，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）连接、，如图1所示：
根据折叠的性质，弧所对的圆周角是，
，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）连接、，如图2所示：
根据折叠的性质，弧所对的圆周角是，
，
，
，
过点作于，
则，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识，正确找出辅助线，证明是解题的关键．
三、解答题（共8题，66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图所示，已知二次函数的图象经过点，，．当时，求函数值．
【分析】求得抛物线对称轴，然后根据二次函数的对称性即可求得．
【解答】解：二次函数的图象经过点，，
对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
当时，则函数值．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称轴是解题的关键．
18．游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次．
（1）求两次数字之和为4的概率；
（2）若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请求出游戏者获胜的概率．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次数字之和为4的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两次数字之和为4的结果有2种，
两次数字之和为4的概率为；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种，
游戏者获胜的概率为．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19．如图，某零件的截面为弓形．
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心；
（2）若，弓形的高为1．求弓形的半径．
【分析】（1）在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为该弓形的圆心．
（2）设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接，则，．设弓形的半径为，则，．由勾股定理得，，代入求出的值即可．
【解答】解：（1）如图，在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，
则点即为所求．
（2）设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接，
则，．
设弓形的半径为，
则，．
由勾股定理得，，
即，
解得，
弓形的半径为2．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理的应用、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据两对角相等的三角形相似，即可得到三角形与三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质代入数据即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
（负值舍去）．
答：的长为．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．如图，在中，点，分别在边，上且，连接，．
（1）求证：．
（2）若点为中点，，的面积为50，求的面积．
【分析】（1）由已知得出，由，即可得出：．
（2）设，则，，由已知求出，得出，得出，由三角形面积关系即可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，
，
．
（2）解：点为中点，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
的面积为50，
的面积．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，是的直径，弦于点，连接，，
（1）求证：．
（2）作于点，若的半径为5，，求的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出，，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：是直径，
，
，
，
，，
；
解法二：，是直径，
，
．
（2）解：如图，连接．
在中，，
在中，，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．已知函数，在同一平面直角坐标系中．
（1）若经过点，求的函数表达式．
（2）若经过点，判断与图象交点的个数，说明理由．
（3）若经过点，，且对任意，都有，请利用图象求的取值范围．
【分析】（1）将代入可得的值，从而得到答案，
（2）将代入得到，再联立、判断解的个数从而得到交点个数，
（3）将点，代入可得的值，再联立、求出图象只有一个交点时的值，观察图象得到无交点时的范围即得答案．
【解答】解：
（1）将代入得：
，解得，，
时，，
时，，
的函数表达式为：，
故答案为：；
（2）将点代入得：
，解得，
，
由得，
△，
，
△，当时△，当时△，
总有实数解，时有一组解，当时有两组解，
与图象总有交点，当时有一个交点，当时有两个交点，
故答案为：1或2；
（3）将点，代入可得，
，，
由得，
△，
若△，则只有一组解，即、图象只有一个交点，
此时，解得或，
如图，如果、图象没有交点，则对任意，都有，
由图象可知此时或，
故答案为：或．
【点评】本题考查函数一次函数、二次函数表达式及图象的交点，关键是判断△的符号，从而得出交点情况．
24．已知钝角三角形内接于，、分别为、的中点，连接．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，求证：．
（2）如图2，当、、不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时．
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接．求证：．
【分析】（1）先根据垂径定理证明，然后根据三角形的中位线解答即可；
（2）①由中位线的性质和中点的定义可得，，从而得到，由图知：，可证；
②延长交于点，连接，，，，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证：，进而可证，利用平行线判定定理即可证得结论．
【解答】解：（1）证明：是的中点，点、、在同一条直线上，
，
，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
．
（2）①、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
②延长交于点，连接，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质三角形中位线的判定和性质，圆内接四边形的性质，垂径定理，以及圆周角定理等重要知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键．组别
人数
15
42
38
5
组别
人数
15
42
38
5