河北省石家庄市2023-2024学年北师大版七年级下册期末考试数学试题

这是一份河北省石家庄市2023-2024学年北师大版七年级下册期末考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．必然发生的事件发生的概率为1 B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0
3．下列长度的各组线段为边能组成一个三角形的是（ ）
A．9，9，1 B．4，5，1 C．4，10，6 D．2，3，6
4．如图，，若，则还需添加的一个条件有( )
A． B． C． D．
5．冰柜里有四种饮料：2瓶可乐、3瓶咖啡、4瓶桔子水、6瓶汽水，其中可乐和咖啡是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．某电视台栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B．乡村公路总长为90km
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D．该记者在出发后4.5h到达采访地
7．已知，，则（ ）
A．50B．45C．11D．
8．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果， 那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是( )
A． B． C． D．
10．如图所示，在中， ，，，于点，于点，则下列三个结论:①；②；③中（ ）
A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①和正确D．仅①和③正确
二、填空题
11．如图，是小鹏自己创作的正方形飞镖盘，并在盒内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率_______
12．已知一个角等于它的余角的一半，则这个角的度数是________.
13．如图所示的图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中横轴表示时间，纵轴表示小明离家的距离，则小明从学校回家的平均速度为______km/h；
14．若a2+ma+9是完全平方式，则m=______________________．
15．如图，中，的垂直平分线交于点．若，则的周长为__________．
16．如图，是的边上的中线，点在上，，若的面积是4，则的面积是__________．
三、解答题
17．先化简，再求值：．其中，
18．在班上组织的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘(均质的)平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；反之，则小芳去．你认为这个游戏公平吗，为什么，如果不公平，请你修改转盘中的数字，使这个游戏变得公平．
19．已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．
求证：．
20．如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上．
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积．
21．某机动车出发前油箱内有油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量()与行驶时间()之间的函数关系如图所示，根据图回答问题:
（1）机动车行驶后加油，途中加油 升:
（2）根据图形计算，机动车在加油前的行驶中每小时耗油多少升？
（3）如果加油站距目的地还有，车速为，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
23．已知满足.
(1)求的值；
(2)先化简，再求值:.
24．将正面分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上请完成下列各题
（1）随机抽取1张，求抽到卡片数字是奇数的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？
（3）在（2）的条件下，试求组成的两位数是偶数的概率．
25．如图，△ABC、△ADC、△AMN均为等边三角形，AM＞AB，AM与DC交于点E，AN与BC交于点F.
(1)试说明：△ABF≌△ACE；
(2)猜测△AEF的形状，并说明你的结论；
(3)请直接指出当F点在BC何处时，AC⊥EF.
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．D
【分析】
必然事件就是一定发生的事件，概率是1；不可能发生的事件就是一定不发生的事件，概率是0；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，概率介于0和1之间；不确定事件就是随机事件．
【详解】
解：A、必然发生的事件发生的概率为1，正确；
B、不可能发生的事件发生的概率为0，正确；
C、随机事件发生的概率介于0和1之间，正确；
D、不确定事件就是随机事件，因而概率介于0和1之间．故D错误；
故选：D．
【点睛】
必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1．
3．A
【解析】
【详解】
解：A、9+1＞9，能够组成三角形；
B、1+4=5，不能组成三角形；
C、4+6=10，不能组成三角形；
D、2+3＜6，不能组成三角形．
故选A．
【点睛】
解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
4．D
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定方法进行分析即可得解．
【详解】
解：∵
∴①若添加边等即，则满足定理，可以证得
②若添加角等即，则满足定理，可以证得
③若添加角等即，则满足定理，可以证得
④若添加边等即，过点、分别作、，垂足分别是点、，如图：
∵在和中
∴
∴
∴在和中
∴
∴
∴在和中
∴．
∴综上所述，还需添加的一个条件有种可能．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
先求出饮料的总瓶数及含咖啡因的饮料的瓶数，再利用概率公式解答即可．
【详解】
解：2瓶可乐、3瓶咖啡、4瓶桔子水、6瓶汽水一共15瓶，2瓶可乐、3瓶咖啡共5瓶含有咖啡因，所以从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是．故选A．
【点睛】
本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率公式.
6．C
【解析】
【分析】
根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案.
【详解】
A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2=90（km/h），故本选项错误；
B、乡村公路总长为360－180=180（km），故本选项错误；
C、汽车在乡村公路上的行驶速度为（270-180）÷（3.5-2）=60（km/h），故本选项正确；
D、由C可得到记者在乡村公路上行驶时间为180÷60=3h，加上高速公路行驶2h，得到记者在5h后达到采访地，故本选项错误.
故选C
【点睛】
本题主要考查函数与图象，解题关键在于读懂题意.
7．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用即可解答．
【详解】
解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则．
8．D
【解析】
【分析】
如图，利用平行线的性质可得到∠2＝∠3，再由直角三角形的性质可求得∠1．
【详解】
解：如图，由题意可知BD∥CE，
∴∠3＝∠2＝45°，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°−∠3＝15°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
9．D
【解析】
【详解】
观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D符合.
故选：D.
10．B
【解析】
【分析】
只要证明Rt△APR≌Rt△APS（HL），推出AR＝AS，即可判断①；由∠PAQ＝∠APQ，推出∠BAP＝∠APQ，以及，可得QP∥AB，即可判断②．根据在与中，只有∠BRP=∠QSP，以及，即可判断③．
【详解】
解：∵于点，于点
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
PS＝PR，AP＝AP
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR＝AS，①正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PAQ＝∠APQ，
∵，
∴∠RAP＝∠APQ，
∴QP∥AB，②正确，
在与中，只有∠BRP=∠QSP，以及，
∴不能判断，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题利用了全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
11．
【解析】
【分析】
先求出阴影部分的面积占整个大正方形面积的,再根据概率公式即可得出答案.
【详解】
解:∵阴影部分的面积占总面积的,
∴飞镖落在阴影部分的概率为;
故答案为
【点睛】
本题主要考查了概率公式，解题的关键是正确利用图像转化.
12．30°
【解析】
【分析】
设这个角为α，根据余角的定义列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个角为α，
根据题意得，α=（90°-α），
解得α=30°．
故答案为30°．
【点睛】
本题考查了余角的定义，熟记互余的两个角的和等于90°列出方程是解题的关键．
13．6
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义．由图象可以看出，小明家离学校有6千米，小明用（3﹣2）小时走回家，根据速度=路程÷时间即可求出小明从学校回家的平均速度．
【详解】
解：小明从学校回家的平均速度为：6÷1=6千米/时．
故答案为6．
14．
【解析】
【详解】
∵“形如的式子叫完全平方式”，而“”，
∴若是完全平方式，则，
∴.
15．10
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质知，DA＝DB．△DBC的周长＝BC＋BD＋DC＝BC＋DA＋DC＝BC＋AC．
【详解】
解：∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB．
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋DC
＝BC＋DA＋DC＝BC＋AC＝10cm，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，解题的关键是熟悉线段垂直平分线的性质．
16．12
【解析】
【分析】
根据△ABD与△ABE是同高的两个三角形，求出△ABD的面积；再根据三角形的中线平分三角形的面积即可．
【详解】
解：∵AE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵△ABD与△ABE是同高的两个三角形，
∴S△ABE：S△ABD＝AE：AD＝2DE：3DE＝2：3．
又∵△ABE的面积是4，
∴S△ABD＝6．
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝6，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△ABD＝6＋6＝12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形△ABC的面积．
17．，
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除运算法则以及完全平方公式即可化简，再将，代入化简后的式子即可解答．
【详解】
解：原式=
=
当，时，．
【点睛】
本题考查了整式乘除的混合运算，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则．
18．此游戏不公平，理由见解析；将转盘中的奇数任改一个为偶数即可．
【解析】
【分析】
根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答．
【详解】
解：
又
∴此游戏不公平
修改如下：将转盘中的奇数任改一个为偶数即可．
19．见解析
【解析】
【分析】
求出AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS）即可得到∠BCA=∠EFD，从而证明．
【详解】
证明：∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋FC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠BCA=∠EFD，
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及性质，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL定理．
20．（1）见解析（2）5
【解析】
【分析】
（1）分别找出A、B、C三点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）△A1B1C1如图所示：
（2）△ABC的面积=3×4−×2×4−×1×3−×1×3=5．
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换以及三角形面积的求法，关键是找出对称点的位置以及利用割补法求面积．
21．（1）24；（2）每小时耗油量为6L；（3）油箱中的油不够用，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）图象上x＝5时，对应着两个点，油量一多一少，可知此时加油多少；
（2）因为x＝0时，Q＝42，x＝5时，Q＝12，所以出发前油箱内余油量42L，行驶5h后余油量为12L，共用去30L，因此每小时耗油量为6L；
（3）由图象知，加油后还可行驶6小时，即可行驶60×6千米，然后同400千米做比较，即可求出答案．
【详解】
解：（1）由图可得，机动车行驶5小时后加油为36−12＝24；
故答案为：24；
（2）∵出发前油箱内余油量42L，行驶5h后余油量为12L，共用去30L，
因此每小时耗油量为6L，
（3）由图可知，加油后可行驶6h，
故加油后行驶60×6＝360km，
∵400＞360，
∴油箱中的油不够用．
【点睛】
此题考查函数图象的实际应用，解答本题的关键是仔细观察图象，寻找题目中所给的信息，进而解决问题，难度一般．
22．（1）∠ECD=36°；（2）BC长是5．
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A；
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，由外角和定理求出∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，继而得∠BEC=∠B，推出BC=CE即可．
【详解】
解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
23．（1）；（2）3（a2+b2）-5ab-1，.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a2+b2=8，a-b=1，再根据完全平方公式进行求出ab；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵|a2+b2-8|+（a-b-1）2=0，
∴a2+b2-8=0，a-b-1=0，
∴a2+b2=8，a-b=1，
∴（a-b）2=1，
∴a2+b2-2ab=1，
∴8-2ab=1，
；
（2）（2a-b+1）（2a-b-1）-（a+2b）（a-b）
=（2a-b）2-12-（a2-ab+2ab-2b2）
=4a2-4ab+b2-1-a2+ab-2ab+2b2
=3a2+3b2-5ab-1
=3（a2+b2）-5ab-1，
当a2+b2=8，当时，
原式.
【点睛】
本题考查了绝对值，偶次方，乘法公式的应用，也考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行计算和化简是解此题的关键．
24．（1）随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为；（2）所以两位数有：12、13、21、23、31、32；（3）组成的两位数是偶数的概率为=．
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式计算即可 （2）画出树状图直接找出符合情况即可 （3）利用第二问的树状图利用概率公式计算即可
【详解】
（1）随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为；
（2）画树状图得：
所以两位数有：12、13、21、23、31、32；
（3）因为在所得6种等可能结果中，组成的两位数是偶数的有2种，
∴组成的两位数是偶数的概率为=．
【点睛】
本题考查概率的计算以及用树状图法计算概率，掌握树状图法是本题关键
25．(1)证明见解析；（2）△AEF为等边三角形，证明见解析；（3）当点F为BC中点时，AC⊥EF.
【解析】
【详解】
分析：
（1）由已知条件易得AB=AC，∠B=∠BAC =∠MAN=∠ACD=60°，进而可得∠BAF=∠CAE，由此即可证得△ACE≌△ABF；
（2）由（1）中所得△ACE≌△ABF可得AE=AF，结合∠MAN=60°即可得到△AEF是等边三角形；
（3）当点F为BC中点时，根据“等腰三角形的三线合一”可得∠CAF=∠BAF=30°，结合∠EAF=60°可得∠CAE=∠CAF=30°，结合AE=AF即可得到此时AC⊥EF.
详解：
(1)∵△ABC、△ADC均为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC =∠DAC=∠ACD=60°
∴∠BAC－∠FAC=∠MAN－∠FAC，即∠BAF=∠CAE ，
∴△ACE≌△ABF（AAS）；
（2）△AEF为等边三角形，
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，
∵△AMN为等边三角形，
∴∠MAN=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）当点F为BC中点时，AC⊥EF ，理由如下：
∵点F是BC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AF平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠FAC=30°，
又∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠EAC=∠AEF-∠FAC=30°，
∴此时，AC平分∠EAF，
又∵△AEF是等边三角形，
∴AC⊥EF.
点睛：这是一道综合考查“全等三角形的判定与性质”和“等边三角形的判定与性质”的几何题，熟知“全等三角形的判定方法与性质和等边三角形的判定方法与性质”是解答本题的关键.